高考数学一轮复习练案（46文）第七章立体几何高考大题规范解答系列（四）-立体几何（文）练习（含解析）新人教版

高考大题规范解答系列(四)——立体几何(文)1．(2016·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.[解析](1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．因为三棱柱ABC－A1B1C1所以C1C⊥平面又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.2.(2021·河南开封模拟)如图，直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，E，F分别为棱A1B1，CD的中点，AB⊥EF(1)求证：AB⊥AD；(2)若AD＝AA1＝2，求几何体AA1DFBE的体积．[解析](1)证明：直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所以A1E∥DF，又E，F分别为棱A1B1，CD的中点，所以A1E＝DF，所以A1EFD是平行四边形，所以EF∥A1D.因为AB⊥EF，所以AB⊥A1D，又AB⊥AA1，A1D∩AA1＝A1，所以AB⊥平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A所以AB⊥AD.(2)由已知AA1＝AD＝AB＝2，ABCD－A1B1C1D1取AB的中点记为O，连接EO，FO，AB⊥平面EOF，易知EOF－A1AD为直三棱柱，B－EOF为三棱锥，所以VEOF－A1AD＝eq\f(1,2)×2×2×1＝2，VB－EOF＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×1＝eq\f(2,3)，几何体AA1DFBE的体积V＝VEOF－A1AD＋VB－EOF＝2＋eq\f(2,3)＝2eq\f(2,3).3．(2021·四川乐山调研)如图，边长为4的正方体ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′.(1)求证：A′D⊥EF；(2)求三棱锥A′－EBF的体积．[解析](1)证明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，且EF⊆平面A′EF，∴A′D⊥EF.(2)解法一：设点A′到面EFD的距离为h，∵VA′－EFD＝VD－A′EF，∴eq\f(1,3)·h·S△EFD＝eq\f(1,3)·A′D·S△A′EF，即h＝eq\f(A′D·S△A′EF,S△EFD)＝eq\f(4×\f(1,2)×2\r(2)×\r(2),\f(1,2)×2\r(2)×3\r(2))＝eq\f(4,3)，∴VA′－EFB＝eq\f(1,3)·h·S△EBF＝eq\f(1,3)×eq\f(4,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,9).解法二：eq\f(VA′EBF,VA′－EFD)＝eq\f(S△BEF,S△EFD)＝eq\f(1,3)，∴VA′－EBF＝eq\f(1,3)VA′－EFD＝eq\f(1,3)VD－A′EF＝eq\f(8,9).4．(2020·河北武邑)如图，在四棱锥V－ABCD中，底面是边长为2的正方形，其余四个侧面都是侧棱长为eq\r(5)的等腰三角形，E为AB的中点．(1)在侧棱VC上找一点F，使BF∥平面VDE，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，求三棱锥E－BDF的体积．[解析](1)F为VC的中点．取CD的中点H，连接BH，HF.∵四边形ABCD为正方形，E为AB的中点，∴BE綊DH.∴四边形BEDH为平行四边形，∴BH∥DE.又∵F为VC的中点，H为CD的中点，∴FH∥VD，DE∩VD＝D，BH∩FH＝H，∴平面BHF∥平面VDE.又BF⊂平面BHF，∴BF∥平面VDE.(2)∵F为VC的中点，S△BDE＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴VE－BDF＝VF－BDE＝eq\f(1,8)VV－ABCD.由条件可知V－ABCD为正四棱锥．∴V在平面ABCD内的射影为BD的中点O.∵VB＝eq\r(5)，BO＝eq\r(2)，∴VO＝eq\r(3).∴VV－ABCD＝eq\f(1,3)×22×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3)，∴VE－BDF＝eq\f(\r(3),6).5．(2021·百师联盟联考)四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△ABC是边长为1的等边三角形，DC⊥BC，且DC长为eq\r(3)，设DC中点为M，B关于M的对称点为E，且F，G分别为CE，AD的中点．(1)证明：平面FGM⊥平面BCD；(2)求四面体BGMF的体积．[解析](1)证明：因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥AC，CD⊥BC，又G，M分别为AD，CD的中点，所以GM∥AC，所以GM⊥CD，同理可得MF⊥CD，因为MF∩GM＝M，所以CD⊥平面GMF，因为CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面FGM.(2)由(1)可知，MF∥BC，因为BC⊄平面GMF，MF⊂平面GMF，所以BC∥平面GMF，故B到平面GMF的距离，即为C到平面GMF的距离，由(1)可知CM＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)，即为C到平面GMF的距离，取BD的中点N，则F，M，N三点共线，连接GN，MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，GN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)，GM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，所以S△GMN＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(\r(3),16)，因为M为FN中点，所以S△GMF＝S△GMN＝eq\f(\r(3),16)，故VB－GMF＝eq\f(1,3)·S△GMF·CM＝eq\f(1,32).6．(2021·安徽黄山质检)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A(1)求证：A1C∥平面AB1D(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．[解析](1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B∵D是BC的中点，∴DE∥A1C又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D∴A1C∥平面AB1D(2)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，又∵B1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，且AD＝2eq\r(3)，B1D＝2eq\r(5).同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1且DG＝eq\r(3).设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·AD·DB1·h＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·AA1·A1B1·DG，即2eq\r(3)×2eq\r(5)·h＝4×4×eq\r(3)，∴h＝eq\f(4\r(5),5).即点A1到平面AB1D的距离为eq\f(4\r(5),5).(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解．)7．(2020·河北省级示范性高中联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D为BC边上一点，BD＝eq\r(3)，AA1＝AB＝2AD＝2.(1)证明：平面ADB1⊥平面BB1C(2)若BD＝CD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥A－A1B1D[解析](1)证明：因为AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.由BD＝eq\r(3)，AB＝2，AD＝1，则AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BB1C因为AD⊂平面ADB1，所以平面ADB1⊥平面BB1C(2)A1C与平面ADB1证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1E∥AD.同理可证CE∥B1D.因为A1E∩CE＝E，所以平面ADB1∥平面A1CE，又A1C⊂平面A1CE所以A1C∥平面ADB1因为AA1∥BB1，所以VB1－AA1D＝VB－AA1D，又BD＝eq\r(3)，且易证BD⊥平面AA1D，所以VA－A1B1D＝VB1－AA1D＝VB－AA1D＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×1＝eq\f(\r(3),3).8.(2021·河南周口、商丘联考)如图所示，四面体ABCD的顶点都在圆柱的上、下底面圆周上，且AB是下底面圆的直径，BC是圆柱的母线．(1)求证：AD⊥CD；(2)若AB＝BC，异面直线AB与CD所成的角为30°，且圆柱的侧面积为4π，求四面体ABCD的体积．[解析]如图，过点D作圆柱的母线DE，连接AE，BE.因为母线DE与底面垂直，所以DE⊥BE，因为AB是底面圆的直径，所以AE⊥BE，又AE∩DE＝E，所以BE⊥平面AED，由DE∥BC且DE＝BC，可知CD∥BE，所以CD⊥平面AED，又AD⊂平面AED，所以AD⊥CD.(2)圆柱侧面积为π·AB·BC＝4π，所以AB＝BC＝2.因为异面直线AB和CD所成的角为30°，所以∠ABE＝30°，所以AE＝1，BE＝e