2020高考数学二轮专题复习 概率统计（理）（通用）

1、概率统计（理）【考纲解读】1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式2理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义4.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性5.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用6.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题7.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机

2、变量的均值、方差，并能解决一些实际问题8.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义9.了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题10.了解独立性检验（只要求22列联表）的基本思想、方法及其简单应用11.了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基本思想、方法及其简单应用【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查概率与统计的基本概念、公式以及基本技能、方法，以及分析问题、解决问题的能力，通常以实际问题的应用为载体，以排列和

3、概率统计知识为工具，考察概率的计算、随机变量的概率分布、均值、方差、抽样方法、样本频率估计等内容。二项式定理主要以选择填空的形式出现，难度中等。随机变量的分布列、期望、方差相结合的试题2.样本抽取识别与计算也常在选择、填空题中出现，条件概率、随机变量与服从几何分布及服从超几何分布的概率计算问题;独立性检验等新课标中新增内容页会有不同程度的考察。3.预计在2020年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.【要点梳理】1.概率（1）主要包括古典概型、几何概型、互斥条件的概率、条件概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验等。（2）互斥事件的概率加法公式：,若A

4、与B为对立事件,则.（3）求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A包含的基本事件个数;代入公式,求出；(4)理解几何概型与古典概型的区别，几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比.2.抽样方法抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样。分层抽样三种，正确区分这三种抽样.3.频率分布直方图频率分布直方图中每一个小矩形的面积等于数据落在相应区间上的频率，所有小矩形的面积之和等于1.4.平均数和方差：方差越小，说明数据越稳定。5.两个变量间的相关关系：能做出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。6.离散型随机变量的分布列熟练掌

5、握几个常见分布：1、两点分布；2、超几何分布；3、二项分布7. 离散型随机变量的均值和方差：是当前高考的热点内容。8.正态分布是一种常见分布。考点一 概率例1. (2020年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（ ）（A） （B） （C） （D ） 【答案】 B【解析】5本不同的书并排摆放到书架的同一层上有，每种摆放方法等可能，同一科目的书都不相邻的摆放有，概率，故选B。【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题，求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空间的基本事件个数，和所求事件所含的基本事件

6、个数.【备考提示】：概率部分主要包括古典概型、几何概型、互斥条件的概率、条件概率、相互独立事件同时发生的概率等，这些都是高考考查的重点内容,必须熟练掌握.练习1: (2020年高考全国新课标卷理科4)有三个兴趣小组，甲乙两个同学各自参加其中一个小组、每个同学参加各小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A B C D【答案】 A【解析】因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为。考点二 统计例2. (2020年高考山东卷理科7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销

7、售额y（万元）49263954 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元【答案】B【解析】由表可计算,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.【名师点睛】本题考查线性回归的有关知识.【备考提示】：统计知识是高考的重点内容之一，特别是新课标新增内容,它们是与大学知识的衔接，所以必须熟练.练习2：(2020年高考天津卷理科9)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽

8、取男运动员的人数为_。【答案】12【解析】本题考查分层抽样,由题意知,抽取比例为,所以抽取男运动员的人数为.考点三 随机变量的分布列与期望例3. (2020年高考山东卷理科18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.【解析】（）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.（）取的可能结果为0,1,2,3,则=0.1;+=0.35;=0.4;=0.15.所以的分布列为0123P0.1

9、0.350.40.15数学期望=00.1+10.35+20.4+30.15=1.6.【名师点睛】本小题考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列与期望的求解，考查学生应用意识以及运用概率知识分析问题、解决实际问题的能力.【备考提示】：随机变量的分布列与期望是高考的热点内容，年年必考，在复习时，熟练这类问题的解法。练习3：(2020年高考江西卷理科16)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选

10、对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力 （1）求X的分布列； （2）求此员工月工资的期望【考题回放】1. (2020年高考安徽卷文科9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）（A） (B) (C) (D) 【答案】D【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.2.（2020年高考浙江卷文科8)从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个

11、白球的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 D【解析】无白球的概率是，至少有1个白球的概率为，故选D.3.(2020年高考辽宁卷理科5)从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(BA)= （ ）(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由题意，P(A)=, P(AB)=,故P(BA)=.4. (2020年高考广东卷理科6)甲、乙两队进行排球决赛现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D.【答案】 D【解析

12、】由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.5(2020年高考湖北卷理科7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576【答案】 B【解析】系统正常工作概率为，所以选B.6(2020年高考陕西卷理科10)甲乙两人一起去“2020西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个

13、景点的概率是 （ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D7. (2020年高考四川卷理科12)在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量a=（a,b）.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则( )（A） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】基本事件：.其中面积为2的平行四边形的个数；其中面积为4的平行四边形的为； m=3+2=5故. 8(

14、2020年高考福建卷理科4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（ ）A B C D【答案】C9. (2020年高考江西卷理科6)变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5); 变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11. 3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ） A. B C D【答案】C【解析】由数据可以看出变量Y与X之间是正相关, 变量V与U之间是负相关

15、,所以,选C. 10. (2020年高考湖南卷理科4)通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ） A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】 C【解析】因为K27.86.635, 由9

16、9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C评析：本小题主要考查统计中独立性检验的基本思想和方法的应用.11(2020年高考湖北卷理科5)已知随机变量服从正态分布，且，则=（ ）A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2【答案】 C【解析】由正态分布规律可知，则，故，所以选C.12(2020年高考陕西卷理科9)设， 是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）（A）x和y相关系数为直线l的斜率（B）x和y的相关系数在0到1之间（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同（D）直线过点【答案】D【解析】：由得又，所

17、以则直线过点，故选D13. (2020年高考湖南卷理科18)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.求当天商店不进货的概率；记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.【解析】=+由题意知，的可能取值为2，3.+故的分布列为所以的数学期望为.14. (2020年高考辽宁卷理科19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两

18、大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，xa的样本方差，其中为样本平均数.【解析】（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且 即X的分布列为X01234PX的数学期望是：.（II）品种甲的每公顷产量的样本平

19、均数和样本方差分别是：，.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：，由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.【高考冲策演练】一、选择题：1. (2020年高考江西卷文科9)有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】每位同学不能通过的概率为，所有同学都不能通过的概率为，至少有一位同学能通过的概率为。2.(2020年高考安徽卷文科10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个

20、顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）（A） （A） （A） （A）【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种（4组邻边和对角线）包括10个基本事件，所以概率等于。3.(2020年高考四川卷理科1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5，235) 9 23.5,27.5) 18 27.5，31.5) 1l 31.5，35.5) 12 35.539.5) 7 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在31

21、.5，43.5)的概率约是( ) (A) (B) (C) （D）【答案】B【解析】大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.故选B。4（2020年高考福建卷文科9）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( ) A.91.5和91.5 B.91.5和92 C.91和91.5 D.92和92【答案】A【解析】由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94， 96，所以其中位数为91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选A。5（2020年高考重庆卷文科5）某单

22、位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )（A）7 （B）15（C）25 （D）35【答案】B【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为.8 (广东省江门市2020年高考一模文科)已知平面区域：，的概率是( )A B C D【答案】C9(广东省江门市2020年高考一模理科)已知平面区域，（是常数），记为事件，则使的常数有( C )A个 B个 C个 D个以上【答案】C10（广东省揭阳一中2020年高三一模理科）一袋中有5个白球

23、，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（ B ）ABCD【答案】B11. (广东省广雅金山佛一中2020年2月高三联考理科) 设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知0.950，则在内取值的概率为（ ）A0.025 B0.050 C0.950 D0.975【答案】A12. (广东省东莞市2020年高三一模理科) 已知随机变量服从正态分布，且，若，, 则( )A0.1358 B0.1359 C0.2716 D0.2718【答案】B二填空题：13.(2020年高考江苏卷5)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其

24、中一个数是另一个的两倍的概率是_【答案】【解析】从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，所有可能的取法有6种, 满足“其中一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共2种取法,所以其中一个数是另一个的两倍的概率是.14. （2020年高考山东卷文科13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .【答案】16【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40=16.15.(2020年高考江苏卷6)某老师从星

25、期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.【答案】3.2【解析】考查方差的计算,可以先把这组数都减去6,再求方差,.161.(2020年高考辽宁卷理科14)调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.【答案】 0.254【解析】 由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元. 三解答题：17(2020年高考广东卷

26、理科17)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足175且y75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.【解析】（1），即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约（件）优等品，

27、（3）的取值为0，1，2。所以的分布列为012P故18(2020年高考北京卷理科17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选

28、取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=19.19(2020年高考福建卷理科19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/

29、件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678P04ab01且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望 （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具

30、可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性【解析】（I）因为又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：345678P030202010101所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。20（广东省深圳市2020年3月高三第一次调研理科）第26届世界大学生夏季运动会将于2020年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）： 若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？（2）若从