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文档简介

1、,12.5 偏导数在几何中的应用,1.参数方程:,回顾及定义,空间曲线的表示与光滑曲线,其向量形式:,光滑曲线.,空间曲线的一般方程,相应光滑性要求其Jacobi矩阵是满秩的.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,2、空间曲线的一般方程,直线的两点式方程,直线的对称式方程 点向式方程 标准方程,空间直线的一般方程,平面的点法式方程,其中法矢量,已知点,平面的一般方程,平面的截距式方程,平面的三点式方程,设空间曲线的方程,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与

2、切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,implicit,另一方面,注意到,定理12.5.1 曲线,在 点的法平面就是,由梯度向量grad F( ) 和grad G( ) 张成的过 的平面.,(P192),所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,二、曲面的切平面与法线,其中F在D上有连续偏导数，且满足,即曲面S是光滑的.,考察曲面S过点 的任意一条光滑曲线,此表明曲面S上过 的任一光滑曲线在 点的切线都与向量 垂直，所以这些切线都在一张平面上 . 平面称为曲面S在点 的切平面 ，它的法向量 称为S

3、在 点的法向量.,由于曲线 在曲面S上,因此,曲面在 处的法向量:,法线方程为,切平面方程为,通过点,而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在 处的切平面方程为,曲面在 处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在 处的切平面方程为,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),S在 点的法向量（c.f. P198）,切平面方程为,法线方程,例12.5.4 求曲面,例12.5.5 已知曲面,例12.5.6 证明两球面,两曲线交点处的夹角; 两曲面交线上一点处的夹角; 两曲面正交.,空间曲线的切线与法平面（关键在切向量）,（直线：点向式；平面：点法式）,三、小结,特殊地：,曲面的切平面与法线(关键在法向量),思考题,思考题解答,设切点,依题意知法矢量为,切点满足曲面和平面方程,隐函数的求导公式,附录：隐函数存在唯一性定理及求导法则,另外,反函数组见P185定理12.4.5.,return,设曲面方程为,附录:曲面的切平面,参看华东师范大学数学分

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