经济应用数学第一章集合区间邻域函数的定义.pptx

1、第一章 函数（一）,讲师：胡燕芳 电话课堂纪律： 1. 手机关机或者调成静音 2. 准备好草稿纸 3.课前10分钟，自觉看课本上节内容及本 节课知识点 4.有问题请举手发言,一、集合的概念,集合的含义与表示,了解康托尔,德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。,数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-73的解的集合,中学学习了哪些集合的实例,点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.,元素 a 属于集合 M , 记作 aM,

2、元素 a 不属于集合 M , 记作 aM,集合的含义：,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,通常用大写的拉丁字母A , B , C , 表示；组成集合的事,物称为元素，通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,表示。,集合的分类： 按元素的个数划分，可将集合分为三类：有限集、无限集、空集。 有限集：含有有限个元素的集合叫有限集。 无限集：含有无限个元素的集合叫无限集。 空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作 ,集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的 方法，如a,b,c,d 描述法：把集合中的元素的共同属性描述出来，写

3、在大括号内表示 集合的方法，如x|x2-3x+2=0,直角三角形,常见的数集表示： N -自然数集（0、1、2、3、4） Z -整数集 Q -有理数集 R -实数集 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性,集合与集合的关系 1子集 子集定义：对于两个集合A与B，如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合B包含于集合A，或集合A包含集合B。 记作：B A, A B 读作：B包含于A 或 A包含B 若两集合A和B有A B，同时B A，则称集合A与集合B相等，记作A=B. 性质： 任何一个集合是它本身的子集 空集是任何集合的子集,思考：,考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间

4、的关系吗？,（1） A=1，3，5， B=2，4，6， C=1，2，3，4，5，6,（2）A=x|x是有理数， B=x|x是无理数， C=x|x是实数,集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的,记作：AB（读作：“A并B”）,Venn图表示：,说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）,一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集,例1设A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，求AUB 解：AUB=4，5，6，8U3，5，7，8=3,4,5,6,7,8 例2设集合A=x|-1x2，B=x|1x3，求

5、AUB 解：AUB=x|-1x2Ux|1x3=x|-1x3 可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：,并集例题,集合运算常用数轴画图观察,并集性质,1. AA A ； 2. A A ； 3. ABA B A ;,思考：,考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？,（1） A=2，4，6，8，10， B=3，5，8，12，C=8,（2）A=x|x是新华中学2004年9月入学的女同学， B=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学， C=x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学,集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的,一般地，由属于集合A且属于集合B的所

6、有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作：AB（读作：“A交B”） 即： A B =x| x A且 x B,Venn图表示：,说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合,交集概念,交集性质,AA A ； A ； ABA AB,例1：已知集合A1，2，3，B2，m，4，AB2，3，则 m_. m3 例2：已知集合Ax|x1，Bx|xa，且ABR，则实数a的取值范围是_ a1 解析将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示 要使ABR，则a1,差集： 所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为集合A与集合B的差集，记为A-B或AB. 例如，若A=1,2,3,4，B=1,

7、3,5,7，则AB=1,3， AB=1,2,3,4,5,7，A-B=2,4.,二、区间、邻域,关于区间的概念 设a、b是两个实数，并且aa，xb，xb表示实数的 x 集合，可分别表示为 a,+),(a,+),(-，b,(-，b) 不等式的解集和函数的定义域、值域等，也可以用区间表示。,（a，b）= x | axb.,a，b=x | axb.,设是任一正数, 则开区间(a , a )称为点a 的 邻域，记为,U(a, ) =x | |xa| .,点集,x | 0|xa| ,称为点a 的去心邻域, 如图 , 记作,x | 0|xa| ,例：用区间表示下列点集 （1）x |1 |x1|2 （2）x

8、| |x+1|0 解：（1）x |1 |x1|2 =(-1,02,3) （2）x | |x+1|0 =(-,-1)(-1,+),三、函数的定义,在观察自然现象或研究科技问题的过程中，始终保持一定数值的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量。,函数的定义： 设x和y是两个变量，x的变域是数集D。如果对每一个xD，变量y按照一定的法则f，有唯一确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作 y=f(x) 或 f:D R 数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 函数不是数,它指在一个变化过程中两个变量之间的对应关系。 函数的基本要素：定义域、对应法则,函数的三种表示法： 解析法： 用等

9、式表示两个变量间函数关系的方法。这个等式叫做函数的解析式。 列表法： 用列表表示两个变量间函数关系的方法。 图像法： 用图像表示两个变量间函数关系的方法。,例：某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解：这个定义域是数集1,2,3,4,5. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x1,2,3,4,5. 用列表法可将函数y=f(x)表示为 用图像法可将函数y=f(x)表示为,练习：求下列函数中自变量x的取值范围（定义域） (1) y3x1；(2) y2x27；(3) y= ；(4) y 解：（1）x 的取值范围是 x

10、为任意实数 （2）x 的取值范围是 x为任意实数 （3）x 的取值范围是 x2 （4）x 的取值范围是 x 2 (5)解:由已知得 ，x的取值范围是x=1,(5),x-10 1-x0,例1：求函数 的定义域. 解：要使函数有意义，必须有 x-20 x-30 5-x0 解之即得所求的定义域为： D=x|2x5,且x3,xR=2,3)(3,5),例2： 解：,例3：已知f(ex-1)=x2+1，求f(x)的定义域. 解：令ex-1=u，那么x=ln(1+u),代入原式，有 f(u)=ln2(1+u)+1 即 f(x)=ln2(1+x)+1 从而知 Df = (-1,+),分段函数： 在定义域的不同

11、范围内，函数的关系用不同的式子来表示，这种函数叫做分段函数。 （1）符号函数 1 y= sgnx = 0 -1,x,y,o,-1,1,（2）绝对值函数,（3）狄里克莱函数,（4）取整函数(其中x表示不超过x的最大整数) y=x 例如:0.3=0，-0.6=-1，-1.3=-3,练习：求下列函数的(自然)定义域 解：(1)函数的定义域为(-,0 )(0,4)(4,+) (2)函数的定义域为x|3x5,练习： x2 , x-1 设函数f(x)= 1+x2 , -1x2，求f(-2),f(-1),f(),f(a-1). sinx x2 解：f(-2)=(-2)2=4 f(-1)=1+(-1)2=2

12、f()=sin=0 (a-1)2 , a0 f(a-1)= 1+(a-1)2 , 0a3， sin(a-1), a3,练习：设f(x)=lg3,求f(x+1)-f(x-2). 解：因为f(x)=lg3是一个常值函数，可得 f(x+1)=lg3 f(x-2)=lg3 所以，f(x+1)-f(x-2)=0,谢谢观看！,大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的

13、性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。 1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒）

14、，1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。,1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在187

15、91884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。 在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康

16、托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877 说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。,19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。 他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。 康托尔是德国数学家，集合论的创始者。18