第六章 时变电磁场.ppt

1、1,6.1 法拉第电磁感应定律 6.2 位移电流 6.3 麦克斯韦方程 6.4 时变电磁场的边界条件 6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 6.6 波动方程 6.7 动态矢量位和标量位,第六章 时变电磁场,2, 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。, 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本 方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的 理论基础。,静电场和恒定磁场各自独立存在，可以分开讨论。,3,6.1 法拉第电磁感应定律,当穿过导体的磁通量发

2、生变化时，回路中会产生 感应电流，这表明回路中产生了感应电动势。这就是 法拉第电磁感应定律。,负号表示感应电动势总要阻碍磁通量的变化。 这就是大物里面讨论过的楞次定律。,4,电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现 感应电动势，表明导体内出现感应电场。这说明 感应电场是有旋场，且感应电场的出现是磁场变化 的结果。,上式对磁场中的任意回路都成立。,5,设空间还存在库仑电场 Ec, 则总电场,沿任意闭合路径的积分：,（这是因为库仑电场 Ec 是保守场，它沿任意闭合路径 的积分为零）。,6,磁通量,则,磁通的变化：或由磁场随时间的变化引起，或由回路运动引起，即S 变化（法拉第做的线圈实验）这是

3、法拉第电磁感应定律的积分形式。,（设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起）,将上式写为微分形式,7,由斯托克斯定理,因为对任意回路所围面积都成立，故,这是法拉第电磁感应定律的微分形式,8,6.2 位移电流, 根据法拉第电磁感应定律，, 麦克斯韦将恒定磁场中的安培环路定律,那么变化的电场能不能产生磁场呢？,变化的磁场会产生电场；,应用于时变场领域的时候产生了矛盾。,9,连接于交流电源上的电容器，,10、经过S1 面（茶杯盖平面）,20、经过S2 面（茶杯壁面和底面）,S1,作闭合曲线 C 与导线相交链,根据安培环路定律：,10, 为了解决这个矛盾，麦克斯韦提出位移电流假说：,对 SS1S2

4、所构成的闭合曲面，应用电流连续性原理,其值与传导电流 i 相等。,在电容器两极板之间存在另一种电流（位移电流），,和 高斯通量定律：,11, 如果承认麦克斯韦提出的位移电流假说，,其中 ，称为位移电流密度，单位是, 从而，在位移电流的基础上，恒定磁场中的安培环路 定律需要进行修正。,说明麦克斯韦提出的位移电流假设解决了矛盾。,对 两个不同的面元 S1 和 S2，得到相同的积分结果，,12,一般，空间可能同时存在传导电流,安培环路定律 的积分形式,安培环路定律 的微分形式,则安培环路定律修正为：,和位移电流,13,关于传导电流和位移电流,传导电流：带电粒子的定向运动所形成，可由实验直接测出；,位

5、移电流：由电场随时间的变化所引起，所以位移电流与 传导电流性质不同。,而位移电流和传导电流相似，也具有磁效应，可以产生磁场。,位移电流不是由带电粒子的定向移动所形成， 不能直接由实验测出。,14,位移电流的提出反映了变化的电场要产生磁场；,麦克斯韦在位移电流的基础上，总结并修正前人的研究成果，提出了电磁理论的基本方程,所以说电场与磁场不是孤立存在，而是可以相互激发，,根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场要产生电场；,从而形成电磁场的运动，产生电磁波。,用数学形式定量概括了宏观 电磁现象的基本性质。,麦克斯韦方程组，,15,6.3 麦克斯韦方程,麦克斯韦第一方程 推广的全电流定律，表明传导电流 和

6、变化的电场都能产生磁场。,麦克斯韦第二方程 推广的电磁感应定律, 表明变化的 磁场能产生电场。,讨论,16, 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。, 麦克斯韦第三方程 磁通连续性原理，表明磁场是 无源场,磁力线总是闭合曲线。, 麦克斯韦第四方程 高斯定律，表明电荷以发散的 方式在空间产生电场。, 静态场和恒定场,微分形式 积分形式,17, 电流连续性方程,由,两边取散度,即,（电流连续性方程）, 电流连续性方程可由麦氏方程导出。,18, 麦氏方程的限定形式和非限定形式,用E、D、B、H 四个场量写出的方程称为麦氏方程的 非限定形式。,对于线性各向同性媒质，有本构关系,用E、H 二个场量写出的

7、方程称为 麦氏方程的限定形式。,19,麦克斯韦方程组是经典电磁理论的基本方程，它用数 学形式概括了宏观电磁现象的基本规律，静态场和恒定磁 场中的很多结论都可以由Maxwell 方程组归纳概括。,微分形式 积分形式,20,6.4 时变电磁场的边界条件,将积分形式麦氏第一方程用于边界面上的闭合回路，并考虑 高阶小量 。,一、H 的边界条件（解释P144）,与恒定磁场相比较,当 该积分为零,21,因此，时变场中H 的边界条件与恒定磁场时的形式相同，即,P144的解释：,22,二、E 的边界条件（解释P145）,同样的分析可得时变场中E的边界条件与静电场时的形式相同，即,分界面上电场强度的切向分量连续

8、,P145的解释：,23,同理： 三、B 的边界条件,与恒定磁场相同,表示为矢量形式,四、D 的边界条件,与静电场相同,表示为矢量形式,分界面上磁感应强度的法向分量连续,注意：此时法向为2 指向 1,24,五、两种特殊情况, 两种无耗媒质（理想介质） 的分界面 （ ）,或,25,或, 理想介质 和理想导体 的分界面： 电磁波不能进入理想导体。 （ ）,26,61 在两导体平板（z=0 和 z=d ）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为,式中 为常数。,试求：（1）磁场强度H；（2）两导体表面上的面电流密度Js,解： （1）取如图所示的坐标。由,27,28,（2）导体表面上的电流存在于两导

9、体相向的一侧，,29,6.5 坡印廷定理和坡印廷矢量, 电磁能量符合自然界物质运动过程中，能量守恒和转化 坡印廷定理；, 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。,一、坡印廷定理,由麦氏第一、第二方程：,30,其中,31,于是得,32,在时变场中总电磁能量密度为：,单位体积损耗的的焦耳热为：,于是得,33,坡印廷定理,穿过闭合面S进入体积V内 的功率,体积V 内每秒电场能量和磁场能量的增加量,体积V 内变为焦耳热的功率,取体积分，并反着应用散度定理得,二、坡印廷矢量,定义坡印廷矢量,W/m2,34,表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量（功率），亦称为功率流密度，S 的方

10、向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。因为E 和H 都是瞬时值，所以S 也是瞬时值。 后面我们将会遇到平均坡印廷矢量，即是坡印廷矢量的时间平均值，表示平均功率流。,35,6.6 波动方程,考虑均匀无耗媒质的无源区域,麦氏方程为,两边取旋度,得,利用,36,得,电场 E 的波动方程,同理,磁场 H 的波动方程,式中 为拉普拉斯算符，后面接矢量或标量都可以。 在直角坐标系中,37,从而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程, 波动方程的解是一个沿空间特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播问题可以归结为在给定边界条件和初始条 件下求解波动方程。,38,6.7 动态矢量位和标量位, 静态场中为

11、了简化问题，引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。,由麦氏第三方程,，从而可令,由麦氏第二方程,39,于是可以令,式中 A 称为动态矢量位，简称矢量位（Wb/m)。,称为动态标量位，简称标量位 (V) 。,即, 已知矢量位 A 和标量位 可求相应的磁场和电场。 矢量位和标量位由源决定。其满足的方程讨论如下。,由麦氏第四方程,40,由麦氏第一方程,矢量恒等式,41,所以,得,即, 由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。 前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。 令 （洛仑兹规范) 。,42, 以上二方程称为达朗贝尔方程。（洛仑兹

12、规范）, 此方程表明矢量位 的源是 ，而标量位 的源是 。时变场中 和 是相互联系的。不采用洛仑兹规范，如采用库仑规范（ ），得到的矢量位 和 标量位 不同，但是最后的磁感应强度和电场强度是一样的。,43,而另一矢量,（ 为任一标量函数）,则有,说明 也是矢量磁位。,（A 为矢量磁位）,这是因为，若,因此，为了惟一确定矢量位，除了规定A的旋度外，还必须规定A的散度值。在恒定磁场中，一般令 该条件称为库仑规范，又称库仑条件，在时变场中采用洛仑兹条件 。,44,例题说明：在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹规范，而 是采用库仑规范，即令 ，导出 所满足的微分方程，并和达朗贝尔 方程 进行比较。,45,解：根据麦克斯韦方程组，有 代入麦克斯韦方程第一方程， 可以得到：,而由矢量横等式