信号与系统分析——宗伟 3

1、重点：,第3章 连续时间信号与系统的频域分析,1.傅里叶级数和傅里叶级数的性质 2.傅里叶变换和傅里叶变换的性质 3.周期信号和非周期信号的频谱分析 4.连续时间LTI系统的频域分析 5.抽样和抽样定理,在满足狄氏条件时，可展成,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,1三角函数形式的傅里叶级数,3.1周期信号的频谱分析傅里叶级数,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,其他形式,余弦形式,正弦形式,关系曲线称为幅度频谱图,关系曲线称为相位频谱图,可画出频谱图,周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性,幅度频率特性和相位频率特性,连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为,其中,两项的基波频率为

2、f0，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量,物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。,2. 指数形式傅立叶级数,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,3确定信号的基频和周期,当不考虑信号的直流分量时, 的3个分量的角频率分别时1/2,2/3,和7/6,相邻两个频率之比为3/4,4/7,和3/7,显然三者之间呈现谐波关系,他们之中的最大公约数时1/6,因此1/6是基频 ,也就时说该信号具有3次,4次和7次谐波,进一步可求得周期,讨论,4周期矩形脉冲信号的频谱,x(t),Fn,

3、t,0,0,E,T,-T,5.信号的频带宽度,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。,3.2 非周期信号的频谱分析 傅里叶变换,1.从傅立叶级数到傅立叶变换,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,傅立叶 变换,傅立叶的逆变换,傅立叶 逆变换,物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为F()/2pd 的复指数信号ejw t的线性组合。,傅立叶变换一般为复数,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,傅立叶变换存在的充

4、分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,傅立叶正变换：,傅立叶反变换：,符号表示：,试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数,解 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为,由傅立叶正变换定义式，可得,(1)矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,2.常见非周期信号的频谱,频谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,(2)单边指数信号,频谱图,幅度频谱：,相位频谱：,(3)双边指数信号e-|t|,幅度频谱为,相位频谱为,(4) 单位阶跃信号(t),单位阶跃信号及其频谱,(5)单位冲激信号(t),单位冲激信号及其频谱,7符号函数,处理方法：,做一个双边函

5、数,不满足绝对可积条件,频谱图,1. 线性特性 2. 对称特性 3. 尺度变换 4. 时移特性,5. 频移特性 6. 卷积定理 7. 微分特性 8. 积分特性,3.3 傅里叶变换的性质,其中a和b均为常数。,则,1.线性特性,2.互易对称特性,证明:,令x=at，则dx=adt ，代入上式可得,时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。,3. 尺度变换,式中t0为任意实数,证明：,令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得,信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。,4 时移特性,试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频谱函数F1(jw)。,解 无延时且宽

6、度为的矩形脉冲信号f(t) 如右图，,因为,故，由延时特性可得,其对应的频谱函数为,若f(t) F(jw),式中0为任意实数,证明： 由傅立叶变换定义有,则,5. 频移特性,信号f(t)与余弦信号cosw0 t相乘后，其频谱是将原来信号频谱向左右搬移w0，幅度减半。,同理,(1)时域卷积定理,证明：,6. 卷积定理,证明：,(2)频域卷积定理,(1)时域微分,则,若f(t) F(jw),7. 微分性质,试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。,解,由时域微分特性,因此有,(2)频域微分,则,若 f(t) F(jw),将上式两边同乘以j得,证明：,试求单位斜坡信号t(t)的傅立叶变换。,解 已知

7、单位阶跃信号傅立叶变换为:,利用频域微分特性可得:,(1)时域积分性质,也可以记作：,8. 积分性质,1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换,解：,解：,周期信号：,非周期信号：,周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？,3.4 周期信号的傅里叶变换,由傅里叶级数的指数形式出发：,其傅氏变换(用定义),认识,如何由 求,比较式(1),(2),周期单位冲激序列的傅里叶变换,频谱,周期矩形脉冲序列的傅氏变换,方法1,利用时域卷积定理，周期T1,利用冲激函数的抽样性质,方法2,是功率有限信号,定义,f(t)的功率密度函数(功率谱）,3.5信号的功率谱与能量谱,1. 功率谱,即,功率有限信号的功率

8、谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,由相关定理知,所以,又能量有限信号的自相关函数是,有下列关系,2. 能量谱,帕塞瓦尔方程,定义,能量谱密度（能谱）,所以有,所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。,3.6 调制和解调,1. 调制,定义,所谓调制,就是用一个信号去控制另一个信号的某一参量的过程.其中控制信号称为调制信号,被控制信号称为载波.,乘法器,调制信号,已调信号,调制的分类 按载波 正弦型信号作为载波 脉冲串或一组数字信号作为载波 连续性 模拟（连续）调制 数字调制,载波是高频正弦波,控制载波的幅度称为调幅(AM),控制载波的频率或者相位分别称为调频(FM)或调相(PM).,2.

9、解调,将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。,频谱,利用包络检波器解调,r(t)：半波整流信号 w(t)：图中得到的包络 x(t)：实际包络，即A+g(t),3.频分复用,复用：在一个信道上传输多路信号。 频分复用 （FDM） 时分复用 （TDM） 码分复用（码分多址）（CDMA） 波分复用（WDM） 频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply),调制，将各信号搬移到不同的频率范围。,3.7 连续时间系统(LIT)的频域分析,1.频域的系统函数及频域分析,系统函数,仅与系统本身的特性有关,而与外加激励无关,求解响

10、应的傅氏变换法:,(1)将输入激励 变换为频域的 (2)确定系统函数 ,可借助正弦稳态电路的分析方法 (3)求出响应的傅氏变换 (4)求傅氏反变换,得,2.信号的无失真传输,所谓信号的无失真传输是指输出信号与输入信号相比只有幅度大小的变化和出现时间的先后,而波形上没有任何变化.数学描述为:, 的低频段内，传输信号无失真 ( ) 。, 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。,3.理想滤波器,(1)冲激响应,波形,由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同 样的结果.,1比较输入输出，可见严重失真；,2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统,认识,当 经过理想低通时， 以上的频率成分都衰减为0，所以失真。,信号频带无限宽，,而理想低通的通频带(系统频带)有限的,系统