立体几何(向量法)—找点难(列方程)

1、立体几何（向量法）找点难（列方程）例1（2012高考真题福建理18）如图13，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长图13【答案】解：(1)以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存

2、在一点P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1，得AD1A1D.B1CA1D，AD1B1C.又由(1)知B1EAD1，且B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1.是平面A1B1E的一个法向量，此时(0,1,1)设与n所成的角为，则cos.二面角AB1EA1的大小为30，|cos|cos3

3、0，即，解得a2，即AB的长为2.例2（2012高考真题北京理16）（本小题共14分） 如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.(I)求证：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，,设平面法向量为则 又，与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则 。假设平面

4、与平面垂直，则，不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。例3（2012高考真题全国卷理18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图11【答案】解：方法一：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF

5、.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x

6、轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设(x，y，z)为平面PAB的法向量，则0，0，即2z0，且xby0，令xb，则(b，0)设(p，q，r)为平面PBC的法向量，则0，0，即2p2r0且bqr0，令p1，则r，q，.因为面PAB面PBC，故0，即b0，故b，于是(1，1，)，(，2)，cos，60.因为PD与平面PBC所成角和，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.例4（2

7、012高考真题天津理17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1.（）证明PCAD；（）求二面角A-PC-D的正弦值；（）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长. 【答案】解：方法一：如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)(1)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)(0,1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量(x，y，z)，则即不妨令z1，可得(1,2,1)可取

8、平面PAC的法向量(1,0,0)于是cos，从而sin，.所以二面角APCD的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2，1,0)，故cos，所以，cos30，解得h，即AE.方法二：(1)由PA平面ABCD，可得PAAD.又由ADAC，PAACA，故AD平面PAC，又PC平面PAC，所以PCAD.(2)如图所示，作AHPC于点H，连接DH.由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角.在RtPAC中，PA2，AC1，由此得AH.由(1)知ADAH.故在RtDAH中，DH.因此sinAHD.所以二面角APCD的正弦值为.(3)如图所示，因为ADC45，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF.故EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角由BFCD，故AFBADC.在RtDAC中，CD，sinADC，故sinAFB