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文档简介
1、,1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子,本节首先讨论波函数的标准条件,然后利用,(2)波函数归一化条件;,(1)定态薛定谔方程;,(3)波函数的标准条件;,一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。,最后介绍 “一维束缚定态的无简并定理”,波函数的条件解释指出,归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足:,1.5.1 波函数的标准条件,1. 单调性;,2. 有限性;,3. 连续性;,1. 单调性;,2. 有限性;,这是指 应该是 ,t 的单值函数。因为 是t时刻在 处发现粒子的概率密度,即要求 为单值函数,但不要求 是单值函数。,在有限的空间范围内发现粒子的概率
2、有限,3. 连续性;,定态薛定谔方程包含 对坐标的二阶导数, 要求 及其对坐标的一阶导数连续。,1.5.2 一维无限深势阱,设质量为 的粒子在势场中运动,用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤:,1. 写出分区的定态薛定谔方程;,2. 引入参数简化方程,得到含待定系数的解;,3. 有波函数标准条件确定参数k;,4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A;,5. 由参数k得粒子的能量E;,6. 解的物理意义。,1. 写出分区的定态薛定谔方程;,当势壁无限高是,不可能在势阱外发现能量有限的粒子,故阱外波函数为0,势阱内定态薛定谔方程为:,2. 引入参数简化方程
3、,得到含待定系数的解;,令,由此得到0xa区间内的解:,3. 有波函数标准条件确定参数k;,由势阱外波函数:,当n0的线性相关,舍去,当k=0;,4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A;,取A为实数,则,(1.5.11),(1)束缚态与离散能级,6. 解的物理意义。,由,可以知道,粒子不可能达到无穷远处,粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态,粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态,一般情况下束缚态的能谱为离散谱,(2)基态的能级不为零,是微观粒子波动性的表现,在经典物理中,粒子的动量可以为零,有确定的坐标值和动量为零。,在量子力学中,坐标和动量不同时具有确定值。,(3)激发态的
4、能级,能级分别不均匀。,当量子n数很大时,能级可以看作是连续的,量子效应消失,并过渡到经典情况。,(4)激发态的能级,(5)薛定谔方程的解的线性组合,在一维无限深势阱中粒子可能的态:,定态:,线性叠加态:,粒子处于定态的概率为:,1.5.3 线性谐振子,经典力学中,粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能,量子力学中把在势 场 中运 动的微观粒子称为 线性振子 ,其势能 曲线为抛物线,(1)许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线,双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。,讨论谐振子的意义:,(2)复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动动;,(3)处理线性谐振子的方法适用于:坐标表象、粒
5、子表象和电磁场量子化。,(1)许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线,双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。,线性谐振子的哈密顿量,线性谐振子的哈密哈密顿算符,故,定态薛定谔方程为,薛定谔方程的解题步骤:,1.引入参数简化方程,引人,则,定态薛定谔方程可化为,(1.5.21),代入,(2)用幂级数解法求解厄米方程的,代入方程,得,其系数递推公式,(3)波函数的有限性要求级数 中断为多项式。,由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在 时的极限为:,级数 相邻两项系数之比在 的极限也为:,当 很大时, 的行为与 相同,代入,得线性谐振子的波函数:,归一化常数,4. 由参数
6、得粒子能量E,即从量子力学基本假设(薛定谔)方程出发,导出了普朗克的能量子假设。,振子的能量取离散值,5. 解的物理意义,(1)谐振子的能量取离散值;,(2)谐振子相邻能级的间隔 均匀分布;,(3)谐振子的基态能量 是一个量子效应,当原子发生自发辐射,从高能态跃迁到地能态,实际上是电磁场的真空态与电子相互作用结果;,(4)线性谐振子的能级是无简并的;,(5)谐振子波函数的宇称为,由(1.5.30)式可得, ,可见波函数 的奇偶性由n决定,通常称谐振子波函数 的宇称为,(6)与经典谐振子的比较,经典力学里,粒子在 范围内出现的概率,X=0速度最小,出现概率最大,量子谐振子空间位置概率分布特点:,a、在
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