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文档简介

1、庄子天下篇 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”,引例:,无穷多项的和,问题:,数学用表,例如:,问题:,数学用表是怎么造出来的?,事实上,函数逼近,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,常数项级数,幂级数,傅立叶级数,第十二章,函数项级数,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,第一节,第十二章,正二十四边形的面积,一、常数项级数的概念,引例1. 计算圆的面积 A.,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,1. 定义.,常数项级数 (常数项无穷级数),一般项,部分和数列,部分和:,给定数列,+,+,+,+,+,前 n 项

2、和,2. 级数的收敛与发散,定义.,即,叫做级数的余项,解:,级数收敛;,级数发散,例1.,q: 公比,级数发散;,级数发散,结论:,例2. 判断下列级数的, 级数收敛.,解:, 级数收敛., 级数发散.,敛散性,证:, 级数是发散的.,例3.,练习: 证明级数,解:,拆项相消法,例4.,二、收敛级数的基本性质,性质1.,证:,则,证:,性质2.,说明:,发散.,例如,1. 收敛级数可逐项相加或逐项相减 .,性质2.,发散.,证：,同理:在级数前面加上有限项不改变级数的收敛性.,结论：在级数中去掉、加上或改变有限项， 不会改变级数的收敛性.,性质3.,性质4.,注意：收敛级数去括弧后所成的级数

3、不一定收敛.,收敛;,发散.,去括号后，,推论：如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数 必发散.,证:,级数收敛的必要条件,性质5.,注意：,(1), 级数发散.,(2),注意：,例如, 调和级数,但调和级数是发散的,矛盾,练习：,解,解,该级数发散，,从而原级数发散 .,给原级数加括号,2. 判定级数的收敛性:,无穷级数收敛性举例：,先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,Koch雪花,观察雪花分形过程:,第一次分叉：,依次类推,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,作业 P255: 3

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