（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习第一部分一、函数与方程思想课件.pptx

1、一、函数与方程思想,-2-,高考命题聚焦,素养思想诠释,函数与方程思想是思想方法中的命题重点,主要体现在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等题目中.考试时,经常在客观题中考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.,-3-,高考命题聚焦,素养思想诠释,1.函数与方程思想的含义 (1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建

2、立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法. (3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.,-4-,高考命题聚焦,素养思想诠释,2.函数与方程思想在解题中的应用 (1)与数列有关的基本量的运算,常采用方程思想解决;与数列有关的最值问题,常先建立有关变量的函数,再用函数的观点给予解决. (2)立体几何中有关线段、

3、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.,-5-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,利用函数思想解决与方程有关的问题 【例1】若关于x的方程cos 2x=a-2sin x在区间(0,)内有解,则实数a的取值范围为(),分析推理首先根据已知方程可分离出参数a,便可将方程在指定区间内有解转化为对应函数在该区间内的值域问题,进而根据函数解析式的结构特征,将其转化为关于sin x的一个二次型函数值域问题,可以直接求解,也可以利用换元法转化为二次函数的值域问题求解.,D

4、,-6-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:由方程可得a=cos 2x+2sin x. 令f(x)=cos 2x+2sin x(x(0,). 因为关于x的方程cos 2x=a-2sin x在区间(0,)内有解,所以实数a的取值范围就是函数f(x)=cos 2x+2sin x(x(0,)的值域.,-7-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(方法二)因为f(x)=1-2sin2x+2sin x, 设t=sin x,又x(0,),所以sin x(0,1,即t(0,1. 则y=1-2t2+2t=-2t2+2t+1(t(0,1). 如图,作出函数y=-2t2+2t+1的图象. 由图可知

5、函数图象与y轴交于点A(0,1); 与直线t=1交于点C(1,1),-8-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法利用函数思想解决方程解的问题时,可根据方程的结构特征通过分离参数,转化为a=f(x)的形式,则实数a的取值范围就是函数f(x)的值域.然后根据函数解析式的结构特征,选用适当的方法求解函数的值域即可.,-9-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,A,解析:由方程分离参数得m=cos2x+2sin x.,-10-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(方法一)函数f(x)=cos2x+2sin x=1-sin2x+2sin x=2-(sin x-1)2,当sin x=

6、1时,函数f(x)有最大值2. 当sin x=0时,函数f(x)有最小值2-1=1. 故函数f(x)的值域为1,2,即实数m的取值范围为1,2.故选A.,-11-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(方法二)函数f(x)=cos2x+2sin x=1-sin2x+2sin x,0sin x1,即t0,1. 故y=1-t2+2t(t0,1). 如图,作出函数y=1-t2+2t的图象. 由图知函数图象与y轴交于点A(0,1), 与直线t=1的交点为B(1,2). 则该函数在区间0,1上的值域为1,2. 故实数m的取值范围为1,2,故选A.,-12-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,函

7、数与方程思想在不等式中的应用 【例2】(1)已知函数f(x)=log2x,当x2,16时,函数f(x)的值域为A,则对集合A内的任意实数m,使关于x的不等式x2+mx+42m+4x恒成立的实数x的取值范围为() A.(-,-2B.2,+) C.(-,-22,+)D.(-,-2)(2,+) (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)1-f(x),f(0)=0,f(x)是f(x)的导函数,则关于x的不等式exf(x)ex-1的解集是() A.(-,0)(1,+)B.(-,-1)(0,+) C.(0,+)D.(-,-1)(1,+),D,C,-13-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,分析推

8、理(1)首先根据对数函数的单调性确定集合A,然后以m为变量构造与不等式对应的函数,根据函数的图象和性质确定参数所满足的条件;(2)已知可化为f(x)+f(x)1,根据导数运算法则,需要构造exf(x)型的函数,根据所解不等式,故可直接构造函数exf(x)-ex+1,即可根据已知判断函数的单调性,然后求解不等式.,-14-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,解析:(1)因为x2,16, 所以f(x)=log2x1,4,即A=1,4. 因为关于x的不等式x2+mx+42m+4x对任意的m1,4恒成立, 所以m(x-2)+(x-2)20对任意的m1,4恒成立. 设g(m)=(x-2)m+(x-

9、2)2. 因为该函数在区间1,4上恒大于0,解得x2,故选D.,-15-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(2)关于x的不等式exf(x)ex-1可化为exf(x)-ex+10. 设g(x)=exf(x)-ex+1,则不等式即为g(x)0. g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1. 由已知f(x)1-f(x),可知f(x)+f(x)-10, 所以g(x)0,所以函数g(x)是R上的增函数. 又f(0)=0,所以g(0)=e0f(0)-e0+1=0, 则不等式g(x)0=g(0)的解集为(0,+).故选C.,规律方法函数与不等式可以相互转化,把不等式问题转

10、化为函数问题,从而借助函数的图象和性质解决相关的问题.涉及不等式恒成立问题、有解以及比较大小等问题,一般可根据不等式的结构特征,利用函数思想构造新函数或函数关系式,利用函数的值域或单调性求解.,-16-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固2(2019山西太原一模)已知定义在(0,+)内的函数f(x)满足xf(x)-f(x)0的解集是() A.(-,ln 2)B.(ln 2,+) C.(0,e2)D.(e2,+),A,即g(ex)g(2),故ex0的解集为(-,ln 2).故选A.,-17-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,函数与方程思想在数列中的应用 【例3】已知数列an

11、的各项为正数,其前n项和Sn满足,(1)求an的通项公式.,(3)在(2)的条件下,证明:1+ln TnTn.,分析推理(1)首先根据Sn与an的关系将已知转化为an与an-1的关系,进而确定数列的性质,求其通项;(2)根据第(1)问的结果,写出bn的表达式,然后利用裂项相消法求和即可;(3)先确定Tn的取值范围,再将Tn看作一个变量,构造函数f(x)=1-x+ln x,则可利用函数知识证明f(x)0即可.,-18-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,化简得an-an-1=2.所以数列an是以1为首项,2为公差的等差数列.故an=2n-1. (2)解:由(1)知,an=2n-1.,-19

12、-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,因为x(0,1),所以f(x)0,故函数f(x)在区间(0,1)内单调递增, 所以f(x)f(1)=1-1+ln 1=0, 即1-x+ln x0, 所以当x(0,1)时,有1+ln xx. 故1+ln TnTn.,-20-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,规律方法应用方程思想求等差(或等比)数列的通项时,抓住首项与公差或公比这两个基本量,根据已知条件列出方程或方程组,通过解方程或方程组求出基本量,然后代入通项公式或求和公式即可;而与数列相关的不等式的证明以及比较大小问题,则可利用函数与数列之间的关系,通过构造相应的函数,转化为函数问题求解.,

13、-21-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,即时巩固3已知数列an,其前n项和为Sn.当n2时,都有2an=an-1 +an+1,且S5=0,S6=3. (1)求数列an的通项公式及其前n项和. (2)求nSn的最小值.,解:(1)当n2时,由2an=an-1+an+1,可得an-an-1=an+1-an-1, 所以数列an是等差数列.,所以a1=a3-2d=-2. 故an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)1=n-3,-22-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,且nSn的最小值为-9.,-23-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,函数与方程思想在解析几何中的应用,(1)求

14、椭圆的方程. (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线,分析推理(1)根据离心率及a,b,c三者的关系建立关于a,b的方程,然后根据“|FB|AB|=6 ”求解即可;(2)将直线方程与椭圆方程联立方程组,通过消元转化为方程,进而建立交点坐标与方程系数之间的关系,然后利用坐标运算建立关于k的方程即可求解.,-24-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,-25-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2). 由已知有y1y20,故|PQ|sinAOQ=y1-y2.,-26-,突破点一,突破点二,突破点三,

15、突破点四,规律方法直线与圆锥曲线的综合问题,通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解,这是方程思想在解析几何中的重要应用.解析几何问题的方法(函数法)可以拓展解决解析几何问题的思维,通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题.,-27-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,(1)求椭圆E的方程. (2)直线l:y=kx+m(k0)与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的长. 若直线l与椭圆E交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点,-28-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,-29-,突破点一,突破点二,突破点三,突破点四,当m=-3时,SAOB的最大值为1.

16、,-30-,核心归纳,预测演练,-31-,核心归纳,预测演练,1.张丘建算经卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.在此问题中若记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a17的值为() A.56B.52 C.28D.26,D,解析:由题意知等差数列an的首项a1=5,设公差为d,故a14+a17=2a1+29d=26.故选D.,-32-,核心归纳,预测演练,2.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x)满足f(

17、x)f(x),且f(0)=2,则不等式f(x)2ex的解集为() A.(-,0)B.(-,2) C.(0,+)D.(2,+),A,因为f(x)0, 所以g(x)在R上为增函数. 因为f(0)=2,所以g(0)=f(0)=2.,即g(x)g(0), 所以x0.故不等式的解集为(-,0).故选A.,-33-,核心归纳,预测演练,3.(2019天津南开中学第四次月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点,点),则ABO与AFO的面积之和的最小值是(),D,解析:设直线AB的方程为x=ty+m, 点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0). 将x=ty+m代入y2=x, 可得y2-ty-m=0. 根据根与系数的关系得y1y2=-m.,x1x2+y1y2=6,从而(y1y