北京西城区高三一模数学试题及文

1、北京市西城区北京市西城区 20122012 年高三一模试卷年高三一模试卷数学（文科）数学（文科） 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. . 1已知集合A x| x 1，B x| x 4，那么AI B （） （A）(2,2) 2执行如图所示的程序框图，若输入x 3，则输出y的 值为（） （A）5 （B）7 （C）15 （D）31 3若a log23，b log32，c log4 （A）a c b （C）b c a 4如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 （B）(1,2)（C）

2、(1,2)（D）(1,4) 2 1 ，则下列结论正确的是（） 3 （B）c a b （D）c b a uuu ruuu r z OA，OB，则复数1对应的点位于（ ） z 2 （A）第一象限 （C）第三象限 5已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（） 2 （A）4 3cm 2 （B）2 3cm （B）第二象限 （D）第四象限 （C）8cm 2 （D）4cm2 x y 0, 6若实数x，y满足条件x y 1 0,则| x3y|的最大值为（） 0 x 1, （A）6 7设等比数列an的前n项和为Sn则“a1 0”是“S3 S2”的（） （A）充

3、分而不必要条件 （C）充要条件 23 8已知集合A x| x a0a12a22 a32 ，其中ak0,1(k 0,1,2,3)，且 （B）5（C）4（D）3 （B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件 a 3 0.则A中所有元素之和是（ ） （A）120（B）112（C）92（D）84 第卷第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. . 9.已知向量a a (1,2)，b b (,2).若a a b b,a a 90，则实数 _. 10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒 与18秒之间将测试结果分成5组：13, 14)

4、，14, 15)， 15, 16)，16, 17)，17, 18，得到如图所示的频率分 布直方图如果从左到右的5个小矩形的面积之比为 1:3:7:6:3 ，那么成绩在16,18的学生人数是_ 11. 函数y sin x3cos x的最小正周期为_ 22 12. 圆x y 4x3 0的圆心到直线x 3y 0的距离是_. 22 0 x 9, x 2, 13. 已知函数f (x) 则f (x)的零点是_；f (x)的值域是_ 2 x x, 2 x 0. 2 14. 如图，已知抛物线y x及两点A 1(0, y1) 和A 2 (0, y 2 )，其中y 1 y 2 0.过A 1 ，A 2 分 别作 交

5、抛物线于B 1， B 2 两点， 直线B 1B2 与y轴交于点A 3 (0, y 3 )， 此时就称A 1 ， y轴的垂线， A 2 确定了A 3 .依此类推，可由A 2 ，A 3 确定A 4 ，L.记A n (0, y n )，n 1,2,3,L . 给出下列三个结论： 数列yn是递减数列； * 对nN N，yn 0； 1 若y1 4，y2 3，则y5 2 . 3 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 80 分. . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. . 15.（本小题满分 13 分） 在ABC中，已知2sin Bcos A sin(AC) （）求角A； （）若B

6、C 2，ABC的面积是 3，求AB 16.（本小题满分 13 分） 某校高一年级开设研究性学习课程， （1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和 27现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班 抽取了3名同学 （）求研究性学习小组的人数； （）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同 学发言求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率 17 （本小题满分 14 分） 如图，矩形ABCD中，AB 3，BC 4E，F分别在线段BC和AD上，EF AB，将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF 平面 ECDF （）求证：

7、NC平面MFD； （）若EC 3，求证：ND FC； （）求四面体NFEC体积的最大值 AF D B E C 18.（本小题满分 14 分） x2y26 已知椭圆C: 2 2 1 (a b 0)的离心率为 ，一个焦点为F(2 2,0) 3ab （）求椭圆C的方程； 5 （）设直线l : y kx交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0,3)为 2 圆心 的圆上，求k的值 19.（本小题满分 13 分） 如图，抛物线y x 9与x轴交于两点A,B，点C,D在抛物线上（点C在第一象 限） ，CDAB记|CD | 2x，梯形ABCD面积为S （）求面积S以x为自变量的函数式； （）若 2 |C

8、D| k，其中k为常数，且0 k 1，求S的最大值 | AB| 20.（本小题满分 13 分） 对于数列A:a 1,a2 ,a 3 (a i N N ,i 1,2,3)， 定义 “T变 换” ：其中b i |a i a i1 | (i 1,2)， 且b 3 |a 3 a 1 |.T将数列A变换成数列B:b 1,b2 ,b 3 ， 这种“T变换”记作B T(A).继续对数列B进行“T变换” ，得到数列C :c 1,c2 ,c 3 ， 依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束 （）试问A:2,6,4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变 换”得到的各数列；若不能，说明理由； （

9、）设A:a1,a2,a3，B T(A)若B:b,2, a (a b)，且B的各项之和为2012 （）求a，b； （）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值， 并 说明理由 北京市西城区 2012 年高三一模试卷 数学（文科）（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1. C；2. D ；3. D；4. B；5. A；6. B；7. C；8. C . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.

10、. 9.9；10.54；11. ； 12.1；13.1和0， 1 ,3； 14. . 4 注：注：1313 题第一问题第一问 2 2 分，第二问分，第二问 3 3 分分; ; 1414 题少选题少选 1 1 个序号给个序号给 2 2 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分标准给分. . 15.（本小题满分 13 分） （）解：由A BC ，得sin(AC) sin( B) sin B 3 分 所以原式化为2sinBcosA sinB 4 分

11、 因为B(0,)，所以sinB 0， 所以 cosA 6 分 因为A(0,)， 所以 A 1 2 3 7 分 （）解：由余弦定理， 得 BC AB AC 2AB ACcos A AB AC AB AC 9 分 因为BC 2， 2 22222 1 AB ACsin3， 23 2 所以 AB AC 8 11 分 因为ABAC 4，所以AB 2. 13 分 16.（本小题满分 13 分） （）解：设从（1）班抽取的人数为m， 依题意得 研 m3 ，所以m 2， 1827 为究性学习小组的人数 m35 5 分 （）设研究性学习小组中（1）班的2人为a 1,a2 ， （2）班的3人为b 1,b2 ,b

12、3 2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为： (a 1,a1) ，(a1,a2)，(a 1,b1) ，(a 1,b2 )，(a 1,b3 )， (a 2 ,a 1) ，(a2,a2)，(a2,b 1) ，(a2,b2)，(a2,b3)， (b 1,a1) ，(b 1,a2 )，(b 1,b1) ，(b 1,b2 )，(b 1,b3 )， (b 2 ,a 1) ，(b2,a2)，(b2,b 1) ，(b2,b2)，(b2,b3)， (b 3,a1) ，(b3,a2)，(b 3,b1) ，(b3,b2)，(b3,b3)，共25种 9 分 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：

13、(a 1,b1) ，(a 1,b2 )，(a 1,b3 )，(a 2 ,b 1) ，(a2,b2)，(a2,b3)，(b 1,a1) ，(b 1,a2 )，(b 2 ,a 1) ， (b 2 ,a 2 )，(b 3,a1) ，(b3,a2)，共12种 12 分 所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P 13 分 17.（本小题满分 14 分） （）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形， 所以MNEFCD，MN EF CD 所以 四边形MNCD是平行四边形， 2 分 所以NCMD，3 分 因为NC 平面MFD， 所以NC平面MFD4 分 （）证明：连接ED，设EDI FC O 因为平面

14、MNEF 平面ECDF，且NE EF， 所以NE 平面ECDF， 5 分 所以FC NE 6 分 又EC CD， 所以四边形ECDF为正方形，所以FC ED 12 25 7 分 所以FC 平面NED， 8 分 所以ND FC 9 分 （）解：设NE x，则EC 4 x，其中0 x 4 由（）得NE 平面FEC， 所以四面体NFEC的体积为V NFEC 11 分 所以VNFEC 13 分 当且仅当x 4 x，即x 2时，四面体NFEC的体积最大 14 分 18.（本小题满分 14 分） （）解：设椭圆的半焦距为c，则c 2 2 1 分 由e 4 分 11 S EFC NE x(4 x) 32 1

15、 x(4 x) 2 2 22 c6 222 ， 得 a 2 3， 从而b a c 4 a3 x2y2 1 所以， 椭圆C的方程为 124 5 分 （）解：设A(x1, y1),B(x2, y2) 将直线l的方程代入椭圆C的方程， 消去y得 4(13k )x 60kx27 0 7 分 2 由 3600k 16(13k )27 0，得k 22 22 315k ，且x 1 x 2 2 1613k 9 分 15k55 ， y kx DD 26k2226k2 10分 由 点A，B都 在 以 点(0,3)为 圆 心 的 圆 上 ， 得 kMDk 1， 11 分 设线段AB的中点为D，则xD 3 即 5 2

16、6k2 k 1， 解得k2 2 ，符合题意 15k 9 2 26k 2 3 13 分 所以 k 14 分 19.（本小题满分 13 分） 2 （）解：依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC x 9 1 分 2 点B的横坐标xB满足方程xB9 0，解得xB 3，舍去xB 3 2 分 所以S 11 (|CD| AB|) y C (2x23)(x29) (x3)(x29) 22 4 分 由点C在第一象限，得0 x 3 所以S关于x的函数式为 S (x3)(x 9)，0 x 3 5 分 2 0 x 3, （）解：由x及0 k 1，得0 x 3k k, 3 6 分 记f (x) (x3)(x 9)

17、, 0 x 3k， 则f (x) 3x 6x9 3(x1)(x3) 8 分 令f (x) 0， 得x 1 9 分 若13k，即 2 2 1 k 1时，f (x)与f (x)的变化情况如下： 3 (0,1)x 1 (1,3k) f (x) f (x) 0 极大值 所以，当x 1时，f (x)取得最大值，且最大值为f (1) 32 11 分 若13k，即0 k 1 时，f (x) 0恒成立， 3 2 所以，f (x)的最大值为f (3k) 27(1k)(1k ) 13 分 综上， k 1时，0 k S的最大值为32； 20.（本小题满分 13 分） （） 解： 数列A:2,6,4不能结束， 各数列

18、依次为4,2,2；2,0, 2；2,2,0；0,2,2；2,0, 2； 以下重复出现， 所以不会出现所有项均为0的情形 3 分 （）解： （）因为B的各项之和为2012，且a b， 所以a为B的最大项， 所以|a 1 a 3 |最大，即a 1 a 2 a 3 ，或a3 a2 a 1 5 分 1 3 1 时，S的最大值为27(1k)(1k2) 3 b a 1 a 2 , 当a 1 a 2 a 3 时，可得2 a2a3, a a a . 13 由ab2 2012，得2(a 1 a 3 ) 2012，即a 1006，故b 1004 7 分 当a3 a2 a 1 时，同理可得a 1006，b 1004 8 分 （）方法一：由B:b,2, b2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为： b2,b,2；2,b