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1、高等数学电子教案 中国石油大学（华东） 理学院基础数学系 金贵荣,前 言,高等数学的基本内容和方法,几 点 要 求,第一章 函数与极限 1.1 函数的概念及其初等性质 1.2 数列极限 1.3 函数极限 1.4 无穷小与无穷大 1.5 函数连续性 1.6 闭区间上连续函数的性质,1.1 函数的概念及其初等性质,1.1.1 预 备 知 识,1.一些常用的符号,2.实数集,有理数集 的稠密性：,任意两个不同的有理数 之间都有无穷多个有理数,（无理数集、实数集）,（无理数、实数）,（无理数、实数）。,实数集的连续性：,实数集与数轴上点的集合之间建立一 一对应关系。,或完备的。,3.常用不等式:,绝对

2、值 :,三角不等式,( 平均值不等式 ),( 调和平均值 ),( 几何平均值 ),( 算术平均值 ),（证明略）,更一般地，,4.邻域:,1.1.2 函数的概念,一. 函数的定义,定义,函数传统的习惯符号：,注意：,一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数 .,有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 ，并用约定的符号予以表示:,称为取整函数,例如：5.3= - 4.9=,（求极限时有用）,阶梯曲线,称为非负小数部分函数,例3 符号函数,三. 函数的初等性质,1函数的有界性,定理,证,2函数的单调性,( ),（减）,3函数的奇偶性,证,偶函

3、数,奇函数,4函数的周期性,定义,1.1.3 复合函数和反函数,1. 复合函数,定义,注意:,2. 反函数,定义,注意：,求反函数的方法：,解,定理,证明略,注意：,1.1.4 初 等 函 数,基本初等函数（6类）：常值函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数、反三角函数.,1.常值函数,2.幂函数,3. 指数函数,4.对数函数,5. 三角函数,6. 反三角函数,都是初等函数,解,解,1.2 数 列 极 限,一. 数列极限的定义,数列是整标函数:,注意：,数列对应着数轴上一个点列. 可看作一动 点在数轴上依次取,问题:,意味着什么? 如何用数学语言定量地刻划它 .,定义1,定义2,注意:,

4、用 定义” 验证数列极限，关 键是如何由任意给定的 寻找 N ？,例1,证,例2,证,注:,例3,证,证,综合之，故,二. 收敛数列的性质和运算,定理1（唯一性）,证,由定义,证毕,定理2（有界性）,证,由定义,证毕,子数列的概念,定义,左向右任意选取无穷多项，并按它们在原数,列中的次序排成一个新的数列，表为：,简称子列 .,定理 3,证,证毕,推论 1,推论 2,证,证毕,定理4（四则运算）,注意:,四则运算只对有限个收敛数列而言，否则不能用 .,无穷多个收敛数列,这是错误的.,例5 求下列极限,解,三. 数列收敛的判别,定理5（迫敛性或两边夹定理）,证,证毕,例6,解,由两边夹定理，,练习

5、册 习题7,例7,解,由两边夹定理，,单 调 数 列,定理6（单调有界原理）,（证明略）,上界,下界,例8,证,例9,证,计算可得：,1.3 函 数 的 极 限,一. 函数在有限点处的极限,一般地有,定义1,几何解释:,单侧极限:,例如,左极限,右极限,定理,左右极限存在但不相等,例1,证,例2,解,左右极限存在且相等,用 定义” 验证函数极限:,关键是如何由 寻找 ？,证,证,证,问题:,如何用数学语言刻划两个“无限趋近”.,二. 函数在无穷远处的极限,定义2,定理,1,几何解释:,用 定义” 验证函数极限:,关键是如何由 寻找 ？,具体方法：,证,证,证,三. 函数极限的性质和运算,性质1

6、（唯一性）,性质2（局部有界性）,证,证毕,性质3（局部保号性）,证,证毕,性质4（四则运算）,（证明略）,注：四则运算对有限个存在极限的函数而言.,性质5（极限不等式）,证,注意:,性质6（迫敛性或两边夹定理）,性质7（海涅( Heine,1821-1881,德 )定理）,（证明略）,注：海涅定理揭示了函数极限与数列极限的关系.,（证明略）,推论:( 判断 不存在的方法 ),证,性质8（极限的变量代换）,（证明略）,四. 两 个 重 要 极 限,(1),证,(,证毕,(2),证,证毕,1.4 无穷小与无穷大,定义1,一. 无穷小及其性质,定理1（一般极限与无穷小的关系）,定理2,解,解,二.

7、 无穷小阶的比较,极限不同, 反映了趋向于 0 的“快慢”程度不同 .,观察各极限,定义2,定理3,证,证毕,定理4,( 乘积因子等价无穷小代换定理 ),证,证毕,注意：,只能对函数的乘积因子作等价无穷小代,换. 对于代数和中各无穷小不能作等价,无穷小代换 .,否则，因丢失高阶无穷小，,而导致错误的结果 .,错误结果！,导致错误的结果 .,三. 无穷大及其性质,定义3,性质（无穷大与无穷小的关系）,注意:,（证明略）,定义4,1.5 连 续 函 数,一. 函 数 的 连 续,定义1,（增量式定义）,例1,证,定义2,定理,例2 讨论下列函数在指定点的连续性：,右不连续,左连续,解,( 函数在区

8、间的连续性 ),连续函数的图形是一条连续不断的曲线 .,定义3,例3,证,例4,证,二. 间断点及其分类,第 一 类 间 断 点,特点:,第 二 类 间 断 点,例5,解,解,解,解,解,三. 连续函数的运算,( 四则运算 ),定理1,（证明从略）,在其定义域区间上都连续 .,在其定义域区间上都连续 .,( 反函数的连续性 ),定理2,（证明略）,在其定义域区间上都连续 .,在其定义域区间上都连续 .,( 复合函数的连续性 ),定理3,极限符号可以进入到连续函数的函数符号,内，它对求复合函数的极限是很有用的 .,（证明略）,一般结论：,四. 初 等 函 数 的 连 续 性,注意：,1. 初等函数仅在其定义域区间上连续,例如：,函数在这些孤立点的空心邻域内没有定义 ，,因此在这些孤立点无法讨论其连续性 .,在其定义域内不一定连续 .,又如：,函数在 0 点的空心邻域内没有定义 ，因此在,0 点无法讨论其连续性 ；,例6,例7,解,(i),(ii),1.6 闭区间上连续函数的性质,性质1（有界性）,注意: 若区间是开 区间, 或闭区间内 有间断点, 则 结论 不一定成立 .,（证明略）