函数周期性专题

1、.第七讲： 函数的周期性与对称性（一）【 知识梳理】：1. 周期函数的定义：对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数 T ，使得f ( x T )f (x) 恒成立，则称函数 f ( x) 具有周期性， T 叫做 f ( x) 的一个周期，则 kT （ kZ , k0 ）也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正数叫f ( x) 的最小正周期 .2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数 yfx 满足对定义域内任一实数 x （其中 a 为常数） ,1） fxf xa，则 yf x是以 Ta 为周期的周期函数；2 ） fxafx ，则 fx 是以 T2a 为周期的周期

2、函数；3） fx ak(k0) ，则 fx 是以 T 2a为周期的周期函数；xf4 ）若函数f (x)是偶函数，且f(x a)f (ax) ，则 fx是以 T2a 为周期的周期函数；5）若函数f (x)是奇函数，且f (xa)f (ax) ，则 fx是以 T4a 为周期的周期函数；3.对称性：（1）函数关于原点对称即奇函数：f ( x)f ( x)（2）函数关于 y 对称即偶函数： f (x)f ( x)（3）函数关于直线xa 对称： f ( xa)f ( ax)（二）典例分析：1例 1.（安徽卷）函数fx 对于任意实数 x 满足条件f x 25, 则，若 f 1f xf f 5_(2) 已知

3、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x2)f (x) ，则 f (6) 的值为 _例 2 ：设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数， f (x) 在 (0,3)内单调递减，且 yf ( x) 的图像关于直线 x3 对称，则下面正确的结论是A. f (1.5)f (3.5)f (6.5)B. f (3.5)f (1.5)f (6.5)C . f (6.5)f (3.5)f (1.5)D. f (3.5)f (6.5)f (1.5)例 3.已知函数 f (x ) 满足 f (1)2, f (x 2)2015 ，则 f ( 3) -f (9) 的值为f (x).例 4

4、. 已知 f (x) 是定 义 在实 数集 R 上 的函 数， 满足 f ( x 2)f ( x) ， 且 x0, 2 时 ，f (x) 2x x2 . 1 求 x 2,0 时， f ( x) 的表达式； 2证明 f ( x) 是 R 上的奇函数例 5. f ( x) 是定义域在R 上的奇函数，且其图像关于直线x1对称，2则 f (1) f (2) f (3)f (4) f (5) =x2x(x0)例 6.已知 f ( x)x( x，则 f ( 2016) f ( 2015) f ( 2014) L f (2015) f (2016)=x20)三【巩固提高】1.设函数 fx （ xR ）是以

5、3 为周期的奇函数，且f 11, f2a, 则（）A.a 2B.a 1D.a -12. （2006 山东）已知定义在R上的奇函数fx满足 f(x+2=fx),则,f(10 )的值为( )( )(A. 1B.0C. 1D.23函数 f （ x）是定义域为 R的偶函数，又是以2 为周期的周期函数 . 若 f （x）在 1， 0上是减函数，那么 f （x）在 ， 上是()23A. 增函数B. 减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函4已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是偶函数，对x R都有 f (2 x)f (2 x)，当 f ( 3)2 时，f (2007) 的值为（）A 2B 4C 2D

6、45. 若已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且满足 f ( x4) f (x) ，当 x0,2 时， f (x)2 x2 ，则 f (7)等于A. 2B. 2C. 98D. 98.6. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x)f x3，且 f 23 ，则 f (2014)27. 设偶函数 f ( x) 对任意 xR ，都有 f ( x 3)1，且当 x3, 2 时，f (x)f (x)2x ，则 f (113.5)A.2B. 2C.1D.177558已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，满足f ( x2)f ( x) ，且 x0, 2 时， f (x) 2x x

7、2 .1 求证： f (x) 是周期函数；2 当 x2,4 时，求 f ( x) 的表达式；3 计算 f (1)f (2) f (3)L f (2013) .四【课后练习】1、已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= f(x) ，则 f(6) 的值为()A 1B0C1D22、设 f（x）定义域为 R，且对任意实数 x, f ( x3)2恒成立， f（ x）在(0,3)内单调递f ( x)减，且该函数的图象关于直线x=3 对称，则下面正确的结论是（）A、 f1.5f 3.5f6.5 ；B f3.5f1.5f6.5 ；C f6.5f 3.5f1.5 ；D f3.5f6.5f1.53、设函数 fx（ x R ）是以 3为周期的奇函数，且 f11, f2a ，则（）A. a2B. a2C. a1D.a14、定义域在 R 的函数 f (x) 既是的偶函数，又关于 x1 对称，若 f (x) 在1,0 上是减函数，那么 f ( x) 在 2,3 上是