电磁场分析中的应用数学 第12章 非线性方程.ppt

1、第十二章非线性微分方程导论。非线性科学研究自然界中的非线性现象。所有的自然现象在本质上都是非线性的，线性只是一种近似。非线性科学已经成为一个前沿研究领域，孤子是它的一个重要分支。非线性的数学描述是一个非线性微分方程。非线性方程的内容非常丰富。本章仅介绍行波法和散射反演法求解KdV方程、正弦-戈登方程和非线性薛定谔方程的孤子解。1834年，英国工程师拉塞尔观察到一个圆形光滑的水袋在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上高速前进，这种非色散波包被称为孤波。1895年，荷兰科学家科特威格和弗里斯推导出波浪在浅槽水面上传播的运动方程(KdV方程)，从而解释了孤立波现象。孤波是一种普遍的物理现象，KdV方程在许多物

2、理问题中都可以遇到。这是一个类似拉普拉斯方程的基本数学和物理方程。KdV方程描述弱非线性和弱色散，其一般形式为(12-1-1)，其中第二项为非线性项，第三项为色散项，即色散系数。KdV方程的常用形式是(12-1-2)，它可以通过变换方程(12-1-1)得到。(12-1-3)，12-1-2正弦-戈登方程，正弦-戈登方程缩写为SG方程。这个方程可以通过分析外场中的一维原子链模型得到。SG方程的一般形式是(12-1-4)，其中c0和f0都是常数。12-1-3非线性薛定谔方程，非线性薛定谔方程简称NLS方程，它描述了弱非线性和强色散现象，光纤中的光孤子满足NLS方程。NLS方程的一般形式是，(12-1

3、-5)，其中和分别称为色散系数和朗道系数。12-2行波法用于求解非线性微分方程，在无限空间中，非线性偏微分方程的解，以(12-2-1)、(12-2-2)的形式，称为方程的行波解。方程中的p是一个包含时间t和空间x的偏导数的微分算子，解中的c是一个常数，相当于阿波罗的传播速度。如果u(0)或某个恒定值，那么这个行波解称为孤波解。12-2-1 KdV方程的孤波解可以通过将试探函数公式(12-2-2)代入KdV方程(12-1-1)而转化为常微分方程，公式(12-2-3)的两边积分一次，方程乘以du/d。孤波是局部稳定解。如果无穷远处的衰减为零，就应该有边界条件。根据公式(12-2-5)，有A=0和B

4、=0。因此，公式(12-2-4)可以写成，(12-2-4)，(12-2-5)，所以有，顺序，然后有，(12-2-6)。取公式(12-2-6)的“”符号，将公式(12-2-8)和公式(12-2-9)相加得到，(12-2-10)和公式(12-2-10)表示右行波，其图像如图12-2-1所示。可以看出，它在传播过程中保持其形状不变，所以它被称为孤波，或孤子。根据公式(12-2-10)，孤立波的传播速度为c；孤立波的振幅为3c，与波速成正比，因此振幅大的孤立波传播速度快；孤波的宽度是。图12-2-1孤立波，正弦-戈登方程的12-2-2孤立波解，将试函数公式(12-2-2)代入正弦-戈登方程(12-1-

5、4)，得到常微分方程(12-2-11)，分为c2 c02和c2 c02。这时，方程(12-2-11)变成、(12-2-12)，这里只讨论一种特殊情况u().将公式(12-2-12)中的每一项乘以du/d，然后积分一次，得到，(12-2-13)，其中a是积分常数。根据边界条件，u()和du/d=0，所以A=0。这样，方程(12-2-13)可以写成，它是通过积分得到的，即方程(12-2-14)给出了正弦-戈登方程的扭结孤子解和反扭结孤子解，它的图像是冲击波的形式。图12-2-2扭曲孤子和反扭曲孤子，2) c2 c02。此时，方程(12-2-11)变为(12-2-15)，其可以类似于上述情况来求解，

6、并且可以获得、由上述公式积分，然后，在方程(12-2-14)和方程(12-2-16)之间进行比较。因此，方程(12-2-16)也是扭结孤子和反扭结孤子的解。(12-2-16)，12-2-3，非线性薛定谔方程的孤波解，NLS方程通常表征非线性调制，所以它的解以包络波的形式存在，即，(x-vgt)是包络波，其中vg是群速度。将方程(12-2-17)代入NLS方程(12-1-5)，我们可以得到(12-2-17)和(12-2-18)。通常，()要求是实函数形式，所以d () /d前的复系数要求为零，即有、和。因此，等式(12-2-21)变成，(12-2-21)、(12-2-22)。如果0，0，它可以通

7、过等式(12-2-22)获得，并且两边被积分，并且通过使用积分公式，它可以获得，因此，如果0，例如，通过将等式(12-2-23)代入等式(12-2-17)、(12-2-24)、(12-2-25)，可以看出包络孤波的振幅为，(12-2-26)，并且等式(12-2-26)图12-2-3包络孤波、12-3逆散射方法和逆散射方法首先应用于KdV方程的解：通过由Gardner、Greene、Kruskal提出的变换(GGKM变换)求解其他非线性微分方程的逆散射方法涉及到深刻的数学理论。这里仅以KdV方程为例来说明这种方法的要点。12-3-1 GGKM变换，为方便起见，采用以下形式的KdV方程，方程(12

8、-3-1)经GGKM变换，(12-3-1)，变换公式(12-3-2)实际上可视为量子力学中稳态波函数所满足的薛定谔方程，(12-3)可以看出，KdV方程和薛定谔方程之间的关系是由GGKM变换建立的。如果势能由薛定谔方程(12-3-3)计算，就可以得到KdV方程的解。量子力学中的逆散射方法可以用来计算势能。求解薛定谔方程的本征值需要(12-3-3)，因此孤子解通常用逆散射方法获得。12-3-2在两种情况下讨论了量子力学中的散射问题：1) 0。特征值只能取有限数量的离散值，这称为离散谱。(12-3-6)，相应的本征函数渐近公式为，其中常数cn由满足归一化条件的n确定。显然，n代表束缚态。2) 0

9、.此时，特征值取连续值，称为连续谱。(12-3-7)，(12-3-8)，相应的本征函数渐近公式为，(12-3-9)，公式(12-3-9)表明振幅为1的平面波e-ikx从x=入射，并且在遇到势垒之后，部分eikx透射系数a(k)和反射系数b(k)满足2 b 2=1。在上式中，cn、a(k)和b(k)统称为散射量。这是未绑定状态。如果势函数u已知，求解薛定谔方程(12-3-3)，并要求方程的解在无穷远处满足渐近公式(12-3-7)和(12-3-9)，那么散射量cn，a(k)，b(k)和波函数可以得到。这是量子力学中的正散射问题。相反，通过散射量cn、a(k)和b(k)求出势函数u是一个逆散射问题。

10、散射量和势函数之间的关系由盖尔范德-莱维坦-马尔钦科(GLM)理论给出，其简要描述如下：设薛定谔方程(12-3-3)的解为，其中K(x，y，t)是一个待定函数，当指定y x时，K(x，y，t)=0。可以证明，K(x，y，t)满足GLM积分方程，(12-3-10)，(12-3-11)，积分方程的核b包含离散谱和连续谱的联合贡献：(12-3-12)，并给出公式(12-3-10)。逆散射法的关键是求出问题的散射量，然后根据方程(12-3-11)和(12-3-12)求出，然后求出解这里，详细说明了如何用逆散射法求解KdV方程的初值问题：(12-3-14)，解方程(12-3-14)分三步进行。第一步，以

11、给定的初值u0(x)为势函数，求解薛定谔方程的下列特征值问题，(12-3-15)，从而得到初始散射量0，cn (0)，a(k，0)，b(k，0)。这一步是正散射的问题。根据量子力学的正散射方法，对于束缚态，本征函数的渐近公式为，cn(0)由下述归一化条件确定：(12-3-16)，(12-3-17)，对于非束缚态，本征函数的渐近公式为：将GGKM变换公式(12-3-2)代入KdV方程，通过计算并考虑x，d/dx0，可以得到散射量的演化规律，任意时刻的散射量可以由上述公式和初值确定、(12-3-24)、(12-3-26)、(12-3-29)、(12-3-30)和第三步：使用在前两步中获得的散射量c

12、n (t)、a(k，t)和b(k，t)，由此获得的U是KdV方程(12-3-14)的初值问题的解。(12-3-24)、12-4逆散射法求解KdV方程，而本节用逆散射法求解KdV方程的孤子解。纯孤子解是b=0的状态，这个势函数称为非反射势。在这种情况下，公式(12-3-12)简化为(12-4-1)，也就是说，在没有反射电势的情况下，只需要考虑离散光谱的贡献。解KdV方程的孤子解就是解下列初值问题：其中U0是一个常数。当U0取不同的值时，方程(12-4-2)的解是完全不同的。可以证明，当U0满足U0=l (l 1)时，反射系数b=0。然而，当U0不满足这个条件时，反射系数不是零，并且问题是复杂的。

13、这里只讨论无反射势的情况。(12-4-2)，12-4-1 KdV方程的单孤子解，设U0=2，用逆散射法求解方程(12-4-2)。第一步，以初值u0=阶2x为势函数，求解薛定谔方程的特征值问题：(12-4-3)，对于离散谱，=- kn2 (kn0，n=1，2，N)。做一个变换，(12-4-4)，然后问题(12-4-3)变成，(12-4-5)，这是联合勒让德方程的特征值问题，它的特征值是，此时，kn只能取一个值k1=1，并且只有一个对应的特征值函数：其中常数a。与公式(12-3-17)相比，有(12-4-7)，第二步是确定任意时刻的散射量，可以从公式(12-3-26)得到让K(x，y，t)=I(x，t)e-y，将其代入方程(12-4-10)，得到，因此，将方程(12-4-11)代入方程(12-3-)，(12-4-11)，(12-4-12)，12-4-2 KdV方程，让U0=6，求解方程(12-4-2)。 这个问题的解决步骤和前一个完全一样。第一步，以初值u0=秒2x为势函数，求解薛定谔方程的特征值问题：(12-4-13)，并变换方程(12-4-4)，然后问题(12-4