北京房山区高三数学一模文科试题及

1、房山区房山区 20132013 年高考第一次模拟试卷年高考第一次模拟试卷 数数学学 （文科） 2013.04 本试卷共 4 页，150 分。考试时间长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结 束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分. .在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中, ,选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项. . 1.已知全集U R R，集合 M x| x(x3)0，则CR RM A. 0,3 B. (0,3) C. (,3 D. (,0) U

2、 (3,) 开始 2.已知a n 为等差数列，S n 为其前n项和.若a 1 + a 9 = 18,a 4 = 7，则S 10 = S 0, n 1 A. 55 B.81 C.90 D.100 S S n 3.执行如图所示的程序框图若输出S 15， 则框图中 n2n 处可以填入 A.n 4 B.n 8 否 C.n 16 是 D.n16 输出S 4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5 次，两人成绩的统计表如下表所示，则 环数 频数 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 环数 频数 5 3 6 1 9 1 结束 甲乙 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 B. 甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数

3、C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 2f (x) x 2x m 存在零点”的 m 2 5. “”是“函数 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 uuu ruuu ruuu r uuu r 6.在正三角形ABC中，AB3，D是BC上一点，且BC 3BD，则AB AD 159 A. 2 B. 2 C. 9 D.6 7.某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥 的四个面的面积中，最大的是 A.4 3 B.8 C.4 7 D.8 3 8. 设 集 合M是R R的 子 集 ， 如 果 点x 0 R R满 足 ： a 0,x

4、M,0 x x0 a，称x 0 为 集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有： n2 |nN N；x| xR R,x 0； |nN N*；Z Z n1n A. B. C. D. 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. . 2i 9. 复数 . 1i 10.在ABC 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A,a 2,c 2,则角C的大小为 . 4 11.直线x y 2 0与圆x2 y22x 1相交于A,B两点，则线段AB的长等于 . x y 50, 12.若不等式组y kx5,表示的平面区域是一个锐角三角形，则

5、k的取值范是 . 0 x 2 13.某商品在最近100天内的单价f (t)与时间t的函数关系是 t 22(0 t 40,tN N) 4 f (t) t 52(40 t 100,tN N) 2 日销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t) 的日销售额的最大值为 . 14.已知函数f (x)的定义域是 D，若对于任意x 1,x2 D，当x 1 x 2 时，都有f (x 1) f (x2 )， 则称函数f (x)在 D 上为非减函数.设函数f (x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个 条件：f (0) 0；f ( ) t109 (0t 100,tN N).则这种商品 33 x 5 14 f (x)

6、；f (1 x) 1 f (x).则f ( ) ， 1 . 25 f () 12 三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, , 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程. . 15.(本小题满分 13 分) 已知函数f (x) 2cos2x 2 3sin xcosx 1 （）求函数f (x)的最小正周期； （）求函数f (x)在区间0, 上的最小值和最大值 16. （本小题满分 14 分） 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC/AD， P 2 ADC 90，BC CD 1 AD，PA PD，

7、E,F为AD,PC 2 D E F 的中点 （）求证：PA/平面 BEF； （）求证：AD PB 17. （本小题满分 13 分） A C B PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.5标准采用世卫组 织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米:75微克/ 立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标 某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取6天的数据作为样本，监测值如 茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） () 若从这6天的数据中随机抽出2天，求至多有一

8、天空气质量超 标的概率； ()根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况， 则一年 （按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级？ 18. (本小题满分 13 分) PM2.5日均值(微克/立方米) 3 33 3 4 48 8 7 79 9 9 97 7 1 1 3 3 1 2 1 x alnx(aR R,a 0) . 22 （）当a 2时，求曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程； （）求函数f (x)的单调区间； 已知函数f (x) （）若对任意的x1,)，都有f (x) 0成立，求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) x2y2 已知椭圆C

9、 :1和点P(4,0)，垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点，连结PB交椭圆C于另一 43 点E. （）求椭圆C的焦点坐标和离心率； （）证明直线AE与x轴相交于定点. 20.（本小题满分 13 分） 对于实数x，将满足“0 y 1且x y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号 x 表示例如 1.2 0.2, 1.2 0.8, 1 a 1 a，a n1 a n 0 （）若a 81 .对于实数a，无穷数列a n满足如下条件：77 a n 0, 其中n 1,2,3, L . a n 0, 3 ，求数列a n的通项公式； 11 1 （）当a 时，对任意的nN N* *，都有a n a，求符合

10、要求的实数a构成的集合A； 2 p （）设a （p是正整数，p与2013互质） ，对于大于2013的任意正整数n，是否都有an 0成 2013 立，证明你的结论 房山区高三年级第一次模拟考试参考答案房山区高三年级第一次模拟考试参考答案 数数学学 （文科） 2013.04 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分. . 1 1、A 2A 2、D 3D 3、B 4B 4、C 5C 5、B 6B 6、A 7A 7、C 8C 8、A A 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分

11、分, ,共共 3030 分分. . 9. 1i ； 10. 或30， 11. 6 6 12. (1,0) 13. 808.5；14., 2 4 ； 1 1 三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. . 15、 （本小题满分 13 分） 2 （） f (x) 2cos x 2 3sin xcos x 1 cos2x 3sin 2x 4 分 2(cos2x 周期为T 1 2 3 sin 2x) 2sin(2x ) 6 分 26 2 .7 分 2 7 （）0 x 2x 9 分 2666 ) 1此时f (x) max 2 11 分 26 71 当2x

12、时，sin(2x ) 此时f (x)min 113 分 6662 当2x 6 时，sin(2x 16、 （本小题满分 14 分） （）证明：连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC,FO 1 BC /AD,BC AD,E为AD中点 2 AE/BC,且 AE=BC四边形 ABCE 为平行四边形 1 分 O 为 AC 中点.2 分 又F 为 AD 中点OF/PA.4 分 OF 平面BEF,PA 平面BEF .5 分 PA/平面BEF .7 分 （）连接PE P F D E O B C A Q PA PD,E为AD中点AD PE.8 分 1 Q BC/ AD,BCAD,E为AD中点BCDE为平行四

13、边形BE/ CD 2 Q AD CDAD BE .9 分 PEBE EAD 平面PBE .12 分 Q PB 平面PBEAD PB .14 分 17、 （本小题满分 13 分） 解：由茎叶图可知：6 天有 4 天空气质量未超标，有2 天空气质量超标2 分 记未超标的 4 天为w 1,w2 ,w 3,w4 ，超标的两天为c 1,c2 ，则从 6 天抽取 2 天的所有情况为： w 1w2 ,w 1w3 ,w 1w4 ,w 1c1,w1c2 ,w 2w3 ,w 2w4 ,w 2c1,w2c2 ,w 3w4 ,w 3c1,w3c2 ,w 4c1,w4c2 ,c 1c2 ， 基本事件总数为 154 分

14、（）记“至多有一天空气质量超标”为事件A，则“两天都超标”为事件A， 1114 ，所以P(A) 1P(A) 19 分 151515 42 （）6天中空气质量达到一级或二级的频率为11 分 63 21 365 243 ， 33 1 所以估计一年中平均有243天的空气质量达到一级或二级. 13 分 3 易得P(A) （说明：答 243 天，244 天不扣分） 18、 （本小题满分 13 分） （）a 2时，f (x) f (x) x 1 2 1 x 2ln x, 22 f (1) 0 1 分 2 分 2 , x f (1) 1 曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程x y 1 03 分

15、 ax2a （）f (x) x xx (x 0) 4 分 x2a 0恒成立，函数f (x)的递增区间为0, 当a 0时， f (x) x 6 分 当a 0时，令f (x) 0，解得x x ( 0, 减 a或x a a ) a ( ( a,) ,1) + 增 f(x)- f(x) 所以函数f (x)的递增区间为 a, ，递减区间为(0,a) 8 分 （）对任意的x1,)，使f (x) 0成立，只需任意的x1,)，f (x)min 0 当a 0时，f (x)在1,+)上是增函数， 所以只需f (1) 0 而f (1) 11 aln1 0 22 所以a 0满足题意； 9 分 当0a 1时，0 所以只

16、需f (1) 0 a 1，f (x)在1,+)上是增函数， 11 aln1 0 22 所以0a 1满足题意；10 分 而f (1) 当a 1时， a 1，f (x)在1, a上是减函数， a,+)上是增函数， 所以只需f ( a) 0即可 而f ( a) f (1) 0 从而a 1不满足题意； 12 分 综合实数a的取值范围为(,0) U (0,113 分 19、 （本小题满分 14 分） （）由题意知： a =4, 2b2=3, 所以c2=a2b2=1 ；离心率e=所以，焦点坐标为(1,0) c1 = 4 分 a2 （）由题意知：直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x4) 5

17、分 B(x 1, y 1) ，E(x2, y 2 ) ，则A(x 1, y 1) ， 由 y k(x4) 2222 得(3+4k )x 32k x64k 12 0 22 3x 4y 12 32k264k212 ,x 1x2 = 则x 1 +x 2 = (1) 8 分 3+4k23+4k2 y 2 +y 1(x x 2 )，令y=0，得x=x 2 y 2 (x 2 x 1) (2) 10 分 x 2 x 1 y 1+y2 2x 1x2 4(x 1 +x 2 ) (3) x 1 +x 2 8 直线 AE 的方程为y y2= 又y1=k(x 1 4) ，y2=k(x24)代入(2)式，得x= 把(1

18、)代入(3)式，整理得x=1，所以直线 AE 与x轴相交于定点(1,0).14 分 20、 （本小题满分 13 分） （）a1 1112131133 ，a 3 ，a 4 2 0，a 2 a 1 33a 2 22a 3 1111 321 ,a 2 ,a 3 ,a n 0(n 4)4 分 1132 111 （）Q a1 a a，a 则 a 1，从而1 2 22a 所以a 1 则a 2 111 1 a所以a2 a 1 0 a 1 aa 解得：a 15 1 15 ,1，舍去）.6 分,（a 22 2 5 2 1 所以集合Aa .7 分 （）结论成立.8 分 易知a是有理数，所以对一切正整数n，a n 为 0 或正有理数， 设an 由a1 p n （pn是非负整数，q n 是正整数，且pn,qn互质） q n pp 1 ，可得0 p1 2013；9 分 2013q 1 若 p n 0，设q n p n （0 p n ， ,是非负整数） 则 q n p n 1q n ，而由an 得 a n