2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3　第二课时　正弦定理 学案

6.4.3第二课时正弦定理如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.问题你能借助这三个量，求出AB的长度吗？

知识点正弦定理文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号语言asinA＝bsinB＝csinC（△ABC中角A，B，C的对边分别为提醒正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；如图，在Rt△ABC中，asinA，bsinB提示：asinA＝bsinB＝1.在△ABC中，下列等式总能成立的是（）A.acosC＝ccosAB.bsinC＝csinAC.absinC＝bcsinB D.asinC＝csinA解析：D由正弦定理易知，选项D正确.2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sinB＝（）A.33 B.C.22 D.解析：A由asinA＝bsinB，故1532＝10sinB，3.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（）A.43 B.23C.3 D.3解析：B由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得32sin60°＝ACsin45°，所以题型一已知两角及一边解三角形【例1】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.解A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.由asinA＝csinC得，c＝8×2＋6422＝所以A＝45°，c＝4（3＋1）.通性通法已知两角及一边解三角形的一般步骤在△ABC中，B＝2π3，C＝π6，a＝5，则此三角形的最大边长为解析：∵B＝2π3，C＝π6，∴A＝π6，∴B所对的边最大，∵asinA＝bsinB，∴b答案：53题型二已知两边及一边的对角解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，解此三角形.解由正弦定理asinA＝bsinB，知sinA＝∵b＜a，∴A＝60°或120°，当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝bsinCsinB＝当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝bsinCsinB＝故当A＝60°时，C＝75°，c＝6＋当A＝120°时，C＝15°，c＝6－（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此三角形.解：由正弦定理asinA＝bsinB，知sinB＝∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，∴c＝bsinCsinB＝通性通法已知两边及一边的对角解三角形的步骤1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sinA＝23，则B＝（A.π6 B.C.π6或5π6 D.解析：A由题意可得sinB＝bsinAa＝3×234＝12，则B＝π6或B＝5π6.因为b＜a，所以2.在△ABC中，若a＝6，b＝63，A＝30°，则B＝（）A.60° B.60°或120°C.60°或150° D.120°解析：Ba＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝63×126＝32，∵B∈（30°，180题型三判断三角形的形状【例3】（1）若acosB＝bcosA，则△ABC是三角形；

（2）若acosA＝bcosB，则△ABC是三角形.

解析（1）由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.又acosB＝bcosA，所以ab＝cosAcosB，所以sinAsinB＝cosAcosB，所以sinA·cosB＝sinB·cosA，即sinA·cosB－sinB·cosA＝0，故sin（A－B）＝0.因为A，B是三角形内角（2）由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.又acosA＝bcosB，所以ab＝cosBcosA，所以sinAsinB＝cosBcosA，所以sinA·cosA＝sinB·cosB，所以2sinA·cosA＝2sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝答案（1）等腰（2）等腰或直角通性通法利用正弦定理判断三角形形状的方法（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状.已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若cosAa＝cosBb＝sinCc，则A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的直角三角形解析：C已知cosAa＝cosBb＝sinCc，由正弦定理可得cosA＝sinA，cosB＝sinB，故A＝B＝π4，C＝π21.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinAsinB＝A.53 B.C.37 D.解析：A根据正弦定理，得sinAsinB＝a2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝3，则△ABC外接圆半径等于（）A.2 B.3C.32 解析：D设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理可得2R＝asinA＝3sin60°＝332＝2，所以R＝1，即3.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝（）A.1 B.2C.22 D.23解析：C由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理ACsin30°＝ABsin45°，因此，AC＝4×14.在锐角△ABC中，若a＝2，b＝3，A＝π6，则cosB＝.解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝3×122＝34，又△答案：7三角形解的个数问题1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.怎样判断解的个数呢？具体方法如下：（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sinB＝bsinAa，①sinB＞1，即a＜bsinA，无解；②sinB＝1，即a＝bsinA，一解；③sinB＜1，即bsinA＜a＜b（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：分类A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解【例】不解三角形，判断下列三角形解的个数：（1）a＝5，b＝4，A＝120°；（2）a＝9，b＝10，A＝60°；（3）b＝72，c＝50，C＝135°.解（1）sinB＝basin120°＝45×32＜3（2）sinB＝basin60°＝109×32＝539，而所以当B为锐角时，满足sinB＝539的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180当B为钝角时，满足sinB＝539的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.（3）sinB＝bsinCc＝7250sinC＞sin所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.方法总结1.在△ABC中，0＜sinB≤1，故1sinB≥1.∵asinA＝bsinB，∴a＝bsinAsinB，∴a≥bsinA.这是已知a，b，A2.解三角形时，可以先求出sinB的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数.1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.a＝30，b＝50，A＝36°B.a＝50，b＝30，A＝36°C.a＝30，b＝60，A＝30°D.a＝30，B＝20°，A＝136°解析：AA选项，bsinA＝50sin36°＜a，又a＜b，所以三角形有两个解；B选项，bsinA＝30sin36°＜a，又a＞b，所以三角形有一个解；C选项，bsinA＝60sin30°＝30＝a，所以三角形有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A.2.在△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么此三角形（）A.有一解 B.有两解C.无解 D.解的个数不确定解析：C法一由正弦定理和已知条件，得43sinB＝2sin30°，∴sinB＝3.∵3＞法二∵c＝2，bsinC＝23，∴c＜bsinC，故此三角形无解.法三作∠ACD＝30°，AC＝b＝4