2023-2024学年人教A版必修第二册 6-2-2　向量的减法运算 学案

6.2.2向量的减法运算新课程标准解读核心素养借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义数学抽象、直观想象如图，向量AD是向量AB与向量x的和.问题你能作出向量x吗？

知识点一相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质：（1）零向量的相反向量仍是零向量；（2）对于相反向量有：a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；（3）如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.提醒相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量.知识点二向量的减法运算1.向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）.求两个向量差的运算叫做向量的减法.提醒减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.2.向量减法的几何意义已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.提醒（1）作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”；（2）在向量减法的定义中，如果从a的终点指向b的终点作向量，所得向量是b－a.1.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是（）A.AB与DCB.AO与OCC.AO与CO D.CA与OC解析：C向量AO与CO的模相等，方向相反，互为相反向量.2.在△ABC中，若BA＝a，BC＝b，则CA＝（）A.a B.a＋bC.b－a D.a－b解析：DCA＝BA－BC＝a－b.故选D.3.（多选）下列说法正确的是（）A.相反向量就是方向相反的向量B.向量AB与BA是相反向量C.两个向量的差仍是一个向量D.相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量答案：BC4.化简：CE＋AC－DE－AD＝.

解析：CE＋AC－DE－AD＝AC＋CE－（AD＋DE）＝AE－AE＝0.答案：0题型一向量减法的几何意义【例1】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.解法一如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.通性通法求作差向量的方法（1）作两向量的差向量的步骤：（2）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋（－b）即可.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：由向量减法的三角形法则，令a＝OA，b＝OB，则a－b＝OA－OB＝BA，令c＝BC，所以a－b－c＝BA－BC＝CA.如图中CA即为a－b－c.题型二向量加减的混合运算【例2】（1）AC－BD＋CD－AB＝（）A.AB B.ADC.BC D.0（2）（AB＋MB）＋（－OB－MO）＝；

（3）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝.

解析（1）AC－BD＋CD－AB＝AC＋DB＋CD＋BA＝AC＋CD＋DB＋BA＝0，故选D.（2）（AB＋MB）＋（－OB－MO）＝AB＋MB＋BO＋OM＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（3）BA－BC－OA＋OD＋DA＝（BA－BC）－（OA－OD）＋DA＝CA－DA＋DA＝CA.答案（1）D（2）AB（3）CA通性通法1.向量减法运算的常用方法2.向量加、减法化简的两种形式（1）首尾相连且为和；（2）起点相同且为差.提醒做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.1.AB－NC＋NA＋BM＝（）A.0 B.BNC.AC D.CM解析：DAB－NC＋NA＋BM＝NA＋AB＋BM＋CN＝NM＋CN＝CM.故选D.2.化简：（1）AB－AD－DC；（2）（AB－CD）－（AC－BD）.解：（1）法一AB－AD－DC＝DB－DC＝CB.法二AB－AD－DC＝AB－（AD＋DC）＝AB－AC＝CB.法三AB－AD－DC＝AB＋（DA＋CD）＝AB＋（CD＋DA）＝AB＋CA＝CA＋AB＝CB.（2）法一（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝（AB＋BD）＋（DC＋CA）＝AD＋DA＝0.法二（AB－CD）－（AC－BD）＝AB－CD－AC＋BD＝（AB－AC）＋（DC－DB）＝CB＋BC＝0.题型三向量加、减法的综合应用【例3】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.解由平行四边形的性质可知CD＝AE＝c，由向量的减法可知BC＝AC－AB＝b－a，由向量的加法可知BD＝BC＋CD＝b－a＋c.（变条件）若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.通性通法1.解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.2.主要应用向量加、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：（1）AC；（2）AD；（3）AD－AB；（4）AB＋CF；（5）BF－BD.解：（1）AC＝OC－OA＝c－a.（2）AD＝OD－OA＝d－a.（3）AD－AB＝BD＝OD－OB＝d－b.（4）AB＋CF＝OB－OA＋OF－OC＝b－a＋f－c.（5）BF－BD＝OF－OB－（OD－OB）＝f－b－d＋b＝f－d.1.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则BC可以表示为（）A.a＋b B.a－bC.b－a D.－a－b解析：D在平行四边形ABCD中，依题意，OC＝－OA＝－a，而OB＝b，所以BC＝OC－OB＝－a－b.故选D.2.OP－QP＋PS＋SP＝（）A.QP B.OQC.SP D.SQ解析：B原式＝（OP＋PQ）＋（PS＋SP）＝OQ＋0＝OQ.3.（多选）设b是a的相反向量，则下列说法正确的是（）A.a与b的长度必相等 B.a∥bC.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量解析：ABD方向相反、大小相同的两个向量互为相反向量，故A、B、D正确，C错误，∵0与0互为相反向量，但0与0相等.故选A、B、D.4.在△ABC中，若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜，则∠BAC＝