一圆周角定理.ppt

1、一圆周角定理,1.圆周角定理 (1)圆周角定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角. (2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 名师点拨圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系,把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中,圆周角定理为我们解决角和弧之间的转化问题提供了一种新方法.,【做一做1】 如图,点A,B,P在圆O上,若APB=65,则AOB= . 解析:由圆周角定理,得AOB=2APB=130. 答案:130,2.圆心角定理 (1)圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 名师点拨1.在圆心角定理

2、中,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但不能说“圆心角等于它所对的弧”. 2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关.也就是说,在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等.,【做一做2】 如图是两个同心圆,圆心为点O,点C,D在大圆上,A,B, M在小圆上.若AMB=40,则劣弧 的度数等于() A.20B.40C.80D.70 解析:因为AMB=40,所以AOB=80,从而劣弧 的度数为80. 答案:C,3.圆周角定理的推论 (1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

3、. (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径. 特别提醒1.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”. 2.在推论1中,若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,所以在一般情况下是不相等的.,【做一做3】 如图,若D是劣弧 的中点,则与ABD相等的角的个数是() A.7B.3C.2D.1 解析:由同弧或等弧所对的圆周角相等,知ABD=CBD= ACD=DAC,故与ABD相等的角有3个. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在同圆或等圆中,

4、圆周角等于圆心角的一半. () (2)在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧. () (3)同弦或等弦所对的圆周角相等. () (4)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,角、弦、弧等的计算问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:(1)D=60,B=D=60,答案:(1)60(2)2.5 cm,反思感悟和圆周角、圆心角有关的角、弦、弧的计算,一方面可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,另一方面,还可以通过成比例线段以及相似比来计算

5、.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,ACB=30,则圆O的面积等于() A.4B.8C.12D.16 解析:连接OA,OB,ACB=30, AOB=60. 又OA=OB, AOB为等边三角形. AB=4,OA=OB=4, SO=42=16. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,角、弦、弧关系的证明问题 【例2】如图,AB是O的一条弦,ACB的平分线交AB于点E,交O于点D.求证:ACCB=DCCE. 分析:通过圆周角定理与圆心角定理证明ACE与DCB相似,得到比例式,再转化为等积式. 证明:连接BD,在ACE与

6、DCB中, EAC与BDC是同弧所对的圆周角, EAC=BDC.又CE为ACB的平分线, ACE=DCB,ACEDCB, , 故ACCB=DCCE.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题 1.分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁; 2.当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,在直角三角形中处理相关问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图,在O中,已知AB=AC,D是BC延长线上的一点,AD交O于E.求证:AB2=ADAE.,证明:如图,连接BE,探究一,探究二,

7、探究三,思维辨析,当堂检测,圆周角定理、圆心角定理的综合应用 【例3】如图,在RtABC中,BCA=90,以BC为直径的O交AB于点E,D为AC的中点,连接BD交O于点F.求证:,证明:BC为O的直径,BFC=90,BEC=90. ACB=90,BCE=A. 又BFE=BCE,BFE=A.EBF=DBA,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟应用圆周角定理和圆心角定理解题的基本步骤 1.观察图形,寻找相应弦及所对应的弧; 2.利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角; 3.进行数学变形; 4.得出结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3如图,已知AB是半圆O的

8、直径,弦AD,BC相交于P.若CD=3, AB=4,则tanBPD等于 (),解析:连接BD,则BDP=90.,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用圆周角定理致误 【典例】 已知O中的弦AB的长等于半径,求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数. 错解:根据题意画出大致示意图如图,AOB和C分别是弦AB所对的圆心角和圆周角. AB=OA=OB, OAB为等边三角形, AOB=60,C=30, 弦AB所对的圆心角为60,它所对的圆周角为30.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,正解:根据题意画出大致示意图如图, AOB为弦AB所对的圆心角,C和D是弦AB所对的圆周角.

9、AB=OA=OB,AOB为等边三角形, AOB=60,C=30,D=150, 弦AB所对的圆心角为60,所对的圆周角为30或150.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得本题错误在于对圆周角的概念理解不清,错用圆周角定理而导致的.事实上,顶点在圆上,且两边都和圆相交的角叫做圆周角.一条弦所对的圆周角应有两种情况,同弧所对的圆周角相等或互补,错解:中漏掉了一个圆周角.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练如图,BAD=75,则BCD=.,答案:105,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.如图,点C,D,M在圆O上.若OCD=15,则CMD的度数等于()

10、 A.30B.150 C.75D.60 解析:因为OCD=15, 所以COD=150,于是CMD= COD=75. 答案:C 2.如图,在O中,已知ACB=CDB=60,AC=3,则ABC的周长等于() A.9B.6C.12D.6+ 解析:由圆周角定理,得BAC=CDB=ACB=60, 所以ABC为等边三角形,所以其周长等于9. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.如图,若圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD相交于E,则图中相似三角形有() A.1对B.2对C.3对D.4对 解析:由推论1知ADB=ACB,ABD=ACD,BAC=BDC, CAD=CBD,故AEBDEC,AEDBEC. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.如图,AB为O的直径,AC=4 cm,BC=3 cm,CDAB于D,则CD的长为 cm.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.如图,AB是圆O的直径,D,