11.3多边形及其内角和

1、温故而知新,在ABC中， （1）C = 90,B=30, 则 A =； （2）A = 100,B=C , 则 B =； （3）若ABC中的三个内角度数之比为2：3：4， 则相应外角之比为 （4）三角形的三个内角中，最多有个锐角，最 多有个直角，最多有个钝角,11.3 多边形及其内角和,试一试,三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）,你能说出三角形的定义吗？,三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形,既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？,四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图

2、形，记为四边形ABCD,什么叫五边形？,五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE,一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形,那么多边形的定义呢？,创设情境，导入新知,问题你能从图中想象出几个由一些线段围成的图 形吗？,下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内 。,注 意 我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形,有什么不同？,凹多边形,凸多边形,1.如图9.2.1所示，A、D、C、ABC是四边形ABCD的四个内角,3.CBE和ABF都是与ABC相邻的外角， 两者互为对顶角，四边

3、形有八个外角。,既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,2.AB，BC，CD，DA是四边形ABCD的四条边,那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？,六边形有6个内角，6条边，12个外角,五边形有5个内角，5条边，10个外角,n边形有n个内角，n条边，2n个外角,三角形如果三条边都相等， 三个角也都相等， 那么这样的三角形就叫做正三角形。,如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 。,正三

4、角形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,(或正三边形),(或正四边形),连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.,线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。,创设情境，导入新知,如图，从五边形ABCDE 的顶点A 出发共有几条对 角线？六边形呢？,从一个顶点出发，n边形有（n-3）条对角线， 把n边形分成了（n-2）个三角形,五边形一共有几条对角线？ 六边形呢？这里有什么规律吗？,n边形的对角线的条数是：,回忆长方形、正方形的内角和等于_.,360,创设情境，导入新知,思考任意一个四边形的内角和是否也等于360 呢？,动手操作，探究新知,探究你能利用三

5、角形内角和定理证明你的结论 吗？,证明：连接AC， BAD +B +BCD +D =（BAC +BCA +B） + （DAC +DCA +D）， = 180 + 180 = 360 ,动手操作，探究新知,探究你能利用三角形内角和定理证明你的结论 吗？,从四边形的一个顶点出发， 可以作_条对角线，它们将 四边形分为个三角形， 四边形的内角和等于 180_=,1,2,2,360,动手操作，探究新知,探究类比前面的过程，你能探索五边形的内角和 吗？六边形呢？,如图，从五边形的一个顶点 出发，可以作条对角线，它 们将五边形分为_个三角形， 五边形的内角和等于 180=,2,3,3,540,动手操作，探

6、究新知,如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_条 对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的 内角和等于180_=_,3,4,4,720,C,从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3）条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2） 个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以， n 边形的内角和等于（n -2）180,归纳总结，获得新知,思考你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系 吗？能证明你发现的结论吗？,归纳总结，梳理新知,0,3 -3 =,4 -3 =,5 -3 =,6 -3 =,n -3,1,2,3,3 -2 =,

7、1,4 -2 =,2,5 -2 =,3,6 -2 =,4,n -2,（ n -2 ）180,180,360,540,720,1 440,8,动脑思考，例题解析,例1 填空： （1）十边形的内角和为 度 （2）已知一个多边形的内角和为1 080，则它的边数 为_,那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?,因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.,（n2）180/ n,3.正五边形的每一个内角等于_.,4.如果一个正多边形的一个内角等于120,则这个多边形的边数是_,解: （n2）180/ n = （52）180/5 =540/5 =108,解: 120n

8、=（n2）180 120n=n180-360 60n =360 n =6,解：如图，四边形ABCD 中， A +C =180 A +B +C +D =（4 - 2）180 =360， B +D =360-（A + C） =360- 180 =180,动脑思考，例题解析,例2如果一个四边形的一组对角互补，那么另一 组对角有什么关系？,如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.,前面我们学习了三角形的外角和是360 ，当时是怎样研究出来的？,A,B,C,D,E,F,1.先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角。 2.再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！,那么你能研究出四边形的外角和吗？,整体思路：1.先求4个外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和,容易看出，4个外角+4个内角=4个平角 而4个内角的和是360 ， 那么四边形的外角和就是4X 180-360= 360,那么出五边形，六边形，n边形的外角和吗？,五边形的外角和就是5X 180-540= 360 六边形的外角和就是6X 180-720= 360 。 n边形的外角和就是nX 180- (n-2)X 180 = (n-n+2)X 180 = 360 ,任意多边形的外角和都为3 6 0 ,5.正五边形的每一个外角等于_