辽宁省鞍山市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

鞍山市2023-2024学年度第一学期期末质量检测八年级数学试卷（考试时间90分钟，试卷满分100分）考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求.）1．分式可变形为（

）A． B． C． D．2．下列图形是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．3．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（

）

A．中线 B．垂直平分线 C．高线 D．角平分线4．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（

）A．1 B．2 C．8 D．115．下列计算正确的是（）A． B． C． D．6．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是（

）A． B． C． D．7．如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（

）A． B． C． D．8．下列分解因式正确的是（

）A． B．C． D．9．如图，等腰中，，，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）11．国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000000001米，将7纳米用科学记数法表示为米．12．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．13．如图，点A的坐标，点B的坐标，在y轴上存在一点P，满足的值最小，则点P的坐标是．14．如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为．

15．如图，边长为4的等边三角形中，E是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，，若，则的长度是.三、解答题（本大题共8小题，共65分）16．计算：(1)(2)17．运用乘法公式计算：18．如图，4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，计算阴影部分的面积S（用含a，b的代数式表示）.19．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段，的端点均在格点上.(1)利用尺规作图，作出的平分线（不写画法，保留作图痕迹）；(2)画一个四边形，使其是轴对称图形，且点P在格点上.21．为筹办元旦联欢会，八年一班两次到超市购买同一款饮料，第一次按标价购买，用了元；第二次超市有优惠活动，按标价的6折购买，用了元，若两次一共购买了瓶饮料，这种饮料的标价是多少？22．在分式运算中，有时候逆用运算法则可以使问题得到简化，例如：由，反过来可以得到，从而把一个复杂的分式转化为两个分式的差，使计算更为简便，利用这种转化的思想解决下面问题：(1)计算：(2)一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第n次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？为什么？23．我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如：(1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系．(3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：．

参考答案与解析

1．A【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【详解】解：，故A正确．故选：A．2．D【分析】根据轴对称的定义：在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此判断即可．【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意；B.不是轴对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟记定义是解本题的关键．3．D【分析】根据折叠的性质得到，根据三角形的角平分线的定义判断即可．【详解】解：由折叠的性质可知，，∴l是的角平分线，故选：D．

【点睛】本题考查的是翻转变换，三角形的角平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．C【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此根据选项即可判断．【详解】解：设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，观察只有C选项符合，故选C．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键．5．B【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，进行解答即可.【详解】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；B、（﹣2ab）2＝4a2b2，正确；C、x2+3x2＝4x2，故此选项错误；D、﹣6a6÷2a2＝﹣3a4，故此选项错误；故选B．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题关键.6．C【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案．【详解】解：如图，∵、，∴，∴．故选：C．7．B【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解．【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得．故选：B．8．C【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项正确；D.=（x-2）2，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．9．D【分析】证明，得出，，判定①②正确；证明点A、F在线段的垂直平分线上，得出垂直平分，判定④正确；延长交于点G，根据等腰三角形的性质得出，根据余角性质得出，即可判定③正确．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，故①②正确；∵，∴，∵，∴点A、F在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，故④正确；延长交于点G，如图所示：∵，垂直平分，∴，∵，∴，∴，故③正确；综上分析可知，正确的有4个，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．10．C【分析】根据题意，一组数：、、、、、的和为250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，进而根据所给等式的规律，可以发现2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.【详解】250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋2a＋22a＋…＋250a＝a＋(2＋22＋…＋250)a，∵，，，…，∴2＋22＋…＋250＝251－2，∴250＋251＋252＋…＋299＋2100＝a＋(2＋22＋…＋250)a＝a＋(251－2)a＝a＋(2a－2)a＝2a2－a

，故选C.【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，仔细观察，发现其中哪些发生了变化，哪些没有发生变化，是按什么规律变化的是解题的关键.11．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】7纳米＝0.000000007米＝米．故答案为．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．AC=BC【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【详解】解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称性质、最短距离，画出图形，确定点P的位置是解题的关键．作点B关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时的值最小，设直线的解析式为：，再求出点A关于y轴对称的点的坐标，用待定系数法求出解析式，求出当时y的值即可得出点P的坐标．【详解】解：作点A关于轴的对称点，连接交轴于点P，此时的值最小，设直线的解析式为：，，，将代入，，解得：，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为．故答案为：．14．220【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值．【详解】解：．故答案为：220．15．1【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是证明，得出．【详解】解：∵和为等边三角形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵是等边的高，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案为：1．16．(1)(2)【分析】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．（1）根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可；（2）根据分式分式加减运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：（2）解：．17．【分析】先利用平方差公式，再根据完全平方公式计算，即可求解．【详解】解：原式【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．18．【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，整式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握割补法．【详解】解：．19．证明见解析．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【详解】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS证明△ACE≌△BDF．20．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，作轴对称图形，解题的关键是熟练掌握尺规作一个角平分线的方法．（1）根据尺规作一个角平分线的方法，进行作图即可；（2）作菱形即可．【详解】（1）解：如图，为所求作的的角平分线；（2）解：如图，四边形即为所求作的轴对称图形．∵，，，∴，∴四边形菱形，∴四边形是轴对称图形．21．元【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列分式方程是解题的关键．设饮料的标价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可．【详解】解：设饮料的标价是元，依题意得，，解得，，经检验，是原分式方程的解，且符合题意；∴饮料的标价是元．22．(1)(2)这水不能倒完；理由见解析【分析】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系．（1）将变形为求解即可；（2）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可．【详解】（1）解：；（2）解：这水不能倒完；理由如下：由题意可得：第次倒出水量：，∴前次总共倒出水量为：，∵，∴这水不能倒完．23．(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）如图①，作于，于，则，证明，进而可得；（2）如图②，作于，的延长线于，证明，则，由，，可知平分，进而可得；（3）如图③，延