材料力学第六章 弯曲变形.ppt

1、第六章 弯曲变形,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,6-3 用积分法求弯曲变形,6-4 用叠加法求弯曲变形,6-6 提高梁刚度的措施,6-1 工程中的弯曲变形问题,一、为何要研究弯曲变形,仅保证构件不会发生破坏，,但如果构件的变形太大也不能正常工作。,1、构件的变形限制在允许的范围内。,车削加工一等截面构件，,如果构件的的变形过大，,会加工成变截面；,案例1：,如果钻床的变形过大，,受工件的反力作用；,摇臂钻床简化为刚架，,不能准确定位。,案例2：,车间桁吊大梁的变形,车间桁吊大梁的过大变形,会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；,还会引起较严重的振动；,案例3：,、工程有

2、时利用弯曲变形达到某种要求。,汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；,案例1：,二、弯曲变形的物理量,扭转：,拉伸,弯曲变形的物理量如何？,1、挠曲线,2、挠度, 向上为正,3、转角,逆时针为正,截面形心在力的方向的位移,截面绕中性轴转过的角度,弯曲变形的物理量,挠度,弯曲变形的物理量,转角,+,6-2 挠曲线的微分方程,2、挠曲线方程：,1、建立坐标系,Xoy平面,就是梁的纵向对称面；,在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；,该曲线方程为 ：,3、挠度、转角物理意义,：挠度的物理意义：,挠曲线在该点处的纵坐标；,：转角的物理意义,过挠曲线上点作

3、挠曲线的切线,该切线与水平线的夹角为,挠曲线在该点处的切线斜率；,挠曲线方程在该点处的一阶导数；,转角的正方向：,从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。,4、挠曲线微分方程,中性层处曲率:,对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率,（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）,正好为xoy平面内的一条曲线，,平面弯曲的挠曲线,所以曲线y=f(x)：,从数学上讲,是一条普通的平面曲线，,从力学上讲,就是梁发生弯曲变形的挠曲线。,瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；,挠曲线微分方程,由于没有采用曲率的简化式，,且弹性模量E无定量结果，,挠曲线微分方程,故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。,该

4、挠曲线微分方程是,适用于弯曲变形的任何情况。,非线性的，,5、挠曲线近似微分方程,在小变形的条件下，,挠曲线是一条光滑平坦的曲线，,，,故得挠曲线近似微分方程：,符号规定：,挠曲线近似微分方程,挠曲线为凹曲线,挠曲线为凸曲线,弯矩M与二阶导数,符号一致。,适用范围：,小变形。,挠曲线的近似微分方程,积分一次：,转角方程,积分二次：,挠曲线方程,C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。,6-3 积分法求弯曲变形,悬臂梁：,梁的边界条件,简支梁：,梁的边界条件,连续性条件：,边界条件,连续性条件,连续性条件：,特别强调,在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。,例1：写出梁的边界条件、连续性条件：,

5、边界条件,连续性条件,例2：写出梁的边界条件、连续性条件：,边界条件,连续性条件,讨论：挠曲线分段,（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；,（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；,（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；,（4）凡分段点处应列出连续条件；,根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；,讨论：挠曲线分段,在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。,边界条件,连续性条件,例1悬臂梁受力如图所示。求 和 。,取参考坐标系,1、列写弯矩方程,2、代入挠曲线近似微分方程中,积分一次：,积分二次：,转角方程,挠

6、曲线方程,3、确定常数C、D.,边界条件：,4、计算A截面的挠度和转角,A截面处,例2 一简支梁受力如图所示。试求 和 。,1、求支座反力,2、分段列出梁的弯矩方程,b,BC段,AC段,3、代入各自的挠曲线近似微分方程中,4、各自积分,5、确定积分常数,边界条件：,连续条件：,BC段,AC段,7、求转角,6、挠曲线方程,8、求 。,求得 的位置值x。,代入 得：,若 则：,在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外）， 可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。,6-4 用叠加法求弯曲变形,一、叠加原理,在小变形，,是线性的；,材料服从胡克定律的情况下，,挠曲线的近似微分方程,对应于几种不同的

7、载荷，,是线性的；,弯矩可以叠加，,近似微分方程的解也可以叠加。,计算弯矩时，使用变形前的位置,设弯矩,挠曲线,分别满足各自的近似微分方程,将两个微分方程叠加,分别计算出每一载荷单独引起的变形，,将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形,叠加原理。,总的近似微分方程：,证明,二、叠加原理的限制条件,叠加原理仅适用于线性函数，,要求挠度、转角是载荷的线性函数。,(1)、弯矩与载荷成线性关系;,梁发生小变形，,忽略各载荷引起梁的水平位移；,梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；,即梁处于小变形条件下;,几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，,三、叠加原理的特征,等于每种载荷单独作用下引起的同一截面

8、挠度、转角的向量和。,例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B,载荷叠加法（查表法）, 应用于多个载荷作用的情形,C , B,1、载荷分解,2查表：单独载荷作用下,3、变形叠加,例2 用叠加法确定C和yC ?,第二类叠加法,将梁的挠曲线分成几段;,逐段刚化法,首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;,然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。,在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，,除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。,例3 ：,用叠加法确定C ?,1）考虑AB段变形引起的截面的挠度,(BC段看作刚体),外力向研究的段上简化,F：作用在支座上，

9、不产生变形。,Fa：使AB梁产生变形。,Fa引起梁的变形形状为,段上凸；,2）考虑BC段变形引起C截面的挠度,AB段看作刚体,C截面的总挠度,讨论,积分法求变形有什么优缺点？,叠加法求变形有什么优缺点？,弯曲变形的刚度条件：,许用挠度，许用转角,工程中， 常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。,对于桥式起重机梁：,对于一般用途的轴：,在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：,1、求自由端的挠度与转角,2、求自由端的挠度与转角,3、求简支梁中点的挠度,4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。,6-6 提高梁刚度的措施,一、改善结构、减少弯矩,、合理安排支座；,、

10、合理安排受力；,、集中力分散；,、 一般与跨度有关，,、增加约束：,故可减小跨度；,尾顶针、跟刀架或加装中间支架；,较长的传动轴采用三支撑；,桥梁增加桥墩。,、增加约束：,采用超静定结构,采用超静定结构,改变支座形式,改变载荷类型,二、选择合理的截面形状,A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，,工字形、槽钢等；,起重机大梁常采工字形或箱形截面；,四、不宜采用高强度钢;,三、加强肋,盒盖、集装箱；,各种钢材大致相同。,1、y=M(x)/EI在 条件下成立？ A：小变形； B：材料服从虎克定律； C：挠曲线在XOY面内； D：同时满足A、B、C；,2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大 处一定最

11、大。 A：挠度 B：转角； C：弯矩；,3、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。A：减小集中力P； B：增加梁的跨度； C：采用优质钢； D：提高截面的惯性矩,4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内： =My/IZ, y=M(x)/EIZ 哪一个会得到正确的计算结果？ A：正确、正确； B：正确、错误； C：错误、正确； D：错误、错误；,5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？,6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是： 。 A：热处理； B：选用优质合金钢； C；增大直径； D：提高表面光洁度；,7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径， 。 A：仅提高强度； B：仅提高刚度； C：强度、刚度均有提高；,P,8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？,9、写出边界条件与连续性条件。,10、写出边界条件。,11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?,12、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨度为1：2。则二梁的最大挠度之比 。,13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程为y=-ax3。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷？绘梁的剪力图与弯矩图。,14、图示中的悬臂