广东省深圳市南山实验教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(含解析)

广东省深圳市南山实验教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．2．如图，要用“HL”证明Rt≌Rt，则需要添加的一个条件是（

）A． B． C． D．3．如图，在平行四边形中，，于点，若，则（

）A． B． C． D．4．下列各式变形中，是因式分解的是（）A． B．C． D．5．如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（

）A． B． C． D．6．如图，沿着点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．7．下列分式变形从左到右一定成立的是（

）A． B． C． D．8．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．9．如图：．按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点F．连结；②以点F为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点G；③连结、．作射线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（

）A． B．垂直平分C． D．10．如图，平行四边形ABCD中，于点E，CE的垂真平分线MV分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：（1）（2）（3）（4）·其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）11．要使分式有意义，则的取值范围是．12．因式分解：．13．如图，在中，，平分，则的面积是．

14．若关于x的方程有增根，则m的值是．15．如图，在中，的角平分线交于D，，过点C作交的延长线于E，则的长为．三、解答题（共7题，共55分）16．计算：(1)解不等式组：；(2)解不等式组：；(3)因式分解：；(4)因式分解：．17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．(1)将向左平移5个单位得到，则的坐标为（______，______）；(2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出的坐标为（______，______）；(3)若点为轴上一动点，求的最小值．18．如图，在中，，过的延长线上一点D，作，垂足为E，交边于点F．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，F为的中点，求EF的长．19．某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用12米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少1个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用20%的材料．(1)求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料?(2)如果制作甲、乙两种边框的材料共640米，要求制作乙种边框的数量等于甲种边框数量的2倍，求应安排多少米材料制作甲种边框?

(不计材料损耗)20．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求平行四边形的面积．21．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由．22．如图1，在中，，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点．

(1)图1中，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____．(2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由．(3)把绕点A逆时针方向旋转的过程中，如果（D在内部，如图3），，求证：．

参考答案与解析

1．B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选：B．2．C【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．利用HL定理进行分析判断．【详解】解：在Rt≌Rt中，，A．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；B．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；C．添加，可以用“HL”证明Rt≌Rt，故此选项符合题意；

D．添加，无法证明Rt≌Rt，故此选项不符合题意；故选：C．3．A【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．证明，，由，可得，结合，可得．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故选A4．A【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解，本题考查因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义．【详解】解：、是分解因式，符合题意，、是整式的乘法运算，不符合题意，、是整式的乘法运算，不符合题意，、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意，故选：．5．D【分析】根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出a的范围即可．【详解】解：∵不等式的解集为，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．6．C【分析】先根据平移的性质可得，，再根据线段和差可得，然后根据阴影部分的面积为即可得．【详解】由平移的性质得：，，∵，∴，则阴影部分的面积为，故选：．【点睛】此题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．7．C【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解答即可．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、当时才成立，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质．8．A【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【详解】解：由图象可得：当时，，∴不等式的解集为，故选：A．9．D【分析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG=∠FOC=30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC=2CM，加上CF>CM，FC=FG，则可对D选项进行判断.【详解】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，则OF垂直平分CG，所以B选项的结论正确；∵C点与G点关于OF对称∴∠FOG=∠FOC=30°，∴∠AOG=60°，所以A选项的结论正确;∴△OCG为等边三角形，OG=CG，所以C选项的结论正确;在Rt△OCM中，∵∠COM=30°∴OC=2CM，∵CF>CM，FC=FG，∴OC≠2FG，所以D选项的结论错误故选：D.【点睛】本题考查含30度的直角三角形、线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形的三边关系，等边三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点10．C【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME=MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD=2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确；④S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON＜S菱形CDMN，④不一定成立；【详解】解：延长EM交CD的延长线于G，如图，∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD∴∠AEM=∠G∵CE⊥AB∴CE⊥CD∵MN垂直平分CE，∴ME=MC∴∠MEC=∠MCE∵∠MEC+∠G=90°，∠MCE+∠DCM=90°∴∠DCM=∠G∴∠AEM=∠DCM故①正确；∵∠DCM=∠G∴MC=MG∴ME=MG∵∠AME=∠DMG∴△AME≌△DMG（ASA）∴AM=DM故②正确；∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC∵CE⊥AB，MN⊥CE∴AB∥MN∥CD∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形∴MN=AB∵AM=MD=AD，AD=2AB∴MD=CD=MN=NC∴四边形CDMN是菱形∴∠BCD=2∠DCM，故③正确；设菱形ABNM的高为h，则S△CDM=S菱形CDMN，S四边形BEON=（BE+ON）×h=ON×h∵OM=（AE+CD）∴CD＜OM＜AB∴ON＜CD∴S四边形BEON＜CD×h=S菱形CDMN，故④不一定成立；故选C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．11．【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义：分母不等于0，即可作答．【详解】解：∵分式有意义，∴，∴，故答案为：．12．【分析】先提出公因式，之后利用完全平方公式即可分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．13．2【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解．【详解】解：作，如图所示：

∵平分，∴∵，∴的面积，故答案为：14．-1【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于m的方程，解方程即可得出结果．【详解】解：去分母得：1−（x＋m）＝2（x−2），去括号得：1−x−m＝2x−4，移项，合并同类项得：−3x＝m−5，∴．∵关于x的方程有增根，∴x=2∴，∴m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程的增根，理解分式方程增根的意义解答是解题的关键．15．【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件的确定方法是解题的关键：延长交的延长线于F，证明，推出，再证明，得到，由此得到．【详解】解：延长交的延长线于F，如下图所示：∵平分交的延长线于E，∴，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案为：．16．(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解．熟练掌握解一元一次不等式组，综合提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．（1）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集；（2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集；（3）综合提公因式法和公式法进行因式分解；（4）综合提公因式法和公式法进行因式分解．【详解】（1）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为：；（2）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为：；（3）解：；（4）解：．17．(1)作图见解析，，3(2)作图见解析，1，(3)【分析】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．（1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标；（2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标；（3）找点A关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值．【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为；故答案为：，3；（2）解：如图，即为所求；的坐标为；故答案为：1，；（3）解：如图，点A与点关于y轴的对称，连接交y轴于点P，∴的最小值为．18．(1)见解析(2)12【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握相关定理进行推论是解题的关键．（1）根据，得，再利用进行角之间的转换，得出即可得出结论；（2）先证，然后根据勾股定理计算的长．【详解】（1）证明：在中，，，，，，，又，，是等腰三角形；（2）F为的中点，，是等腰三角形，，，，，答：的长为12．19．(1)制作甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米(2)应安排米材料制作甲种边框【分析】题目主要考查分式方程及一元一次方程的应用，理解题意，根据题意列出方程是解题关键．（1）设制作一个乙种边框需用材料米，根据题意列出方程求解即可；（2）应安排米材料制作甲种边框，根据题意列出一元一次方程求解即可得出结果；【详解】（1）解：设制作一个乙种边框需用材料米，则制作一个甲种边框需用材料米，由题意得：解得：，经检验是原分式方程的解，当时，，答：制作一个甲种边框需用材料米，制作一个乙种边框需用材料2米；（2）设应安排米材料制作甲种边框，由题意得：解得：，答：应安排米材料制作甲种边框．20．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质可证，可得，根据一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形即可求解；（2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．【详解】（1）证明：平行四边形中，，，，又，，在和中，，，，又，四边形是平行四边形；（2）解：过点作，交的延长线于，在中，，，，，平行四边形的面积．21．(1)(2)7(3)是等腰三角形，理由见解析【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形