1.2.2充要条件 (2)

1、1.2.2充要条件,预习探究,知识点充要条件 如果既有pq,又有qp,就记作p q,我们就说,p是q的 ,简称 .,充分必要条件,充要条件,预习探究,探究 如果直线l1:x+ay+6=0和直线l2:(a-2)x+3y+2a=0,那么l1l2的充要条件是什么?,解:由13-a(a-2)=0,得a=3或-1,而当a=3时,两条直线重合,所以l1l2的充要条件是a=-1.,备课素材,1p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立但条件p不成立时，结论q未必不成立例如，当x2时，x24成立，但当x2时，x24也可能成立，即当x2时，x24也可以成立，所以“x2”是“x24”成立的充分条

2、件，“x2”也是“x24”成立的充分条件 2p是q的必要条件说明：有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立；如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件,备课素材,3要判断充分条件、必要条件，就是要利用已有知识，借助代数推理的方法，看由p能否推出q，且由q能否推出p. 4一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个 5有关充要条件的证明问题，既要证明充分性，又要证明必要性，并且要分清条件和结论，注意哪步是充分性，哪步是必要性,考点类析,考点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断,pq,导入 (1)判断充分条件、必要条件时,首先要分清条件p是什么,结论q是什么

3、,然后尝试从条件推结论,如果,则充分性成立,p是q的充分条件,再考虑从结论入手推条件,如果,则必要性成立,p是q的必要条件. (2)判断充分条件、必要条件的几种常用方法:、集合法.,qp,定义法,等价法,考点类析,例1 指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在ABC中,p:AB,q:BCAC; (2)对于实数x,y,p:x+y=8,q:x=2且y=6; (3)在ABC中,p:sin Asin B,q:tan Atan B; (4)已知x,yR,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-

4、2)=0.,解:(1)在ABC中,显然有ABBCAC,所以p是q的充要条件. (2)因为x=2且y=6,所以x+y=8,即qp,但 p q,所以p是q的必要不充分条件. (3)取A=120,B=30,此时p q,又取A=30,B=120,此时q p,所以p是q的既不充分也不必要条件. (4)因为p:A=(1,2),q:B=(x,y)|x=1或y=2,AB,所以p是q的充分不必要条件.,考点类析,【变式】 已知p:函数y=|x-a|在(2,+)上是增函数,q:函数y=ax(a0且a1)是减函数,则p是q的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案

5、A,解析函数y=|x-a|在(2,+)上是增函数,a2;函数y=ax(a0且a1)是减函数,0a1.qp,p q,即p是q的必要不充分条件,故选A.,考点类析,小结要多角度理解和判断充分、必要条件,在具体解题过程中,要根据给出的条件和结论的特点灵活运用.如条件和结论是命题形式的,可以从定义的角度去判断,如条件和结论是集合(范围)形式的,可以从集合的角度去判断.,考点类析,【拓展】 若a,bR,则“a2+b24” 是“a+b4”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案 B,解析 a2+b24表示圆a2+b2=4 及其外部区域,a+b4表示直线

6、a+b=4及其右上方区域,由图像 知,a+b4表示的区域都在圆 a2+b2=4的外部,但a2+b24表示 的区域不一定都在直线a+b=4上及其右上方,比如当a=0,b=3时,满足a2+b24,但a+b4不成立,即“a2+b24”是“a+b4”的必要不充分条件.,考点类析,考点二 充分条件、必要条件的应用,充分条件,导入 (1)利用pq与 qp,qp与 pq的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (2)建立命题p,q相应的集合.p:A=x|p(x)成立,q:B=x|q(x)成立,那么从集合的观点看, 若AB,则p是q的 ,若,则p是q的充分不必要条件; 若BA,则p是q的必要

7、条件,若,则p是q的必要不充分条件; 若AB且BA,即A=B,则p是q的充要条件.,AB,BA,考点类析,例2 已知集合A是不等式x2-8x-20 0)的解集.p:xA,q:xB. (1)若a=2,求AB; (2)若p是 q的充分不必要条件,求a的取值范围.,解:(1)由x2-8x-200),得x1-a或x1+a.当a=2时,B=x|x-1或x3,则AB=x|-20, 12, 1+10, 且等号不同时成立,所以a9.,考点类析,解:对于p,由-21- 1 3 2,解得-2x10, p:B=x|x10或x0),|x-1|m,1-mxm+1, q:A=x|xm+1. p是q的必要不充分条件,AB,

8、 0, 12 1+10, ,且不等式的等号不同时成立,解得m9,实数m的取值范围是m9.,【变式】 已知p:-21- 1 3 2,q:x2-2x+1-m20(m0),且 p是 q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.,考点类析,小结本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先根据等价转化的思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及参数的取值范围与充要关系的问题中,常常要利用集合的包含、相等关系分析求解,这是破解此类问题的关键.,考点类析,例3 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,证明:充分性(由ac0,方程一定有两个不等实根,设为x1

9、,x2,则x1x2= 0,方程的两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0):方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2= 0,即ac0.综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,考点类析,【变式】求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件是k-2.,证明:必要性:若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设这两个根为x1,x2,则 =(21 ) 2 4 2 0, ( 1 1)+( 2 1)0, ( 1 1)( 2 1)

10、0, 即 1 4 , ( 1 + 2 )20, 1 2 ( 1 + 2 )+10. 即 1 4 , (21)20, 2 +(21)+10, 解得k-2.,考点类析,【变式】求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根的充要条件是k-2.,充分性:当k0. 设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2,则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k-1+1=k(k+2)0.又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-10,x1-10,x2-10,x11,x21.综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1

11、的根的充要条件为k-2.,考点类析,小结在证明过程中,充分性和必要性容易颠倒,要注意方向性,搞清推理顺序,然后根据要求作答.,备课素材,充分条件和必要条件的判断一般有以下几种方法： 1. 等价法 由于互为逆否命题的两个命题是等价的.当我们从正面对命题进行判断较为困难时,可将其转化为对它的逆否命题进行判断.该方法称为等价法. 也就是,在不易判断 p 是 q 的充分条件( pq )时,可以判断qp;在不易判断 q 是 p的必要条件( qp )时,可以判断pq.,备课素材,例 对于实数 x , y ,条件 p : x + y 8,条件 q : x 2 或y6 ,那么 p 是 q 的（） A.充分不必

12、要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.都不对,答案 A,解析 q: x=2 且 y=6, p : x + y =8,原命题的逆否命题为：若 x =2且 y =6, 则 x + y =8. 若当 x = 1 , y = 7 时,满足：x + y = 8, 但 x = 2 且 y = 6 不成立,所以 p 是q 是的充分不必要条件,所以 p 是 q 的充分不必要条件.,备课素材,2递推法 由于逻辑联结符号“”“”“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系,备课素材,例 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件那么：

13、 (1)s是q的什么条件？ (2)r是q的什么条件？ (3)p是q的什么条件？,解：由图可知，(1)因为qs，srq，所以s是q的充要条件 (2)因为rq，qsr， 所以r是q的充要条件 (3)因为qsrp， 所以p是q的必要条件,备课素材,备课素材,答案 A,答案 D,当堂自测,1.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是 () p:m6,q:f(x)=x2+mx+m+3有两个不同的零点; p: () () =1,q:y=f(x)是偶函数; p:cos =cos ,q:tan =tan ; p:AB=A,q:UBUA. A.B. C.D.,解析 f(x)=x2+mx+m+3有两个不同的零点0m

14、2-4(m+3)0m2-4m-120m6,p:m6,q:f(x)=x2+mx+m+3有两个不同的零点,p是q的充分必要条件,符合题意; 当q:y=f(x)是偶函数成立时,取f(x)=0,xR, () () 无意义,故p: () () =1不成立,故不合题意;,当堂自测,1.下列各小题中,p是q的充分必要条件的是 () p:m6,q:f(x)=x2+mx+m+3有两个不同的零点; p: () () =1,q:y=f(x)是偶函数; p:cos =cos ,q:tan =tan ; p:AB=A,q:UBUA. A.B. C.D.,当p:cos =cos 成立时,取cos =cos = 2 2 ,sin = 2 2 ,sin =- 2 2 ,则tan tan , 故命题q:tan =tan 不成立,不符合题意; 当p:AB=A成立时,AB=A, AB,UBUA,q:UBUA成立,反过来也成立,故符合题意.故符合题意的是,故选D.,当堂自测,2.“x1”是“ln(x+1)0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 B,解析 由ln(x+1)0,得0x+11,得 -1x0,则“x1”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件.,当堂自测,3.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的()