231直线与平面垂直的判定.ppt

1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定,1.理解直线与平面垂直的定义. 2.通过直观感知,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 3.理解直线与平面所成的角的含义,会求直线与平面所成的角.,1.直线与平面垂直,任意一条直线,l,垂线,垂面,垂足,2.直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的_都垂 直,则该直线与此平面垂直. (2)符号语言：_. (3)图形语言：,两条相交直线,3.直线与平面所成的角 (1)斜线：一条直线PA和一个平面_,但不和这个平面 _,这条直线叫做这个平面的斜线.,相交,垂直,(2

2、)直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上 的_所成的_,叫做这条直线和 这个平面所成的角. 垂直：当直线AP垂直于平面时,它们所成的角为_; 平行或直线在平面内：当直线PA与平面平行或在平面 内时,它们所成的角为_; 范围：直线与平面所成角的范围：_.,射影,锐角,90,0,090,1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”). (1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面.() (2)如果一条直线不垂直于一个平面,那么这条直线不垂直于这个平面内的任意直线.() (3)两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线一定平行.(),提示：(1)

3、错误.当这两条直线是相交直线时,可以得到这条直线垂直于这个平面. (2)错误.直线在平面内或者和平面平行或者和平面斜交,都能找到和这条直线垂直的直线. (3)错误.两条直线和一个平面所成的角相等,这两条直线相交、平行、异面都有可能. 答案：(1)(2)(3),2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上). (1)过直线外一点可作条直线与该直线平行,可作 条直线与该直线垂直;过平面外一点可作条直线与该平面平行,可作条直线与该平面垂直. (2)已知直线m,n是异面直线,且m,n,直线lm,ln,则l与的位置关系是.,(3)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与平面BB

4、1C1C所成的角为.,【解析】(1)过直线外一点与该直线平行的直线只有一条,垂直的直线有无数条,可能相交,也可能不相交.过平面外一点有无数条直线与平面平行,垂直只有一条. 答案：1无数无数1 (2)由于直线m,n是异面直线,且m,n,则平面内存在相交直线分别和m,n平行,且和直线l垂直,故l. 答案：垂直,(3)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体, 所以A1B1平面BB1C1C, 所以B1C1是A1C1在平面BB1C1C内的射影, 所以A1C1B1为A1C1与平面BB1C1C所成的角, 因为A1B1C1D1是正方形, 所以A1C1B1=45, 即A1C1与平面BB1C1C所成的角为45.

5、答案：45,一、直线与平面垂直的定义 根据直线与平面垂直的图形表示,并结合直线与平面垂直的定义,探究下列问题：,探究1：如果直线l与平面内的一条直线垂直,则直线l与平面互相垂直吗? 提示：根据直线与平面垂直的定义,只有直线l与平面内的任意一条直线都垂直时,直线l才与平面垂直.若直线l与平面内的一条直线垂直,则不能判定直线l与平面垂直.如图：,探究2：如果直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平 面互相垂直吗? 提示：(1)当这无数条直线为平行直线时,不能判定直线l与平 面互相垂直.如图： (2)当这无数条直线存在相交直线时,则直线l与平面垂直.,【探究提升】直线与平面垂直的定义理解时的三个

6、注意点 (1)定义中的“任意一条直线”与“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况. (3)图形反映的是线面垂直的直观图,要理解其中的线面关系本质,即若a,m,则am.,【拓展延伸】线面垂直的其他性质 (1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直. (2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.,二、直线与平面垂直的判定定理 根据直线与平面垂直的判定定理的符号表示：la,lb, a,b,ab=Pl,思考下列问题：,探究1：若将条件中的ab=P去掉,结论是否成立? 提示：如果两条直线平行,则直线l不一 定与平面垂直,如图： 如果两条直线相交,则

7、直线l一定与平面垂直.,探究提示：考虑平面内两条直线的位置关系.,探究2：利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是什么? 提示：利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是先在平面内寻找两条相交的直线,再证明直线l分别与这两条相交直线垂直.,【探究提升】深入理解直线与平面垂直的判定定理 (1)引进判定定理的必要性 用线面垂直的定义可以证明线面垂直,但是要说明直线与平面内所有直线都垂直,在实际运用时有困难,所以需要引进一种容易操作、应用广泛的证明方法.,(2)关键词“两条相交直线”的理解 虽然平面内的直线有无数多条,但平面却可以由两条相交直线完全确定. 不能用“一条直线与平面内的两条

8、平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上,由公理4可知,平行具有“传递性”,因此一条直线与平面内的一条直线垂直,那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直,但不能保证与其他直线垂直.,(3)所体现的数学思想 直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想,即将线面垂直转化为线线垂直.,三、直线与平面所成的角 根据直线与平面所成的角的定义和斜线与平面所成的角的作法,思考下列问题：,探究1：完成下面的填空,理解直线与平面所成的角的定义： (1)当直线在平面内或直线和平面平行时,直线和平面所成的角为. (2)当直线和平面垂直时,直线和平面所成的角为. (3)当直线和平面相交但不垂直时,直

9、线和平面所成的角为直线和其所成的锐角. 答案：(1)0(2)90(3)射影,探究2：若上图中的POA是斜线PO与平面所成的角,则需具备哪些条件? 提示：需要PA,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样POA就是斜线PO与平面所成的角.,【探究提升】斜线与平面所成的角的三个关注点 (1)斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和它的射影所成的锐角(平面角)来定义的,其思想是把空间问题转化为平面问题. (2)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小的. (3)过斜线上一点找平面的垂线是求找线面角的关键.,【拓展延伸】三余弦公式 已知平面的斜线a与内一直线b相交成角,且a与相交成1角,a在上的射

10、影c与b相交成2角,探究三个角,1, 2的关系. 如图作PO于O,OBb于B,连接PB,则PBb,PAB=,PAO=1, BAO=2, 在直角三角形PAB中cos= , 在直角三角形OAB中cos2= , 在直角三角形PAO中cos1= , 所以cos1cos2= =cos. 所以cos=cos1cos2.,类型 一 直线与平面垂直的定义的应用 尝试完成下列题目,体会直线与平面垂直的定义的应用,并归纳直线与平面垂直定义的“双向”作用及异面直线垂直的证明方法.,1.下列说法中错误的个数是() 若直线m平面,直线lm,则l; 若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面必相交; 过平面外一点有

11、且只有一条直线和平面垂直; 过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直. A.0 B.1C.2D.3,2.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面 () A.有且只有一个 B.至多一个 C.有一个或无数个 D.不存在,【解题指南】1.利用线面垂直的定义判断. 2.解答本题时注意讨论m,n的位置关系.,【解析】1.选C.错误.若直线m平面,直线lm,则l与 平行、相交或l在内都有可能. 错误.若直线l和平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面 平行、相交或l在内都有可能. 正确.如图,假如l1与l2都过点P,且都 与平面垂直,设垂足分别为A与B.在平 面PAB内,有两条相交直线l1

12、,l2与已知直 线AB垂直.这是不可能的,所以l1和l2重合.,正确.假设有两个平面满足要求,设直线外一点为A,这两个平面与a分别交于点B,C,则ABa,ACa,与“同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾,故假设不成立.,2.选B.当两异面直线互相垂直时,过其中一条直线仅有一个平面与另一条直线垂直;当两异面直线不垂直时这样的平面不存在.,【技法点拨】1.直线与平面垂直的定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直 若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直线面垂直. (2)证明线线垂直 若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.

13、即线面垂直线线垂直.,2.异面直线垂直的证明策略 (1)作出异面直线所成的角,设法证明该角为直角. (2)转化为证明一条直线垂直于过另外一条直线的平面.,【变式训练】如果直线l与平面不垂直,那么在平面内 () A.不存在与l垂直的直线 B.存在一条与l垂直的直线 C.存在无数条与l垂直的直线 D.任一条直线都与l垂直 【解析】选C.平面内与l在内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故A,B不正确,C正确;若在平面内,任一条直线都与l垂直,则直线l与平面垂直,与题设矛盾,故D不正确,故选C.,类型 二 直线与平面垂直的判定定理的应用 试着完成下列各题,总结利用线面垂直的判定定理的

14、两个注意点及其证明直线与平面垂直的方法. 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三条边的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不能确定,2.(2013怀化高一检测)如图,在RtABC中,ABC=90,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,则四面体P-ABC中直角三角形的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1,3.如图所示,AB是圆O的直径,C是圆上异于A, B的任意一点,PA平面ABC,AFPC交PC于F. 求证：AF平面PBC.,【解题指南】1.三角形两边是相交的,根据线面垂直的判定定理来判断. 2.利用PA平面ABC得出PAAC,PAAB,PA

15、BC,再利用ABBC可得直角三角形的个数. 3.欲证AF平面PBC,则需要证明AF垂直于平面PBC中两条相交直线.已知AFPC,要证AFPB比较困难,可考虑证明AFBC,观察图形知,可通过证BC垂直于平面PAC来实现.,【解析】1.选B.三角形两边相交,则这条直线和三角形所在面垂直,故该直线和三角形的第三边垂直. 2.选A.因为PA平面ABC,所以PAAB,PAAC,PACB,又ABBC,所以BCPB,所以ABC,PBC,ABP,APC都是直角三角形,故选A.,3.因为AB是圆O的直径,所以ACB=90,所以BCAC. 由于PA平面ABC,BC平面ABC,所以BCPA. 又PA与AC相交且在平

16、面PAC内,所以BC平面PAC. 又因为AF平面PAC,所以AFBC. 又AFPC,且BC和PC是平面PBC内两条相交直线, 所以AF平面PBC.,【互动探究】若在题3中增加“AEPB, 垂足为E”这个条件,其余条件不变. 求证：PB平面AEF.,【证明】因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC. 因为AB为圆O的直径,所以BCAC.又ACPA=A, 所以BC平面PAC.又AF平面PAC, 所以BCAF.又AFPC, PCBC=C,所以AF平面PBC. 因为PB平面PBC,所以AFPB. 因为AEPB,AFAE=A,所以PB平面AEF.,【技法点拨】利用线面垂直的判定定理的两个注意点及

17、其证明直线与平面垂直的方法 (1)两个注意点： 判定定理的关键是在平面内找两条相交直线与已知直线都垂直,这两条相交直线是否和这条直线有公共点无关紧要. 证明过程中要注意分析所给的几何图形,发现已知或隐含的线线垂直关系,如正方形、矩形的边,菱形的对角线,等腰三角形底边上的高,以此来证明线面垂直.,(2)证明方法：,【变式训练】(2013杭州高一检测)已知P是ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,且P在ABC所在平面内的射影H在ABC内,则H一定是ABC的() A.内心B.外心C.垂心 D.重心,【解析】选C.如图所示,PAPB,PAPC,所以PA平面PBC,所以PABC,又PH平面AB

18、C,所以AEBC.同理,CHAB,BHAC.即H是ABC高的交点,所以H一定是ABC的垂心.,类型 三 直线与平面所成的角的求法 尝试完成下列各题,总结求线面角的步骤. 1.(2013长春高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成的角的大小是() A.30B.45C.60D.90,2.(2012浙江高考)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB= ,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1 的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点. (1)证明：EFA1D1;

19、 BA1平面B1C1EF. (2)求BC1与平面B1C1EF所成 的角的正弦值.,【解题指南】1.底面为正三角形,取BC中点,可得AE垂直于平面BB1C1C,找到线面角,在直角三角形中求角的大小. 2.(1)先证明B1C1平面AA1D1D,再利用线面平行的性质推出B1C1EF;在矩形AA1B1B内利用边的长度考虑问题.(2)利用的结论找到线面角再求其正弦值.,【解析】1.选C.如图,E为BC的中点,由题意知ADE即为所求 的线面角,设三棱柱的棱长为2,则DE=1,AE= ,则 tanADE= ,故所求的角是60.,2.(1)由ADBC,BCB1C1可得ADB1C1, 又B1C1平面AA1D1D

20、,AD平面AA1D1D, 所以B1C1平面AA1D1D, 又平面B1C1E平面AA1D1D=EF, 所以B1C1EF,又A1D1B1C1,所以EFA1D1.,在RtFA1B1和RtA1B1B中, 所以RtFA1B1RtA1B1B, 所以A1FB1=BA1B1, 因为A1FB1+A1B1F=90, 所以BA1B1+A1B1F=90, 所以A1BB1F, 由ADAB可得B1C1A1B1, 又B1C1BB1,所以B1C1平面A1B1B, 又A1B平面A1B1B,可得BA1B1C1, 又BA1B1F,且B1FB1C1=B1, 所以BA1平面B1C1EF.,(2)设A1BB1F=O,连接C1O, 由(1

21、)可知BC1与平面B1C1EF所成的角为BC1O, 在RtA1B1B中,B12=BOBA1, 即22=BO ,解得BO= , 所以sinBC1O= 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值为 .,【技法点拨】求线面角的四个步骤 (1)作：根据直线与平面所成的角的定义作出线面角. (2)证：通过推理说明所作出的角即为所求角. (3)求：在直角三角形中求出该角. (4)结：作出结论.,【变式训练】如图,在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD中,ADBC,ABC=90,PD平面ABCD,AD=1,AB= ,BC=4,求 直线BC与平面PCD所成角的大小.,【解析】过D作DEBC，E为垂足，如图，

22、 则BE=AD=1，DE=AB= ， 所以CE=BC-BE=4-1=3， 所以 在ABD中，AD=1，AB= ，BAD=90， 所以 所以BC2=BD2+CD2，所以BDDC，,因为PD平面ABCD， 所以BDPD，而PDCD=D， 所以BD平面PDC， 所以CD是BC在平面PCD内的射影， 所以BCD为直线BC与平面PCD所成的角， 在RtBCD中，BDC=90，BD=2，BC=4， 所以 所以BCD=30. 所以直线BC与平面PCD所成的角为30.,1.一条直线与一个平面垂直的条件是() A.垂直于平面内的一条直线 B.垂直于平面内的两条直线 C.垂直于平面内的无数条直线 D.垂直于平面内

23、的两条相交直线 【解析】选D.根据线面垂直的判定定理可知D正确.,2.l,m是两条不同的直线,是一个平面,下列结论正确的是 () A.若lm,m,则l B.若l,lm,则m C.若l,m,则lm D.若l,m,则lm,【解析】选B.对于A,l与的关系可能是平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m的关系可能是平行或异面,故C错误;对于D,l与m的关系可能是平行,相交或异面,故D错误.,3.如果直线l是平面的斜线,那么在平面内() A.存在与l平行的直线 B.不存在与l垂直的直线 C.与l平行的直线只有一条 D.与l垂直的直线有无数条 【解析】选D.直线l与平面斜交,故在平面内不存在与l平行的直线,存在与l垂直的直线