2022年江西省赣州市志和中学高一数学文测试题含解析

2022年江西省赣州市志和中学高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是(

)

A．

B．

C．a＜1

D．0＜a＜1参考答案：A2.已知函数，，则函数的值域为（

）A.{－1,0,1} B.[0,1]C.{0,1} D.[0,+∞)参考答案：C【分析】分别代入求得即可.【详解】由题,故值域为故选：C【点睛】本题主要考查函数的值域,属于简单题型.3.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位参考答案：A【分析】根据辅助角公式可将函数化为，根据图象平移变换可得结果.【详解】由题意得：向右平移个单位即可得到的图象本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的平移变换问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化成余弦型函数的形式.4.已知集合M={1,2}，N={2,3,4}，若，则P的子集个数为（

）A．14

B．15

C．16

D．32参考答案：D

5.若奇函数在上为增函数，且有最小值7，则它在上（

）A.是减函数，有最小值-7

B.是增函数，有最小值-7C.是减函数，有最大值-7

D.是增函数，有最大值-7参考答案：D6.下列各式正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：D7.（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（） A． 0 B． ﹣8 C． 2 D． 10参考答案：B考点： 斜率的计算公式．专题： 计算题．分析： 因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答： ∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．点评： 本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．8.已知数列{an}满足，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】分别令，求得不等式，由此证得成立.【详解】当时，，当时，，当时，，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系判断项的大小关系，属于基础题.

9.设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数D．把f（x）的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过x=函数是否取得最值判断A的正误；通过x=，函数值是否为0，判断B的正误；利用函数的周期与单调性判断C的正误；利用函数的图象的平移判断D的正误．【解答】解：对于A，当x=时，函数f（x）=sin（2×+）=，不是函数的最值，判断A的错误；对于B，当x=，函数f（x）=sin（2×+）=1≠0，判断B的错误；对于C，f（x）的最小正周期为π，由，可得，k∈Z，在[0，]上为增函数，∴选项C的正确；对于D，把f（x）的图象向右平移个单位，得到函数f（x）=sin（2x+），函数不是偶函数，∴选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、奇偶性、周期性，基本知识的考查．10.下列各组中两个函数是同一函数的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设定义域为的单调递增函数满足对于任意都有，且，则＝

。参考答案：12.（5分）已知f（x）=，若f（a）=2，则a=

．参考答案：﹣考点： 函数的值．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意知，分a≤1与a＞1讨论求解．解答： 解：若a≤1，则a2﹣1=2，解得a=﹣；当a＞1时，a+＞2；故不成立；故答案为：﹣．点评： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题．13.如图在长方体ABCD—A1B1C1D1中，三棱锥A1—ABC的面是直角三角形的个数为：

参考答案：4略14.平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是直线m1和直线n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1?m⊥n；②m⊥n?m1⊥n1；③m1与n1相交?m与n相交或重合；④m1与n1平行?m与n平行或重合．其中不正确的命题个数是________．参考答案：415.=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简即可得解【解答】解：原式=故答案为：2【点评】本题考查指数运算与对数运算，须能够对指数式和对数式灵活变形，熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题16.已知函数，有以下结论：①若，则：②f(x)在区间上是增函数：③f(x)的图象与图象关于x轴对称：④设函数，当时，其中正确的结论为__．参考答案：②④【分析】利用二倍角和辅助角对函数化简可得，结合三角函数的性质依次判断各结论，即可得到答案．【详解】由题意，函数，对于①：若，可知关于对称轴是对称的，即，所以①不对；对于②：令，可得；∴在区间上是增函数，所以②正确；对于③：的图象关于轴对称，即关于轴对称的点是，可得，所以③正确；对于④：设函数，当时，，，，∴，所以④正确．故答案为：②③④【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17.函数恒过定点

参考答案：（1,2）函数过定点（0，1）当时，此时故过定点故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？参考答案：（1）

（2）当，即万元时，收益最大，万元解析:解（1）设，

……2分所以，

即

……5分（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为()万元依题意得：

……10分

令

则所以当，即万元时，收益最大，万元

……14分19.（12分）已知点P（﹣2，3t﹣），Q（0，2t），（t∈R，t≠0）（1）当t=2时，求圆心在坐标原点且与直线PQ相切的圆的标准方程．（2）是否存在圆心在x轴上的定圆M，对于任意的非零实数t，直线PQ恒与定圆M相切，如果存在，求出圆M的标准方程，如果不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题： 直线与圆．分析： （1）根据t=2可以求得点P、Q的坐标，则易求直线PQ的方程，然后根据点到直线的距离和直线与圆的位置关系求得该圆的半径，据此来写圆的标准方程；（2）利用反证法进行证明．设圆M的方程为（x﹣x0）2+y2=r2（r＞0），直线PQ方程为：（t2﹣1）x+2ty﹣4t2=0．由直线与圆的位置关系、点到直线的距离可以求得圆M的圆心和半径，所以易求得该圆的标准方程．解答： （1）当t=2时，直线PQ的方程为3x+4y﹣16=0，圆心（0，0）到直线的距离为，即r=．所以，圆的标准方程为：x2+y2=；（2）假设存在圆心在x轴上的定圆M与直线PQ相切．设圆M的方程为（x﹣x0）2+y2=r2（r＞0），直线PQ方程为：（t2﹣1）x+2ty﹣4t2=0．因为直线PQ和圆相切，则=r，整理得：（t2﹣1）x0﹣4t2=r+rt2①或（t2﹣1）x0﹣4t2=﹣r﹣rt2②．由①可得（x0﹣r﹣4）t2﹣x0﹣r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，则有，可解得．所以存在与直线PQ相切的定圆M，方程为：（x﹣2）2+y2=4．点评： 本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用．解题时需要掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线方程的求法．20.已知定义在区间[]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sinx.(1)作出y＝f(x)的图象；(2)求y＝f(x)的解析式；(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）f(x)＝（3）见解析【分析】（1）先根据当时，f（x）＝﹣sinx画出在[，]上的图象；再根据图象关于直线对称把另一部分添上即可；（2）先根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]，再结合当时，f（x）＝﹣sinx即可求出y＝f（x）的解析式；（3）结合图象可得：关于x的方程f（x）＝a有解可以分为四个根，三个根，两个根三种情况，再分别对每种情况求出所有的解的和Ma即可．【详解】(1)y＝f(x)的图象如图所示.(2)任取x∈，则－x∈，因函数y＝f(x)图象关于直线x＝对称，则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sinx，则f(x)＝f＝－sin＝－cosx，即f(x)＝(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则Ma＝π；当a＝－时，f(x)＝a的三根满足x1＜x2＝＜x3，由对称性得x3＋x1＝，则Ma＝；当a∈时，f(x)＝a两根为x1，x2，由对称性得Ma＝.综上，当a∈时，Ma＝π；当a＝－时，Ma＝；当a∈∪{－1}时，Ma＝.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及分类讨论思想的运用．解决第二问的关键在于根据x∈[﹣π，