线性波理论.ppt

1、线性波理论,船舶与海洋工程中：,船舶摇摆和拍击，船舶稳性，兴波阻力。,沿岸工程中：波浪对港口、防波堤的作用。,离岸工程中：钻井平台，海工建筑、海底油管等,应用于：,水波起制约作用的物理因素是重力，粘性 力可略而不计，因此可用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。,本章内容:,着重介绍小振幅波（线性波）理论,相关内容为：,2.波浪运动的有关概念（波速、波长、周期、 波数、频率、深水波、浅水波等）,1.小振幅波的基本方程和边界条件,3. 流体质点的轨道运动,4. 前进水波中的压力分布,5. 波群与波群速,6. 船波,7. 波能传递与兴波阻力,一简谐前进波沿轴正向移动,7-1 微振幅波的基本方程与

2、边界条件,h 水深（从平均水平面到底部的距离）,（x , t） 自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离, 振幅, 波高，对于小振幅波 H = 2a, 波长（两相邻波峰或波谷间的距离 ）, 周期（固定点处重复出现波峰（或波谷）的时间 间隔，或波形传播一个波长所需的间。, 波速，或相速度（波阵面的传播速度） C = L/T （72）, 波数 k= 2(rad)L （73）, 圆频率（2时间内波振动的次数) 2(rad)T （74）,微振幅波理论的基本假设,.理想不可压缩流体，重力不能忽略；,.运动是无旋的，具有速度势；,.波浪是微振幅波（线性波），即 （7-5）,且满足Laplace方程：,（7-7）

3、,底部条件(不可穿透条件）:,（ z = -h） （7-8）,自由表面边界条件：,（7-10）,令z=,自由表面上相对压力p=0。为使边界条 件线性化，假定速度平方v0 而得到。),(由Lagrange积分：,在z=0处满足（自由面边界条件的近似）:,（7-11）,小振幅波的基本方程与边界条件为:,（7-12）,用分离变量法求解,令,（7-13）,代入拉普拉斯方程:,通解,所以,或,波面方程为,必须第一方括弧内为零,可得,则自由面形状（波面方程）为：,（7-16）,-波速,波长和周期,自由表面（x,t）上任一点的z方向速度分量,即波面抬高速度近似等于 z 方向的速度分量,代入上式得,与 联立有

4、：,因为微振幅波的坡度也是小量,即,对于微振幅波，上式近似在z=0处满足,（7-15）,由式（7-15）,（7-18）,适用于各种水深,若已知, 由（7-24）式可确定；,将C=L/T， K=2L代入式（7-23）可得,（7-25）,若已知, 由（7-25）式经逐次逼近可确定。, 水波按水深进行分类,由于双曲函数 具有渐近值,所以按双曲函数的性质将水波进行分类，其目 的是为了工程应用方便。,所谓深水波、浅水波，是一种相对概念。,波速公式 适用于各种水深,表71水波分类,浅水波：波速只是水深的函数，与波长无关,深水波：波速只是波长的函数，与水深无关,中等水深波：波速是波长与水深的函数,-流体质点

5、的轨道运动,轨圆半径= a e k z,深水波：流体质点沿圆周等速运动,浅水波：流体质点作椭圆轨道运动,长轴从波面到水底不变，短轴从底部的零值逐渐增加到波面处的2a, a-波振幅。,中等水深波：流体质点作椭圆轨道运动长短轴 均沿水深变化。,证明如下：,由（715）,利用= gk tanh kh 可将 改写成:,（7-27）,两个速度分量的相位差为/2,对应 a/L=1/20及a/h=1/5,积分(7-28)得到质点运动轨道:,将上式两边平方相加：,(7-29),(7-31),为椭圆中心,中等水深波: a, 随 h 增加而减小，即椭圆越 小越扁，在= -时，=， 水质点沿底部作水平往复运动。,轨

6、道为椭圆，长轴不变，短轴随水深逐渐减 小，在底部为零，波面处为2a, a-振幅。,深水波: 将、中的双曲函数展开,当L/2时，有-，因此,(7-33),深水波传播速度与波长、周期的变化关系：,这组数据表明：,波长增加，周期增加，传播速度增加。,在无风的海域，其它海区的波浪传播到无风海域 形成涌浪，这就是无风三尺浪的原因。,- 前进水波中的压力分布,在拉格朗日积分式（7-）中忽略v2/2项可得,(7-34),将（7-15）代入上式得有限水深相对压强：,式中acos(kx-t)为波面方程。,定义压力反应系数,方程（7-35）或 (7-36)只适于 z0 的区域,讨论：,当z0时，（-35）对于的正

7、值无效。因小振幅波的近似，即自由面条件（动力学条件）式（7-11）中用=代替了=,上式右边第一项为波动压强，第二项为静水压强。,1. 当z0时（初始平面以下所有深度）， kp ,压力分布与静水压力分布规律相符,3.当时，,(7-38),而底部的静水压力为/,故在波谷下（为负): 底部压力大于静水压力,在波峰下（为正):底部压力小于静水压力,若已知水平面以下某处的压强，可以反过来预测波高。,底部压强随时间和位置的变化将引起流体在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会引起波能的粘性耗散。,(7-40),-波群与波群速,波群(Wave Group )：多种不同频率的波叠加在 一起形成的波。,设和为两

8、个简谐波为：,而kk，a, T相同，,（741）,迭加后得合成波:,因，上式可近似为,使合成波列具有波长/，周期/ 和波速（相速度）/；,(7-42),合成波由两部分组成：,sin(kx-t) : 负责调制合成波的波长与周期,振幅调制波具有较合成波列大得多的波长和周期,: 负责调制合成波列的振幅,振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由 大到小的一群。,包络线将合成波分成一个个波群。,群波的长度为：,合成波列称为波群（wave group),合成波列以相对速度(C-Cg)进入振幅调制波的 节点, 振幅从零逐渐加大到2a,又逐渐减小到零。,群速度：振幅调制波的传播速度为这一群波的 前进速度。,

9、振幅调制波以群速度Cg传播,Cg等于波能的传递速度（待续）,由(7-23)式 两边对k求导得：,所以：,上述结果代入（-）式：,利用(-3)以及sinh2x = 2sinhx coshx，,适用于,波群速为单独水波前进速度之半,极浅水波 ( 因 ):,(7-46),波群速与单独水波前进速度相等,- 船 波,Kelvin计算了以等速U前进的压力点的兴波情况, 波系见下图, 图中为波峰线。,横波和散波互相干扰并随同压力点一起前进。,船首、船尾形成前、后驻点。驻点处流体 的动能转变成压能, 该处压力升高,可认为该 点的造波作用与压力点相同。,船舶航行首尾各有一Kelvin波系见下图：,船舶所遭受的兴

10、波阻力与首、尾两个横波系之 间的干扰有很大关系。,兴波阻力系数曲线上的“峰”和“谷”就是这一干扰的结果, 见下图：,设计船舶时,应使在设计航速时船舶处于 兴波阻力系数“谷点”的位置,有利干扰兴波。,-波能的传递及兴波阻力,水波运动是流体动能与势能之间的平衡结果，讨论波能的传递与兴波阻力的研究很有关系。,1. 波浪的总能量为动能与势能之和，动能与 势能相等。,2.波能与波幅的平方成正比，与水深无关。,3. 波能的传播速度就是群速度。,结论：,对于余弦波，一个波长的势能为：,(7-48),动能 ：,: 一个波长内由自由表面、底面及两侧面组成的闭边界线.,为边界外法线,左右垂直侧面上积分路线相反，积

11、分互相抵消。,水底:,（-49）式中只剩下沿自由表面OAB的积分,对于微振幅波， 取值近似由=代替=,由式（7-26）,(7-51),(7-52),因gk tanh kh, 则,将（7-51），（7-52）代入（-50）：,一个波长的波总能量为,(7-54),单位长度波浪的总能量：,在一个周期时间内，通过轴传播的能量等于压力对轴所做的功，即：,波能传递,结论：波能的传播速度就是群速度,证明：,(7-55),由（7-26）式得,（7-56）,由（-34）式得,当const. 这时gz为常数， 随时间变化,能量传播，只与 有关,由（7-56）式有：,(7-58),将式（7-57）和（7-58）代入

12、（7-55）：,因为,z轴处，x=0,所以,积分,所以,表明：单位时间通过轴的能量，等于单位 长度波能乘上群速度，即波能传递速度等于 群速度。,兴波阻力,船舶在水面航行，兴起波浪，一部分波能由船舶提供，这就是兴波阻力。,船舶遭受的阻力有：粘性阻力和兴波阻力，兴波阻力是理想流体作用于船舶上的压差力。,船到波随，船波波速就等于船速,时间内船后新增波浪长度由老波以波群速传来一部分能量,由于=，故,另一部分由船舶克服兴波阻力做功而提供,则能量平衡方程式为：,(7-60),对于深水,这一结论不仅适用于余弦波，其它波动同样适用,深水中船舶所遭受的兴波阻力是波能的一半,兴波阻力的大小与振幅的平方成正比,在极

13、浅水中，波浪前进的最大速度不能超过临界速度 ，,若船的航行速度大于 ，则没有波浪可以跟随它，兴波阻力也就不可能产生。,例.1 某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆 30次，求波长，圆频率，波数， 以及波形传播速度,解: 船航速为零，单纯由波浪引起的摇摆,则周期,圆频率,波数,波长,波速,例.3 水深=10，自由面上有一沿轴正向 传播的平面小振幅波， 波长=30,求： ）波幅.1m时的自由面形状; ）波的传播速度； ）波幅0.1m衡位置在水平面以下0.5处 流体质点的运动轨迹； ）水平面以下1，2处流体的平均压力； ）波系的群速度。,解: 1）由式（7-16）,波数,圆频率由（-20）为,波面方程

14、为,）波的传播速度(相速度),）由（-20）式流体质点的轨迹方程,其中,取 Z0=0.5m，a=0.1m，h=10m，k=0.209，得:,4 ) 由（-25）式计算压力,在一个周期内的均值为零，故有：,压力与静压分布相同,故水下1和2处流体的压力分别为:,5 )由式(7-44)可得：,例7.4 波长为6.28m，在某一深度次波面的波高 减小一半，试求这一深度。,所以 z=ln(1/2)= - 0.693m,解：流体质点的轨圆半径为= aekz,在波面上 Z0=0, r0=a,在任意水深 = aekz,由题意 r0=2a，则= aekz ，a=2 aekz,所以 ekz1/2,K=2/ L=6.28/6.28=1,ekz = ez = 1/2,例7.6 设无限深水中波浪的波长为15m和150m，,求：1）这两种波长的波速和周期。,2）当波浪传播入水深为10m的水域时，