石英晶体谐振器分析和设计基础

1、Fundamentals of Analysis and Design of Quartz Crystal Resonators Version 2.0 宁波大学压电器件实验室 王骥 2005-2009,石英晶体谐振器分析和设计基础,提纲,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,提纲,石英晶体谐振器介绍,石英晶体谐振器,谐振器应用实例,3,38,生物与 化学传感器,石英晶体在消费电子中的应用,Nokia

2、3310 GSM手机 中所用到的压电器件 Nokia 3310 GSM Handset Has the following Piezoelectric Components (照片由林真诚博士提供),手机中所用到的压电器件,压电谐振器起源介绍,1880年Pierre和Jacques Curie弟兄发现了压电效应。当在绝缘固体上施加压力时，电介质固体的表面间能够产生电压，同时也可能产生很小的电流。一些特定的晶体能够显示压电效应，例如：石英晶体、罗谢尔盐和陶瓷材料。当将电压施加在一个具有压电特性的固体的表面时，在该固体也可以产生机械变形。,常见石英晶体谐振器的形状 圆形 矩形 音叉,石英晶体谐振器

3、介绍,石英晶体在电子学上的应用,提纲,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,石英晶体,石英晶体,石英晶体及其性质,石英晶体谐振器是一个用作频率标准的电子元件，它也可以使频率稳定并实现频率的选择和检测。石英晶体谐振器广泛地应用在各类电子系统、设备和仪器中如无线电话、微波通信、广播、电视、卫星和远距离通信、电子表和各类数字化仪器等等。它也能用来作为温度、压力和重力等类型的传感器的核心部件。,石英晶体及其性质,石英晶体和它的重要特性有: 压电材料 高度各向异性 高的品质因数 容易加工 供应充足(砂子) 良好器件特性(如频温

4、关系等),石英晶体的压电性能来源于变形在一些界面上产生的异性极化电荷。 压电声波谐振器作为频率控制器件利用了逆压电效应，即晶体材料会在交变电流的产生变形，激发晶体板的振动，实现稳定的频率源的目的。 压电材料的压电效应在传感器技术中有重要应用。,石英晶体及其性质,石英晶体品质因数,品质因数Q是很重要的材料特性和器件工作性能指标。我们这样来定义 这一定义适用于任何器件和材料，对晶体谐振器而言它是几个最重要的指标之一。,一般来说，谐振器的品质因数Q主要是由其结构来决定的，但石英晶体材料的品质因素也会有影响，必须在制造过程中考虑。 石英晶体材料的Q值的红外吸收光谱法是基于5MHz标准谐振器的品质因素与

5、红外吸收光谱的对应关系。 红外光谱值a反映了材料的纯净程度。,石英晶体及其性质,石英晶体材料的红外光谱检测结果与品质因素的关系是 106 / Q = 0.114 + 7.47 a -0.45a2 用于谐振器生产的石英晶体材料包括,石英晶体及其性质,关于石英晶体材料的主要标准包括 IEC 60758 (2008): Synthetic quartz crystal Specifications and guidelines for use ECA EIA-477-A (1990): Cultured Quartz (Inclusion of 477-1-A) GB 11113 (1989):人造

6、石英晶体中杂质的分析方法 GB 11114 (1989):人造石英晶体位错X射线形貌检测方法,石英晶体及其性质,1.双晶 (Twins) 是指两个以上的同种晶体，按一定规律相互连生在一起，典型的形式有电双晶(同旋向晶体的连生，道芬双晶)和光双晶(异旋向晶体的连生，巴西双晶)。 双晶多出现在天然石英晶体中，但在石英晶片的加工中也会诱发产生双晶。当石英晶片加热温度超过573，或虽不超过573，但石英晶片内部温度梯度太大，都可能产生电双晶。在晶片研磨时，由于机械应力的作用，也可能产生微小的电双晶。,石英晶体的常见缺陷,2.包裹体 (Inclusions) 是混杂在晶体内部的其它矿物质。包裹体是石英晶

7、体的一种主要缺陷，它对石英谐振器的电气性能影响极大。包裹体密度大小是一个材料分级的重要指标，反映了材料的纯度，对谐振器性能有较大的影响。 3. 蓝针 (Blue needles)：在石英晶体中呈蓝色针状的缺陷称为蓝针。,石英晶体的常见缺陷,4.裂隙 (Etch channels)：指存在晶体内部的小裂隙, 通常按照单位面积的数量来测量,是石英晶体质量分级的重要指标. 5.棉 (Filaments)：晶体内部集中出现的许多微小气泡和小裂缝，呈现白色如棉花状，这种缺陷俗称为棉。,石英晶体的常见缺陷,自从在1920 年石英晶体被选择作为石英振荡器的材料后，许多研究者一直都在寻找一种比石英还好的材料。

8、许多材料看起来很有希望，如块磷铝矿、焦硼酸锂和磷化镓，但是都无法与石英相比。 硅酸锰锑铁矿(La3Ga5SiO14 , LGS)，LGN (La3Ga5.5Nb0.5O14)，LGT (La3Ga5.5Ta0.5O14)等统称LGX族，看起来有很大的希望。LGT 谐振器的Q 值与频率的乘积是石英晶体的两倍。这些材料可能改进特性的如下： 1. 相对于石英，声衰减更低（比AT 切或ST 切石英的Q 值高）。 2. 没有相变（熔点大约为1400，石英的相移温度573）。 3. 机电耦合性能高于石英。这可以得到更高的泛音；在高泛音下可能降低滞后；使VCXO的可调能力更强；在滤波器应用中，得到宽带宽，低

9、阻抗和高频工作能力。 4. 相同频率下比石英厚。这使其同一加速度下，变形小，因此可能降低加速度灵敏度。 5. 改善温度补偿。,石英晶体及其性质,石英晶体谐振器介绍,天然石英,x,石英晶体谐振器介绍,人造石英,z,y,x,提纲,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,石英晶体谐振器介绍,石英晶体谐振器利用压电效应来提供稳定的参考频率。它的频率源于交流电压驱动的带有电极的石英晶体结构的机械振动。它是应用最广泛的频率控制产品之一，你能够在常见的通讯装置(如电话、手机和收音机等)和家用电器中都能找到它们。,石英晶体谐振器介绍,

10、一个石英晶体谐振器能够利用不同的机械振动模式(如弯曲、拉伸和厚度剪切等)和它们的高次谐波(泛音)作为它们的独特的振动频率。通常我们所选择的振动模式是由频率范围、频率稳定性、谐振器尺寸大小、品质因数和其他的因素来决定的。,由于石英晶体谐振器的性能是由晶体板的高频振动来决定的，在石英晶体谐振器的设计中考虑的主要参数包括 几何尺寸(厚度、长、宽、尺寸变化/倒边) 电极材料与尺寸 安装形式与尺寸,石英晶体谐振器介绍,影响石英晶体谐振器的其它因素,石英晶体谐振器介绍,谐振器频率与时间的决定因素,石英晶体谐振器介绍,一般来说，我们需要用一个谐振器结构的物理模型来分析石英晶体谐振器的振动。如果不区别特定的振

11、动模式，典型的谐振器用如下一个简单的模型表示。,晶体,电极,驱动电压,石英晶体谐振器介绍,在石英晶体谐振器的诸多特性中，一些特性直接关系到石英晶体谐振器的设计，而这些特性一直是我们用各种理论、方法和工具进行分析的对象。进行准确、全面和可靠的分析是这方面研究的目标，因为这将使晶体谐振器的设计过程更加具有灵活性和成熟。,石英晶体谐振器介绍,我们想要通过一个理想化的分析和设计过程来考虑石英晶体谐振器的下述特性： 频率温度特性 虽然谐振器结构的振动送频率是稳定的，但是它会因温度的变化而产生轻微的改变。也就是说，石英晶体谐振器有这样的特性：频率随着温度的变化而变化。,石英晶体谐振器介绍,谐振和抗负载性

12、在确定的条件下，石英晶体谐振器的电气特性应对应于谐振频率。对于晶体谐振器作为电子器件来说，这是基本的也是重要的特性。 静态和动态电容 在电路中，在谐振频率驱动时电压为直流和交流时的电容。,石英晶体谐振器介绍,电感 在电路中，这是一个很重要的谐振电路参数。 激励电平效应 如果驱动电平高，谐振器很容易振荡，但频率的稳定性会被破坏。如果驱动电平过高，晶体谐振器的表面还可能被破坏。如果驱动电平过低，频率瞬间的反应将要变弱或者谐振器不能够起振，因此驱动电平和频率的稳定性在加工和设计中是一个重要的指标。,常见问题 寄生模态(Spurious modes)：一般指工作模态以外的所有振动模态。 活性下降(Ac

13、tivity dip): 表现为电阻或频率突然发生变化, 一般会很快恢复原来的工作状态。通常认为是由于振动跳跃到寄生模态造成的。,石英晶体谐振器介绍,石英晶体谐振器介绍,石英晶体优异的频率温度关系虽然能够提供稳定的频率输出，但这仅仅局限于特定的晶体方向。通常我们称这些特殊的方向为不同的切型，意味着可以通过晶体轴的旋转获得这些方向和以一种特别的方式来切割晶体。我们熟悉的切型有AT，SC和ST等。,石英晶体谐振器介绍,图示一个典型的旋转Y切,X,Y,Z,O,q,f,X,石英晶体谐振器介绍,通过前面的图形，我们获得了用于器件制造的旋转切割和双旋转切割。下面是典型切型的旋转角。 AT-切 q = 35

14、.25o SC-切q = 33.93o , f = 21.93o 对于谐振器应用而言，我们仍然在努力寻求更好的切型以便获得好的频率温度特性。,石英晶体谐振器介绍,AT和 BT切型,R,y,AT切 35 度 15 分,BT切 49 度 0 分,提纲,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,石英晶体谐振器介绍,石英晶体是一种各向异性材料，这就意味着在方向上的旋转变化将会在材料性能方面引起相应的变化，如弹性常数、介电常数等和决定器件振动频率和电路参数的压电常数。这是在产品研发和制造中对材料切型方向上进行微调的理论基础。,石英

15、晶体谐振器介绍,利用前面所给的物理模型对石英晶体谐振器进行分析的理论在过去的几十年中已有长足的发展和改进，但这方面的努力一直末有停顿过。我们仍然在寻求可以直接用于谐振器设计的成熟简单理论和方法。 基于压电板理论的CAD 技术现在已经可以用于谐振器设计。,石英晶体谐振器介绍,在晶体谐振器的设计中，第一步是决定指定频率的基本参数。这通常用板模型来进行，而由板理论给出的振动基频为 2b-晶体板厚度 r -石英晶体密度, 2650 kg/m3 -弹性常数，依赖于振动模式,石英晶体谐振器介绍,通过一个简单方程，根据设计频率我们能够得到板的厚度如下 对于AT切石英晶体，我们有 因此 如果 f =16.38

16、4MHz, 则板的厚度为 101 mm。这是我们获得的第一个设计参数。,石英晶体谐振器介绍,我们需要在设计过程中决定其他的参数，如宽度、长度、电极大小和晶体表面的支撑结构等。 遗憾的是，没有简单的方程来决定这些参数，因为它们关系到有约束条件的弹性板的高频振动分析。由于这个原因，我们需要利用板的方程。 关于这些方程和符号的具体定义，可以参考压电理论书籍和IEEE技术标准ANSI-IEEE 176 (1987): Standard on Piezoelectricity。,石英晶体谐振器介绍,石英晶体是压电材料，与晶体谐振器振动相关的物理方程有,石英晶体谐振器介绍,我们还有应变和电场方程如下,石英

17、晶体谐振器介绍,另外，我们也有如下 最后，我们还有板的表面上关系到位移、电势、应力和电位移的边界条件。,石英晶体谐振器介绍,利用这些方程，理论上我们能够解决压电板的振动问题。但在实际上，问题比我们看到的要更困难。我们有好几个用于谐振器和压电分析的理论。 Mindlin 板理论是必须了解的。 Lee 的板理论有一些优点(不需要修正)。 我们仍然对板的高频振动理论进行修正和进一步的研究。,石英晶体谐振器介绍,谐振器的板振动模型,Mindlins book by World Scientific, 2006.,石英晶体谐振器介绍,对前面给定的坐标和板结构模型, Mindlin于上世纪50年代提出了用

18、于研究压电板高频振动的板理论，用连续高阶位移分量来考虑复杂的厚度剪切变形。这个理论和用于晶体谐振器的分析和解决方法是大家熟知的，并已经推广到有限元法。 我们在这里讨论仅限于Mindlin板理论的基本知识。我们的重点在于理解振动模式和分析办法。 Ji Wang and Wenhua Zhao: The determination of the optimal length of crystal blanks in quartz crystal resonators, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., and Freq. Contr., 52(11): 202

19、3-2030, 2005.,石英晶体谐振器介绍,AT 切石英晶体板的主要振动模式如下图所示,长度拉伸,弯曲,厚度剪切,厚度剪切,面切,石英晶体谐振器介绍,作为示范, 三个耦合振型，即厚度剪切 (TSh1 和TSh3) 和弯曲(FL)的零阶应力位移方程是,石英晶体谐振器介绍,一阶应力位移方程,石英晶体谐振器介绍,应力运动方程,石英晶体谐振器介绍,定义如下参数,石英晶体谐振器介绍,边界条件通常依赖于晶体表面的支撑结构，但是在理论分析上我们很难找到能够满足所有的边界条件的解。我们使用如下的边界条件来求解,石英晶体谐振器介绍,通过上述的解法来满足板的四条边的边界条件是不大可能的，因而我们不得不找出近似

20、的求解方法或者使用有限单元法。 无论如何，对于设计和改善谐振器来说，来自于上述方程的解是具有启发性的。,石英晶体谐振器介绍,一个非常有用的解法就是所谓的直行波法，这个解法基本上是假定解与宽度X3坐标没有关系。这个假定对于一些器件来说是正确的，因为宽度比起波长大很多。我们选择对称的厚度剪切振动,石英晶体谐振器介绍,通过把位移带入运动方程，我们得到频率和波数之间的色散关系。这是一个很重要的方程因为它能够告诉我们波如何传播的。,石英晶体谐振器介绍,通过把位移带入一维运动方程，我们得到,石英晶体谐振器介绍,作变量归一化 从前面的方程，我们可以得出归一化波数Z,石英晶体谐振器介绍,色散关系,Re Z,I

21、m Z,W,1.0,弯曲,剪切1,剪切3,石英晶体谐振器介绍,对于厚度剪切和弯曲振动，位移和应力的解是,石英晶体谐振器介绍,通过无应力边界条件我们得到 从上面的方程中我们能够获得谐振频率W 和长度对宽度的比值(a/b)的关系，或我们在设计过程中使用的频率谱图。,石英晶体谐振器介绍,频率谱图示意如下,a/b,W,良好,欠佳,TSh,FL,计算的频谱图,温度-频率有限元分析结果,Ji Wang, Jiun-Der Yu, Yook-Kong Yong, and Tsutomu Imai: A Finite Element Analysis of Frequency-temperature Rela

22、tions of AT-cut Quartz Crystal Resonators with Higher-order Mindlin Plate Theory, Acta Mechanica, 199 (1-4), 117-130, 2008.,石英晶体板长度的最佳值为 注意这是一个理想值。谐振器的结构会改变这一结果，它是我们选择设计参数的出发点。 Ji Wang and Wenhua Zhao: The determination of the optimal length of crystal blanks in quartz crystal resonators, IEEE Trans

23、. Ultrason., Ferroelect, and Freq. Contr., 52(11): 2023-2030, 2005.,石英晶体谐振器介绍,石英晶体谐振器介绍,考虑很多复杂因素如电极、支架结构和其他因素的精确频率谱图在选择合适的设计参数如频率和边长比等方面是非常重要的。 我们可以看出我们需要尽量避免那些与我们想要利用的厚度剪切变形的高度耦合的弯曲变形。,石英晶体谐振器介绍,位移解如下,石英晶体谐振器介绍,厚度剪切位移在设计过程中是非常重要的，其一半分布如下图所示。,a/b,石英晶体谐振器介绍,从上述解法中，我们可以观察到 如果在端部没有约束，最大的厚度剪切位移将在板中心。对于真

24、正的产品而言，需要做一些调整。 电极的出现使谐振器振动频率降低。 电极尺寸将增加静态电容，因而在设计时要谨慎。 分析方法可给出器件设计参数的上下限，因此制造过程控制是重要的。,石英晶体谐振器介绍,振动分析能够发现所谓的寄生振型，如弯曲和拉伸振型，以及它们与厚度剪切振型的耦合。 在选择正确的参数时，精确的振型形状和频率谱图能够提供最初的出发点，这些参数通过重复的迭代过程会更加完善。 它也能用来完善和优化现有的产品设计。,石英晶体谐振器介绍,这些演示性的方程和解法对于精确的频率谱图和位移的求解来说是不够的，因为 有更多的强耦合振型。 宽度的影响要考虑。 实际的晶体板支架要考虑。,石英晶体谐振器介绍

25、,在前面简述的演示性的步骤的基础上，我们建议对分析方法做如下的补充 继续利用简单的方程式。 随着解法的成熟选择合适的的模型。 在分析过程中验证分析方法。 运用经验改善分析过程。,石英晶体谐振器介绍,为了满足设计需要，我们一直通过使用有限元法对位移和频率范围做精确的分析并考虑像压电效应这样的复杂因素。 这一方法已经在一些主要的石英晶体谐振器制造厂家应用。,石英晶体谐振器介绍,晶体谐振器的频率-温度关系也能通过考虑热效应的板理论和有限元法来分析。 在实现这一技术上一般没有困难，结果也能够满足设计要求。 这可以看作是限元法对完整的Mindlin板的理论的实现。,石英晶体谐振器介绍,我们早期的有限元法

26、分析有如下特征: Mindlin 板理论没有阶数的限制。 板理论考虑了热效应。 电极考虑了质量和刚度。 边界条件全部考虑。 对于频率计算有快速的算法。 网格生成和数据显示功能。 缺点是对于计算机内存的较大需求，这一点几年前很难做到。,由于石英晶体谐振器的分析是一个典型的结构振动问题，目前已经成熟的有限元法可以用来对实际产品进行分析计算。现有的尝试包括谐振器的优化设计、频率稳定性分析和电路参数计算等，是一个有效的分析工具。 常见软件包括Ansys和Cosmol等 需要据有较大内存的计算设备 需要压电板高频振动分析的经验,石英晶体谐振器介绍,提纲,石英晶体谐振器及其应用 石英晶体及其性质 谐振器构

27、造与工作原理 谐振器的设计理论基础 谐振器的有限元分析 参考文献,研究背景,有限元方法作为结构分析的利器，应用广泛。 作为一个典型的弹性波传播和高频振动问题，压电声波谐振器完全可以用有限元法来分析。 借助于有限元法商用软件，我们可以获得在特定振动模式下谐振其位移的精确空间分布。 谐振器特点：振动频率高、各向异性材料。 常用软件：Ansys, Nastran, Cosmol, Abaqus等。,研究背景,压电声波谐振器的有限元分析早期是以专门开发的软件的进行的，因为当时的通用软件的功能还不够全面。另一方面，计算能力的限制也使得通用软件不能广泛推广。 专用软件在三维理论中考虑压电强化，可以消去电场

28、而简化为纯粹的机械振动问题 利用Mindlin板理论，可以使有限元计算的自由度减少，而计算结果还是精确的。 目前有限元计算软件的普及和计算资源的极大丰富,使基于通用软件的有限元分析成为可能。,有限元分析现状,基于有限元/边界元方法的压电声波谐振器分析软件研究和开发在美国、欧洲和中国有多个团队。 利用常见的通用商用有限元软件(Ansys, Nastran, Abaqus, Cosmol等)进行压电声波谐振器的优化和设计在世界主要工业国日益普遍。 由于通用软件具有使用方便和功能强等特点，它应该是我们用于研究和设计的首选。 压电声波器件的特殊需求可以通过开发专门计算单元来实现。,基本要求,对压电弹性

29、体和谐振器的高频振动理论有基本了解。 知道如何计算所关心的振动频率并识别工作模态。 知道如何使用有限元分析软件。 知道所用的材料的弹性常数。 拥有居有足够内存的计算机(至少2G内存)。,石英晶体材料参数,分析使用的压电材料是AT切石英晶体弹性常数为 石英晶体的密度为,注意事项,在ANSYS中输入弹性常数时，需要注意它们的排列顺序。不同于通常的x、y、z、yz、xz、xy排列，ANSYS软件中的顺序是x、y、z、xy、yz、xz。所以，部分弹性系数的位置需要变动，如 就要换到 的位置。 为了得到较为清晰的厚度剪切模态，根据以往的理论和实验分析结果，我们需要利用可信考题和经验对有限元结果进行验证和

30、选择。,注意事项,板的厚度剪切模态频率的理论值由下式确定 对于AT切石英晶体板，剪切振动的基频是 计算前应先根据这一公式对频率进行归一化处理，使得最后的有限元计算得到的厚度剪切模态频率接近1。,建立模型和划分网格,计算中使用20节点六面体单元SOLID226，这种单元可以用来分析各向异性材料。 为使有限元结果更加准确，模型的网格划分一般采取一个波长至少8个节点的原则。对于厚度剪切模态，厚度方向最好划分4个以上的单元。,计算实例：矩形板,矩形板模型参数 2a=2510-4 m, 2b=110-4 m, 2c=12.510-4 m,计算结果,计算的结果数目众多，通常每0.01个基频的区间内就有上百

31、个甚至几百个模态，而且其中有相当一部分模态看上去杂乱无章。 选取适当的模型尺寸、频率计算范围以及网格的疏密和均匀程度就变得十分重要。 在对结果的观察过程中，应使用resultsviewer选项，迅速找到需要模态。,计算结果,我们首先对不同网格密度下计算得到的厚度剪 切模态频率进行分析。,计算结果,计算结果,矩形板剪切模态位移ux的云图, 频率约为1.003058,计算结果,矩形板剪切模态延X方向ux的分布,其中Z=0,Y=0,计算结果,矩形板剪切模态延Z方向ux的分布,其中X=0,Y=0,计算实例：圆形板,圆形板模型参数 a=1210-4 m, 2b=110-4 m,计算结果,圆形板剪切模态位

32、移ux的云图, 频率约为1.005462,计算结果,圆形板剪切模态延X方向ux的分布,其中Z=0,Y=0,计算结果,圆形板剪切模态延Z方向ux的分布,其中X=0,Y=0,结论与建议,通用有限元程序如Ansys可以用进行压电声波谐振器的分析。 在分析之前应该对谐振器的振动模态有足够的信息，这样可以保证准确地识别振型。 熟悉谐振器结构和边界条件。有限元建模时只考虑理想边界条件。 利用高阶单元可以改善收敛性。 最好能用其他软件或实验结果对计算结果进行验证。 注意通过网格细化等方式检验收敛性。 熟悉有限元软件的基本功能如建模和参数输入等。 这些结果可用于谐振器的设计和优化。,未来问题,有限元分析计算量

33、很大，一般很容易到上百万个自由度，计算时间也比较长。 需要利用具有并行处理功能的软件和并行集群来解决实际问题。 需要建立压电声波谐振器完整模型进行分析。 需要利用软件的可扩展功能来研究参数影响。 需要考虑复材料常数来计算电路参数。,石英晶体谐振器介绍,我们已经了强调分析的目的是 在设计时增加第一次的成功率 提高谐振器性能 完善和优化现有产品 总之，分析的目的是将要使新产品的开发周期缩短，从而增加在市场上的竞争优势和减少产品研发的费用。,石英晶体谐振器介绍,有了成熟的分析方法和结果，我们的注意力需要转移到以下方面 电气特性的估计 激励电平依赖性预测 封装效果的考虑 其他的复杂因素,石英晶体谐振器

34、介绍,通过分析方法和结果来协助晶体谐振器的设计过程，可采用如下的步骤: 用简单的方程进行分析，结果要能够解决实际工程设计问题。 尽可能得到最好的解。 通过实验来检验分析方法。 用新的研究结果来修正现有的板理论。,宁波大学压电器件实验室 () IEEE Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control Society () Dr C. S. Lam(林真诚) 博士的论文和报告等： .tw/download/tech_paper/2006-SJU-1-English.pdf http:/www.epso

35、ntoyocom.co.jp/english/application/index.html http:/www.epsontoyocom.co.jp/english/special/crystal/about/index.html 维基百科 (),网络资源,石英晶体谐振器参考书,Chinese/中文 王矜奉，姜祖桐，石瑞大，压电振动，科学出版社，1989。 John R. Vig (潘立虎，谢莉辉译) ，石英晶体谐振器和振荡器 ，中国航天工业总公司科学技术部、二院二零三所，1993。 张福学，王丽坤，现代压电学 (共三册)，科学出版社，2001。

36、秦自楷，压电石英晶体，国防工业出版社，1980。 V. E. Bottom （潘景程译），石英晶体元件设计导论，宇航出版社，1987。 张沛霖，钟维烈等编著，压电材料与器件物理，山东科学技术出版社，1997。 赵声衡著，石英晶体振荡器，湖南大学出版社，1997。 赵声衡著，晶体振荡器，科学出版社，2008。 冯冠平著, 谐振传感理论及器件，清华大学出版社，2008。,石英晶体谐振器参考书,English/英文 Thrygve R. Meeker, William R. Shreve, and Peter S. Cross, “Theory and properties of piezoelec

37、tric resonators and waves”, In Precision Frequency Control (Eduard A. Gerber and Arthur Ballato, Editors), vol. 1, Acoustic Resonators and Filters, pp. 47-145, Academic Press, 1985. H. F. Tiersten, Linear Piezoelectric Plate Vibrations, Plenum, New York, 1969. B. A. Auld, Acoustic Fields and Waves i

38、n Solids, Krieger, 1990. R. D. Mindlin, An Introduction to the Mathematical Theory of Vibrations of Elastic Plates. US Army Signal Corps Engineering Laboratories, Fort Monmouth, New Jersey, 1955. Available online at . Also World Scientific, 2006. P. C. Y. Lee, S. Syngellakis, and J.

39、 P. Hou, “A two-dimensional theory for high-frequency vibrations of piezoelectric plates with or without electrodes”, J. Appl. Phys., 61(4):1249-1262, 1987.,石英晶体谐振器参考书,J. Wang and J. S. Yang, “Higher-order theories of piezoelectric plates and applications”, Appl. Mech. Rev., 53(4):87-99, 2000. P. C.

40、 Y. Lee and Y. K. Yong, “Frequency-temperature behavior of thickness-shear vibrations of doubly rotated quartz plates affected by plate dimensions and orientations”, J. Appl. Phys., 60(7): 2327-2341, 1986. Ji Wang, J-D Yu, Y-K Yong, and T. Imai, “A new theory for electroded piezoelectric plates and its finite element application for the forced vibrations of quartz crystal resonat