基本不等式试题

1、基本不等式 题一、选择题1若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2 C. D.22若a1，则a的最小值是()A0 B2 C. D33若x0，f(x)3x的最小值为()A12 B12 C6 D64函数yx(0x2)的最大值是()A. B. C1 D25某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件6点(x，y)在直线x3y20上移动时，z3x27y3的最小值为()A. B32

2、 C6 D97某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()Ax Bx Cx Dx8已知正数a，b满足4ab30，使得取最小值的实数对(a，b)是()A(5，10) B(6，6) C(10，5) D(7，2)9不等式9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D810已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25 C9 D3611若x，y是正数，则的最小值是()A2 B. C4 D.12给出下列语句：若a，b为正实数，ab，则a3b3a2bab2；若a，b，m为正实数，ab，则；若，则ab；当x时

3、，sin x的最小值为2，其中结论正确的个数为()A0 B1 C2 D3二、填空题13已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_14函数f(x)lg x(0x1)的最大值是_，当且仅当x_时取等号15若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_16已知ab0，则a2取最小值时b的值为_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(1)已知x0，求y2x的最大值；(2)已知x2，求yx的最小值；(3)已知0x，求yx(12x)的最大值18(本小题满分12分)过点P(2，1)的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求AOB的面积

4、S的最小值19.(本小题满分12分)设x，y满足约束条件，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为8.(1)求的最小值；(2)求a216b24ab的最小值20.(本小题满分12分)是否存在常数c，使得不等式c对任意正实数x，y恒成立？证明你的结论参考答案与解析1【解析】选D.特值法：取ab1可排除A、B、C选项2【解析】选D.因为a1，所以a10，a(a1)1213，当且仅当a1，即a2时，等号成立，故选D.3【解析】选A.因为x0，所以f(x)3x2 12，当且仅当3x，即x2时取等号4【解析】选B.因为0x2，所以011，所以yx22，当且仅当1，即x1时，等号成立，故选B.5【解析】

5、选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800x，所以平均每件费用y20，当且仅当，即当x80件时，ymin20.6【解析】选D.因为x3y2，所以z3x33y323239.当且仅当x3y即x1，y时取等号7【解析】选B.A(1x)2A(1a)(1b)，从而(1x)2(1a)(1b)，所以x.8【解析】选A.(4ab)，当且仅当即时等号成立故选A.9【解析】选B.a1a12(1)2，当且仅当xy时等号成立，所以的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4，故选B.10【解析】选B.(1x)(1y)25，因此当且仅当1x1y即xy4时，(1x)(1y)取最大值25，故选B.11

6、【解析】选C.1124.当且仅当xy时，式子取得最小值4.12【解析】选C.本题中作差变形后可得：a3b3a2bab2(ab)2(ab)，由于a，b为正实数，ab，所以(ab)2(ab)0，即正确；对于用赋值法很容易判断其错误，如a1，b2，m1，符合条件但结论不正确；对于，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；对于，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“”，故错误综合得正确的有，两个，从而选C.13【解析】由已知条件lg xlg y1，可得xy10.则22，故2，当且仅当2y5x时取等号又xy10，即x2，y5时等号成立【答案】

7、214【解析】因为0x1，所以lg x0，所以lg x0，f(x)lg x24.当且仅当lg x，即lg x2时，取“”又因为lg x0，所以lg x2，此时x.【答案】415【解析】因为x0，所以x2(当且仅当x1时，等号成立)，所以，即的最大值为，故a.【答案】16【解析】因为ab0，所以0b(ab)，当且仅当bab，即b时等号成立，所以，所以a2a2232，当且仅当a2，即a4时等号成立，此时b2.【答案】217【解】(1)因为x0，所以x4，所以y2242，所以当且仅当x(x0)，即x2时，ymax2.(2)因为x2，所以x20，所以yxx22224.所以当且仅当x2(x2)，即x3时

8、，ymin4.(3)因为0x，所以12x0，所以y2x(12x)，所以当且仅当2x12x，即x时，ymax.18【解】设直线l的方程为y1k(x2)(显然k存在，且k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，12k)因为A，B都在正半轴上，所以20且12k0，可得k0.所以SAOB|OA|OB|(12k)2k2224，当且仅当k2，即k时，SAOB取得最小值4.19【解】作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：axby0，平移l0，由图可知，当直线经过点A(1，4)时，zmaxaxbya4b8.(1)因为a0，b0，则(a4b)(54)，当且仅当2，即a，b时取等号，所以的最小值为.(2)因为a4b8，a0，b0，所以a4b24，所以ab4.又因为a216b232，所以a216b24ab321616，当且仅当a4b4，即a4，b1时取等号，所以a216b24ab的最小值为16.20【解】当xy时，由已知不等式得c.下面分两部分