2023-2024学年人教A版必修第二册 8-3-1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案

8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积新课程标准解读核心素养1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式直观想象2.能用公式解决简单的实际问题数学运算金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.问题如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？

知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？提示：都相等.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则V＝Sh；棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh棱台：棱台的上、下底面面积分别为S'，S，高为h，则V＝13（S'＋S'S＋S等底等高的棱柱和棱锥的体积有什么关系？提示：V棱柱＝3V棱锥.1.若长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，则长方体的体积为（）A.27cm3B.60cm3C.64cm3 D.125cm3解析：BV长方体＝3×4×5＝60（cm3）.2.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（）A.2 B.4C.6 D.12解析：B正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为13×4×3＝3.棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为.

解析：V棱台＝13×（2＋4＋2×4）×3＝13×3×（6＋22）＝6答案：6＋224.正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为，表面积为.

解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；又S底面积＝12×1×32＝34，所以它的表面积为6答案：66＋3题型一棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积【例1】已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.解如图，设PO＝3，PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·12·BC·PE＝2BC2∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝12BC＝12∴9＋（PE2）2＝PE2，∴PE＝23∴S底＝BC2＝PE2＝（23）2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.通性通法1.求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别.2.棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为32cm，求此正三棱台的表面积解：如图所示，画出正三棱台ABC-A1B1C1，其中O1，O分别为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则OO1为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，所以DD1＝OO12＋（OD－O1D1）2＝（32）2＋（3－32）2＝3，所以此三棱台的表面积S表＝S侧＋S底＝3×1题型二棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】正四棱台的底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积.解正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1O，O1E1，OE，则四边形EOO1E1为直角梯形.∵S侧＝4×12×（10＋20）×EE1＝780（cm2），∴EE1＝在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝12A1B1＝5cm，OE＝12AB＝∴O1O＝132-(10－∴该正四棱台的体积为V＝13×（102＋202＋10×20）×12＝2800（cm3）通性通法求棱柱、棱锥、棱台的体积的方法（1）直接法：求几何体的体积首先要明确几何体的形状，确定要使用的公式，然后求得几何体的底面积与高，最后直接代入公式即可；（2）间接法：间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与体积易求的几何体结合起来，将待求几何体的体积转化为两个或多个易求几何体的体积的和或差.已知正六棱锥的底面面积为63，侧棱长为5，求这个棱锥的体积.解：如图所示的正六棱锥S-ABCDEF中，O是底面中心，SC＝5，SO为正六棱锥的高，设底面边长为a，则正六边形的面积为6×34a2＝63，解得a＝2（负值舍去），∴OC＝2，在Rt△SOC中，SO＝SC2－OC2＝1，∴这个棱锥的体积V＝13×题型三简单组合体的表面积和体积【例3】一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要约多少立方米的混凝土？（钢筋体积忽略不计，结果精确到0.01立方米）.解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，设该预制件的体积为V，则V＝0.6×1.1×24.8－12×（0.5＋0.3）×0.3×24.8≈13.39故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.通性通法求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式.对于与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形，再利用相应多边形的面积公式求得面积.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.解：由题意可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面积为12×2a×2a×sin60°＝32a故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝V正方体ABCD-A1B1C1D1－V三棱锥A1-ABD＝a1.若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A.103B.73C.14解析：CV＝13（S＋S'＋SS'）h＝13×（1＋4＋1×4）×22.在我国瓷器的历史上，六棱柱形的瓷器非常常见.已知有一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm，底面边长为7cm（数据为笔筒的外观数据），现想用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要的绒布的面积为（）A.120cm2 B.162.7cm2C.785.4cm2 D.1570.8cm2解析：C由题意得，正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4（cm2），所以至少需要的绒布的面积为785.4cm2，故选C.3.过长方体一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是214，则这个长方体的体积是（）A.6B.12C.24 D.48解析：D设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为214，则x2＋（2x）2＋（3x）2＝（214）2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体＝2×4×6＝48.4.由华裔建筑师贝聿铭设计的卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底