北京高考数学试题与(理科)已校对

1、20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数学学 ( (理理) )( (北京卷北京卷) ) 本试卷共 5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第一部分部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出符合题目选出符合题目 要求的一项要求的一项 （1）已知集合AxR R 3x2 0，B xR R (x1)(x3) 0，则AI B （A）(,1

2、)（B）(1,) 2 3 （C）( ,3) 2 3 （D）(3,) （2）设不等式组 0 x 2, 表示的平面区域为D在区域D内随机取一个点， 则此点到坐 0 y 2 4 4 标原点的距离大于2的概率是 2 （B）（C） 246 （3）设a，bR R “a 0”是“复数abi是纯虚数”的 （A） （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 （D） （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 开始 k=0, S=1 k=k+1 S=S 2k k3 否 输出S 是 结束 （5）如图，ACB 90，CD A

3、B于点D，以BD为直径的圆与交BC于点E则 C E （A）CECB ADDB （B）CECB ADAB （C）AD AB CD （D）CEEB CD2 2 （6）从0, 2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数 的个数为 （A）24 （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A）286 5 （B）18（C）12（D）6 4 234 侧（左）视图 （B）306 5 正（主）视图 （C）5612 5 （D）6012 5 俯视图 （8）某棵果树前n年的总产量S n与 n之间的关系 如图所示从目前记录的结果看，前m年的 年平均产量最高，m的值为 （A）5

4、 （B）7 （C）9 Sn 第第二部分部分（非选择题 共 110 分） （D）11 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 3030 分分 O 123456 789 10 11n （9）直线 x 3cos x 2t (为参数)的交点个数为 (t为参数)与曲线 y 3siny 1t 1 ，S2 a3，则a2 2 （10）已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1 （11）在ABC中，若a 2，bc 7，cosB 2 1 ，则b 4 （12）在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y 4x的焦点F，且与该抛物线相交于A、B 两点，其中，A点在x轴上方若直线l的倾斜

5、角为60，则OAF的面积为 uuu r uu r （13）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为 （14）已知f (x) m(x2m)(xm3)，g(x) 2 2若同时满足条件： xR R，f (x) 0或g(x) 0； x(, 4)，f (x)g(x) 0 则m的取值范围是 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题小题，共共 8080 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程 （15） （本小题共 13 分） 已知函数f (x) x (sin xcosx)sin 2x sin x （）求f (x)的定义域及最小正周期； （）求

6、f (x)的单调递增区间 （16） （本小题共 14 分） 如图1，在RtABC中，C 90，BC 3，AC 6，D、E分别为AC、AB上的 A A 点，且DE/BC，DE 2，将ADE沿DE折起到A 1DE 的位置， 使A 1C CD ，如图2 平面BCDE ；（）求证：AC 1 （）若M是A 1D 的中点， 求CM与平面A 1BE 所成角的大小； （）线段BC上是否存在点P，使平面 A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由 （17） （本小题共 13 分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃

7、圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） ： “厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 100 240 20 100 30 60 （）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （）试估计生活垃圾投放错误的概率； （）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a,b,c，其中a 0，abc 600当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c 的值（结论不要求证明） ，并求此时s的值 （注：s （18） （本小题共 13 分） 已知函数f (x) ax 1(a

8、0)，g(x) x bx 2 2 2 1 (x 1 x)2(x 2 x)2(x n x)2，其中x为数据x 1, x2 , x n 的平均数） n 3 （）若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； （）当a 4b时，求函数f (x) g(x)的单调区间，并求其在区间- -1上的最大值 2 （19） （本小题共 14 分） 已知曲线C：(5m)x (m2)y 8(mR ) （）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围； （）设m 4，曲线C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方） ，直线y kx4 与曲线C交于不同的两点M、N，直线y 1

9、与直线BM交于点G 求证：A,G, N三点共线 （20） （本小题共 13 分） 设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所 有数的和为零记S(m, n)为所有这样的数表构成的集合 对于AS(m, n)，记r i(A) 为A的第i行各数之和(1im)，c j(A) 为A的第j列 各数之和(1jn) 22 记k(A)为| r 1(A)| ，|r 2 (A)|，|r m (A)|，|c 1(A)| ，|c2(A)|，|cn(A)|中的最小 值 （）对如下数表A，求k(A)的值； 1 0.1 （）设数表AS(2, 3)形如 1 0.3 0.8 1 1 a 求k(A)的

10、最大值； 1 b C 1 （）给定正整数t，对于所有的AS(2, 2t 1)，求k(A)的最大值 2012 高考北京数学真题答案及简析 一、选择题 题号1 答案D 二、填空题 题号9 2 D 3 B 4 C 5 A 6 B 7 B 8 C 1011121314 答案2 n2 n 1； 4 4 3 1；1 4， 2 三、解答题 15解： (sin x cos x)sin 2x(sin x cos x)2sin xcos x f (x) 2(sin x cos x)cos x sin xsin x sin2x 1 cos2x 2sin2x 1， x| x k，k Z Z 4 （1）原函数的定义域为

11、x| x k，k Z Z，最小正周期为 3 （2）原函数的单调递增区间为 k， k kZ Z，k， k kZ Z 8 8 16解： （1）QCD DE，A 1E DE DE 平面A 1CD ， 又QA 1C 平面A 1CD ， A 1C DE 又A 1C CD ， A 1C 平面BCDE （ 2 ） 如 图 建 系C xyz， 则D2，0，0， A 0，0，2 3，B0，3，0，E2，2，0 uuu u ruuur A 1B 0，3，2 3 , A 1 E 2，1，0 r 设平面A 1BE 法向量为n x，y，z z A1(0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0) 3

12、uuur r z y A 1Bn 0 3y 2 3z 0 2 则uuuu r r C (0,0,0) 2x y 0 x y A 1E n 0 x 2 r n 1，2， 3又 M 1，0， 3 uuuu r CM 1，0， 3 uuuu r r CM n1342 r r cos uuuu 2|CM |n|1 43 1322 2 D (-2,0,0) CM与平面A 1BE 所成角的大小45 （3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为0，a，0，则a0，3 uuu ruuur 则 A 1P 0，a，2 3 ， DP 2，a，0 u u r 设平面A 1DP 法向量为n 1 x 1 ，y 1 ，z 1

13、3 z ay 1 1 ay 1 2 3z 1 0 6 则 x 1 ay 2x1 ay 1 0 11 2 u u r n 1 3a，6， 3a 假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直 u u r r 则n 1n 0 ， 3a 123a 0，6a 12，a 2 0 a 3 不存在线段BC上存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直 4002 = 6003 200+60+403 （）由题意可知：= 100010 1 （）由题意可知：s2(a2b2 c2120000)，因此有当a 600，b 0，c 0时，有 3 s280000 18解： （）由1，c为公共切点可得： 17 （）由题意可知

14、： f (x) ax21(a 0)，则f (x) 2ax，k1 2a， g(x) x3bx，则f (x)=3x2b，k2 3b， 2a 3b 又f (1) a 1，g(1)1b， a 11b，即a b，代入式可得： a 3 b 3 1 2 （2）Q a 4b，设h(x) f (x) g(x) x3 ax2 a2x 1 4 1aa 则h(x) 3x2 2ax a2，令h(x) 0，解得：x 1 ，x 2 ； 426 aa Qa 0， ， 26 a a aa 单调递增， 在单调递减， 在原函数在 ， ， 上单调递增 26 2 6 a2a 若1，即a2时，最大值为h(1) a ； 42 aa a 若

15、 1 ，即2 a 6时，最大值为h 1 262 a a 若1时，即a6时，最大值为h 1 62 综上所述： a2 a 当a0，2时，最大值为h(1) a；当a2 , 时，最大值为h 1 4 2 x2y2 19 （1）原曲线方程可化简得：1 88 5mm2 88 5m m2 87 0由题意可得：，解得： m 5 2 5m 8 m2 0 （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k21)x216kx 24 0， =32(2k23)，解得：k2 3 2 由韦达定理得：x M x N 16k24 ，x x MN 2k212k21 设N(x N , k x N 4)，M(x M , kx M 4)，G(x

16、 G ， 1) MB方程为：y 3x M kx M 6 ， 1，x 2，则G x M kxM 6 r uuu r 3x M uuu ，1，AN x N ，x N k 2，AG x k 6 M uuu ruuu r 欲证A， G，N三点共线，只需证AG，AN共线 3x M(x N k 2) x N 成立，化简得：(3k k)x M x N 6(x M x N ) x M k 6 将代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证。 即 20 解： （1）由题意可知r 1 A1.2，r 2 A 1.2，c 1 A1.1，c 2 A 0.7，c 3 A 1.8 kA 0.7 （2）先用反证法证明kA1：

17、若kA1 则|c 1 A| a 1| a 11，a 0 同理可知b 0，a b 0 由题目所有数和为0 即a bc 1 c 1 a b 1 与题目条件矛盾 kA1 易知当a b 0时，kA1存在 kA的最大值为 1 （3）kA的最大值为 2t 1 . t 2 2t 1 首先构造满足k(A) 的A a i, j(i 1,2, j 1,2,.,2t 1) ： t 2 t 1 ，a 1,1 a 1,2 . a 1,t 1,a 1,t1 a 1,t2 . a 1,2t1 t 2 a 2,1 a 2,2 t2t 1 . a 2,t ,a 2,t1 a 2,t2 . a 2,2t1 1. t(t 2) 经

18、计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为 0，且 |r 1(A)|r2 (A)| 2t 1 ， t 2 t2t 1t 12t 1 |c 1(A)|c2 (A)|.|c t (A)|11 ， t(t 2)t 2t 2 |c t1(A)|ct2 (A)|.|c 2t1(A)|1 下面 证明 t 12t 1 . t 2t 2 2t 1 是最大 值. 若不 然，则存在 一个数表AS(2,2t 1)， 使得 t 2 2t 1 .k(A) x t 2 由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过 1 的数的和，其绝对值不超过 2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中. 由于 x 1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且