第五讲 中值定理.ppt

1、第五讲,微分的概念与导数的应用,第二章 第三节 第四节,医学高等数学,二、中值定理,三个定理,四种不定式,一、微分的概念,三、LHospital法则,内容提要,教学目标与要求,了解微分近似计算 微分的形式不变性及其应用 中值定理及其几何意义,理解微分的几何意义,掌握微分的运算法则、LHospital法则的应用,重点：,微分的计算、 LHospital法则,难点： LHospital法则,导数定义,内容回顾,导数的计算,一、微分,小学：,近似法,中学,近似直线，斜率相等,线性插值法,线性插值法,假如函数y=f(x)可导,存在）,按照极限与无穷小的 关系,定义,为y=f(x)的微分,1、微分定义,

2、有：,2、微分的一阶形式不变性,如果,则,3、微分的应用,（1）近似计算,用来估计增量值,用来估计函数值,取,所以,（2）函数线性近似,函数能否近似表示成线性函数的形式？,如果可以，a、b如何确定？,|x|充分小,|x-x0|充分小,|x-x0|充分小,根据微分近似公式，有,|x-x0|充分小,|x|充分小,有：,|x|充分小,函数在0点可导,函数在0点附近有定义,条件：,|x|充分小,x充分小,特殊函数的0点附近近似线性化公式：,（3）误差分析（自学）,1、Fermat定理,（1）(x)在点及其邻域里连续,（2）x 为 的某邻域内的任一点，总有,或,（3）,存在,则,二、中值定理,是极值点,

3、极值点 的导为0,证明:,左导数：,增量比：,右导数：,而,存在,则,（1）(x)在a,b上连续,（2） (x)在(a,b)内可导,（3）(a) =(b),则在(a,b)内至少存在一点，使得,2、Rolle定理,（a,b）内任一点,都有,（1）(x) =C（常数）,证明：,（2）(x) 在 a , b 上不是常数,(x)在 a , b 上必有最大值M和最小值m,且 M 和 m 至少有一个不等于(a）,不防设M (a),由Fermat定理知,存在（a,b）使()= M,3、Lagrange中值定理,（1）f(x)在闭区间 a ，b 上连续；,（2）f(x)在开区间（ a ，b ）内可导。,结论：

4、至少存在一点 （ a ，b ）,使得,定理的几何解释：,过点C 的切线斜率：,证明分析：,上式左端可以是如下函数在点的导数,C1，C2是任意常数,F(x)满足Rolle定理条件,理论角度分析,几何角度分析,弦AB的直线方程,曲线到弦AB的距离,显然两端点的距离均为0，F(x)满足罗尔定理条件,则,则,推论1 若x(a,b) 时,推论2 若x( a , b ) 时,分析：,4、不等式证明（中值定理的应用）,令f(x)=ln(1+x),f(x)在 0,x上连续且可导,证明：,满足拉格朗日中值定理条件,使得：,由于0x,有,则,三、 法则,问题：,如何求下列极限？,标准的不定式,型标准不定式.,如果,则称,为,为,型标准不定式.,如果,则称,LHospital法则,结论：,条件：,例1,解:,注意：,非标准型不定式：,例 2,解:,例 3,解:,所以,求 的极限.,课堂练习,注意：定理的条件是充分条件而非必要条件。,存在,不存在。,不存在,例4,极限不存在（振荡型）。,正确解法：,错误解法：,小结：,微分,中值定理,LHospital 法则,近似计算，直线近似,不等式的证明,不定式的极限,P58 24;