2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-1　直线与直线垂直 学案

8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直新课程标准解读核心素养1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系逻辑推理2.会求两异面直线所成的角直观想象如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.问题（1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？

知识点一异面直线所成的角1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.2.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.提醒（1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.知识点二直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.提醒两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（）A.有无数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条解析：A过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为.

解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.答案：60°题型一求异面直线所成的角【例1】在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝12AB，GF∥CD且GF＝12由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.通性通法求两异面直线所成角的一般步骤（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；（2）计算角：求角度，常利用三角形；（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.提醒找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：中点、端点定顶点，平移常用中位线；平行四边形中见，指出成角很关键；求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；平行直线若在外，补上原体在外边.1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（）A.1112 B.C.34 D.解析：B如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝26，EF＝6，BF＝（6）2＋12＝7，所以cos∠BEF＝2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：（1）BE与CG所成的角；（2）FO与BD所成的角.解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.（2）如图，连接FH，易知FB＝HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，∴FO与BD所成的角为30°.题型二证明直线与直线垂直【例2】在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.证明如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.通性通法证明空间中两条直线垂直的方法（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，所以BC12＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h所以A1B2＝A1C12＋B则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，所以AC⊥BC1.1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（）A.BC1 B.A1DC.AC D.BC解析：C连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝2，则异面直线A1C与B1C1所成的角为（）A.90° B.60°C.45° D.30°解析：B根据题意可得BC∥B1C1，故∠A1CB为异面直线A1C与B1C1所成的角或其补角.连接A1B（图略），在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝2.故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.故选B.3.（多选）四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是（）A.MN与PD是异面直线 B.MN∥平面PBCC.MN∥AC D.MN⊥PB解析：ABD由题意可知四棱锥P-ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正确；因HC∩AC＝C，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确.故选A、B、D.4.如图所示，在正方体A