2.1.2 集合间的基本关系-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第2.1章2.1.2集合间的基本关系高中要求1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。2在具体情境中，了解全集与空集的含义。1子集①概念

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).

记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.

当集合A不包含于集合②Venn图

2真子集概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.

记作：A⊂B(或B⊃A)

(有些地方⊂用⫋或⊊表示)读作：A真包含于B(或B真包含A)

类比⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等Eg：3≤3是对的，而3<3是错的，若a<b，则a≤b也成立；对比下，A⊆A是对的，但A⊂A是错的，若A⊂B，则3集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．即A⊆B且B⊆A⇔A=B.4几个结论①空集是任何集合的子集：∅⊆A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合是它本身的子集；

④对于集合A,B,C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；

⑤集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2【题型1】判断集合间的关系【典题1】已知集合M={xZ|−1≤x<3}，N={x|x=|y|,yM}解析∵x∈Z，且−1≤x<3，∴x的可能取值为−1,0,1,2∴M={−1,0,1,2}．又∵y∈M，∴|y|分别是0,1,2．∴N={0,1,2}．∴N⊆【典题2】集合M={x|x=4k+2,k∈Z}，N={x|x=2k,k∈Z}，P={x|x=4k−2,k∈Z}，则M,N,P的关系()A．M=P⊆N B．N=P⊆M C．M=N⊆P D．M=P=N解析方法1把每个集合用列举法表示，M={…,−6,−N={…,−6,−4,−2,0,2,4,6,8,10,…}，故M=P⊆N，故选A.方法2设x1=4k1+2∈M，xx1=4kx3=4k3−2=4x1=4k1x2=2k故M=P⊆N，故选A.方法3集合M与P的元素均是被4除余2，则M=P；集合N的元素是偶数，而集合M元素是2×奇数变式练习1.指出下列各对集合之间的关系：(1)A={x|x2−1=0}(2)A={x|x是菱形}，B={x|x是平行四边形}；(3)A={x|x2−3x−4<0}(4)M={x|x=3n−1,n∈Z}，N={x|x=3n+2,n∈解析(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是抛物线y=x故A与B之间无包含关系．(2)菱形是特殊的平行四边形，故A⫋B．3集合A=xx用数轴表示集合A,B如图所示，由图可知A⫋B．(4)由列举法知M={…,−4,−1,2,5,8,…}，N={…,−4,−1,2,5,8,…}，故N=M．2.若集合A={x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1} C．{−1,0,1}D．R答案A解析因为集合集合A={x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集，当集合B={1,2}时，满足题意，当集合B={x|x≤1}时，−1∉当集合B={−1,0,1}时，−1∉当集合B=R时，−1∉故选A．3.已知集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=kA．x0∈NB．x0∉N答案A解析M={x|x=n2+N={x|x=k4+∴集合M、N的关系为M⊊N故选：A．4.已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B⊆A，则实数a的取值范围()A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1] D．[0,1)答案C解析已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B⊆A，则A集合包含B集合的所以元素，解B集合时，当a<0时，不满足题设条件，当a=0时，x无实数解，B集合为空集，满足条件，当a>0时，x>1a，则1a≥综上则实数a的取值范围为：[0,1],故选：C．5.已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有答案3解析∵集合A⊊{0,1,2}，∴A=∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，0,2，∵A中至少含有一个奇数，∴A={1}，{0,1}，{1,2}．∴这样的集合A有3个．6.已知集合A={x|x2−3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+答案a∈(−解析由题得A={1,2},因为B⊆A，则①B=∅，所以△=4a+12−4(②B={1}，则△=8a+24=01+2(a+1)+③B={2}，则△=8a+24=04+4(a+1)+a2④B={1,2}，则△=8a+24>01+2(a+1)+综上a∈(−∞【题型2】求已知集合的子集或真子集【典题1】集合M={x|x∈Z且121+xA．30个 B．32个 C．62个 D．64个解析由题意集合M={x|x∈Z且121+x由对于含有n个元素的集合，利用公式2n−2计算出∴M的非空真子集的个数是26−2=62，故选：变式练习1.若{1,2}⊊A⊆{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A．6 B．8 C．7 D．9答案C解析∵{1,2}⊊∴集合A中除了含有1,2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．故选：C．2.已知集合B=(x,y)∣4x+3y−12<0,x∈N∗,y∈N答案8解析∵集合B=(x,y)∣4x+3y−12<0,x∈∴B={(1,1),(1,2),(2,1)}，∴B中含有3个元素，集合B的子集个数有233.已知M={x∈N|66−x∈N}A．8 B．16 C．32 D．64答案B解析由于x∈N，则x=0,1,2,3,…．当x=0时，66−0=1∈N，当x=1当x=2时，66−2=3当x=4时，66−4=62当x=7时，故集合集合A={0,3,4,5}，所以集合A子集个数为24故选：B．4.若集合A=x∣(k+2)x2+2kx+1=0有且仅有A．−2B．−2或−1C．2或−1D．±2或−1答案D解析要使得一个集合有且仅有2个子集，则须使集合有且仅有1个元素．因此方程(k+2)x2+2kx+1=0要么有且仅有两个相等的实根．由Δ=(2k)2−4(k+2)=0得所以选D．1.设A,B是两个集合，有下列四个结论：①若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；③若A⊈B，则B⊈A；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案D解析对于①，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3}.故错误；②若A⊈B，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3,5,6}.故错误；③若B⊊A，则A⊈B，但B⊈A不成立，故错误；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B，故正确．故正确结论的个数为1个，故选：D2.已知全集U=R，则正确表示集合M={−1,0,1}和N=x∣x2答案B解析由N=x∣x23.以下六个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案B解析对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊂{0,1,2}；∴①不对．对于②：空集是任何集合的子集，应该是∅⊆{1,2}；∴②对．对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊂{0}；∴③不对．对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}；∴④对．对于⑤：∅是一个空集合，表示没有任何元素，应该是0∉∅；∴正确的是：②④．故选：B．4.如果S={x|x=2n+1,n∈Z}，T={x|x=4k±1,k∈Z}，那么()A．S真包含于TB．T真包含于SC．S=T D．S与T没有交集答案C解析当n为偶数，设n=2k，k∈Z，则x=2n+1=4k+1，当n为奇数，设n=2k−1，k∈Z，则x=2n+1=4k−2+1=4k−1，∴集合S和T的元素相同，∴S=T．故选：C5.集合{a,b,c,d}的非空真子集的个数()A．16个 B．15个 C．14个 D．13个答案C解析∵集合{a,b,c,d}有4个元素，∴则集合{a,b,c,d}有24故集合{a,b,c,d}的非空真子集的个数为14；故选C．6.定义集合A∗B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A∗B答案4解析由题意：A∗B={1,7}，故其子集为∅，{1}，{7}，{1,7}，个数为4.7.已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1−m}，若MN，则实数m=答案0解析由题意知M⊆N，又集合M={0,1}，因此1N，即1−m=1．故m=08.含有三个实数的集合可表示为a,ba,1QUOTE，也可表示为a2,a+b,0，则a2013+b2014QUOTE的值为答案−1解析若a=a2，a=0或1，代回集合，不满足集合元素的互异性；则a=a+b，得从而易得a=−1；故a20139.已知A={x|x<−1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若B⫋A，则实数a的取值范围是_____．答案{a|a>5或a≤−5}解析作出数轴可得，要使B⫋A，则必须a+4≤−1或a>5，解之得{a|a>5或a≤−5}．10.集合A={−1,2}，B={x|ax−2=0}，若B⊆A，则由实数答案{解析∵集合A={−1,2}，B={x|ax∴B=∅或B={−1}∴a=0,1,−∴由实数a组成的集合为：{−2,1,0}．11.已知集合A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(1)若4∈A,3∉A，求实数a的取值范围；(2)