硕士研究生招生考试试题数学二解析2020

2020年数学2020年数学(二)真题解析一、选择题⑴【答案】(D).【当工f+时(z—1)dck=£j；Jo Jo 3ln(1+ )ck2dt= 兀；Jo Jo 5fnC1n2dt~ 厂d/=x3；Jo Jo 3应选(D).方法点评：确定变积分限型无穷小的阶数时，通常有如下方法：(1)洛必达法则，如：【例】 设yCr连续且/(0)=0,y'(0)= -Odrkn(.x- 0)求％J0—t u r【解】 tf(工—r)dr== tu)/(zz)—dw)=x f(u)du— Jo JJC Jo'tf{x—t)df x /(u)d\—工f(u)dw /(u0 Jo 1. 0由lim-------------------=lim— ---------------------=lim x- X" Xn----------------O ⑺二理!得77—2=19即 3工f。n—1)"tfCx—t)dt心)一/(0)由lim =—lim工-*0 x 6jt-*o Xp- 2 2otf{x—t)dtx3(x一>)9故k=— =3.3 3(2)双等价无穷小，即积分限及表达式用其等价无穷小代替，如：fT—1ojnf2【例2j 设a= -------dtal>(无f0)9求.Jo t【】a=fxsin2 f^22 2 ]岀上--df〜 dz== tdt=:4得Jo t Jo t Jo 21a 2,b 4⑵【答案】(C).【解】 显然x=—1 =0,x—1,j:=2为/"(z)的间断点.由lim/(x)oo得z=—1为第二类间断点；X-* 1•179•罗呼=-止得-=°为第-类间断点中的可去间断点;0)00得工=1为第二类间断点；由lim/(^)=oo2为第二类间断点，应选(C).2(3)【答案】 (A).1arcsin\/~x 1 2【解】 _________dr=2 arcsnJ~xd(arn )=arci2 牛,应选(A.J°J工(]一工) '0 0⑷【答案】(A).【解】由ln(1—j:)=—x 丄討"7+o(才-2)得n2/(j;)=jr2ln(1一工)—j3 — n+oc),n2于是广［型，故(n(0) 7I—应选(A).n! n—/ nZ(5)【答案】(E)【】 由lim 门°2-lm-=得字 =1;O X xo x X(0,0)当 H0时，字=冗(工，夕)=_y;ox当夕=时,J=；OX当工=，J=0,ox所以f不存在；djc dy显然 lim f(x,y)=0,H,y(0,0)3个是正确的，应选(E).(6)【答案】(B)【解】 (p(x)=_rx),由(工)=eJ\_f':)—/'(工)]>00(工)=e (单调递增,由e/(-1)</(0及)>0得严咯>e(E)./(―丄)方法点评时，辅助函数构造规则为：(1)若条件为fXx)>kf(x),f\x)可令(p(x)—kfCx；【】，1证明1/(^)<1.【证明】令(pCx)eJ/(a:),因为fix)有界，所以exf(x)=[ [_exfCx)ydj7,•180•又又I )ydj?= *[yQ)+y'Q)z,J—oo J—oo从而有=["x[/(^(^)取绝对值得J—oor|/(a)|^[ //工)+尸(|zWJ e'：=r,|/(^)|<1.(2)xf'(x)kf(x,xf(.x)Vkf(x^xf\x)~kf(x时，可令爭(工)【答案】(C).Q11 a12 Q13 Q14a2i a22 a23 a24【解】 令A=a3i a32 a33 a34Q41 Q42 a43 Q44a11 53 a14严21 a23 °24CL21因为人0所ai a33 a34可从而 的秩为3即a1,3.线a31 a33 a34a41 a43 a44041 a43 a44.【答案D.【解】 由Aa1 ct]9Ad>2 a29Aa3— ci34^A(a1■Ia2) a】Ia29A( a3)—— ( a3)9Aa2—a291 0 0\ /I 0 0\令p=(y1+a2,—a3a2)则AP=P]0 1 0即pTAP=0 1 0,应选0 11 'o 0 U二、填空题（【】—.]【解】器王1=丄,dx t t7F+Tv?+1故空 =—麗.dr2 1•181•(]。(]。)【答案】空二12>2 -«/»1【解】 3+1r= 丿3+1djc0飞 C3+1d(j3+1)2 1i 2(2^2-1)=彳(川+1)29(11)【答案】 (7t—l)dj?—djydz_ y+Ccos(as:+3/) 3z jc+cos( +j)【解】 3jc 攵+jy)丁' 3y 14-\_jcy+sin(jr+夕)丁则等一1故ck(o,) re一1)dj?—d.ox兀) dy12)【答】 ap.【解】 取斜边中点为原点口轴铅直向下，建立坐标系，取R9工+dr]U[0y]9dF=pgx•2(a—z)dr=2pgx一?2)z 9则 F= dF=2pgJ(ax—x2)djra3 a32pg•(13)L答案】1.【解，+2，+y='+入+1=0=2=-1,则，+2y+y=0的通解为3，=(+2(1,2，由y(0)=0,3'(0)=1得Ci=02=1于是y=ze-+3 故 夕z)d_z= xe djr=2)=1.(14)【答案】 a4.a 0 1 1 1 0 _1 a 1 0 1 a0 a 1 —1 —1 a 1 0 0 a 0 a【解】 _1 1 a 0 0 1 a _1 0 \ a 11 1 0 a a 1 0 1 () 1 a 1一aa 0 a 1 0 1— 1 a 1 =一a 1 a 11 a 1—a2 a 1—a21 0 1一a0 a -2 =—心+『0 a 2-2三、解答题(15)【解】 limf)lim X lim 1 丄x +81+H 工―+8E) e•182•XlimXlim ------/(j?) e+丄1 X \ Xe-*4-oo 1 —lim 1_2X1[. t—ln(1+) 1一li；-----ef-*o t故斜渐近线方程为3^=-+二e ze(16)【解】 y(o)=o,尸(°)=]•Zfo x当x—0时,g0=0；「")d/当工工0g(z)= ,x0, JC=09g(zo •zH0.Xxf{x)一 f(t)dt当工工g'O) Jo2XfCt)dt当=由1肿承°) limo 得g'(0)*0 X f0 X2xf{x)一J02 乂M0,即g‘(龙)=5 X1 H=0.fCt)dt由lig/()lim八) limo =1 lim¥=+0得•rfO JC 0 X2 2工一0g'(z)在工=0处连续.3f Q2 1亍一y 0, z=9OJC 乂=09 o(17)【解】由 得=242 2=0 )=， 1” 心=-lC虹6_,B 巧当(h夕)=(0,0时A=，B=一1,C=09AC-2(0,0f9y的极值点•183当(当(工,y)=(*A=1,B=—1,C=4,因为2=3>A>0）极小值为f(丄丄)=丄+丄一色=—丄八62丿 63 3 3 3-(18)[解】 由2_f(z)+"2f(丄)="：+2工得丿1+工21十2工X丿1H2X -(J7〉0).解得（）=+227T•7T19【】令x=rcos9(0W0W■c0W厂冬2sec0)9则y=rs•ntn 'E"cizdy「刖2ec0rsecddr=4c9d92ec0rdr=3 40d09—丿J x 0 sec0 J0 sec0 Z-0D由/=4sec30d0=4sec0d(tan0) secOtan'edO0 0=42—4(se^一l)scd=麗一/+In|c6+tan9To~—/+ln(l+得Psec30d0=vEV2+ln(l+V2)],j十了dzdj=［施+l（1+施.D2【（令甲（=（工一yz,因为卩1）=0卩）=0w61,使得卩=0,2而（pfj）=fx）（z—）f〈）（pf）—fx） a:—2J,$2-e.令gC）=Inj? （=丄01VC2）9x由柯西中定理存在71,2使得晋¥= =气力=厂。72/(2)=”e"In2.•184•2121【】 设的坐标为工夕），曲线上处的切线为y一y=x—x,令Y=0z5则点一3,.由题意得[y（ck：+•j夕=3：2,dt7,两边对x求导得32—2,y，2=0,Jo 4/因为夕>0所以3yff一/2=0,令『=，则丿〃=/学代入得3yp学2 =0,dy dy。9所以3J/ 2p=09即—-—p=09dy dy 3y解得p=】eJL=Cj，_2_ J_从而夕djy=id积分得3y3=xx+2,所以2=03/=Cx\C>.a a\ i\(22[解I令A=\a 1 a),X=|工，则/(工1,工2 3)=X|Xa J 'J1 1 0令B=1 1 0 夕2 ,则g（夕2夕3）=Y'BY.0 4 y3因为A与B合同，所以r(A)-r(B),由)r(A)=2<3,\A|0,1 a a由A=a 1 a=(2a+l)(―l2=0得a—或a=l,a a 1a=l时,r(A)=17^rCB),舍去，a=—y-.Z，r2,乂)= +JE2+ —X\Xz—X\X3—x2.X,_( 1 1 f,3 21鼻乞3丿(％—久'' 1 1°1—兀工2—迈3="1， 1令丿箱/ 、 或P]X=U,其中匕=(2—=， 0、工3="3 0x=P^U(X! 2，工=x"AX \+\即•185•/I /I 0(PJ)TApJ=0 1 0；'0 0 J(yi2)=yi+疋+3+2x2=(yL+2)2+4工夕1+2=， 1 1 0\令V夕3=， y 其中2= 0 2,yz=^3 '0 1Y=PjUg(歹2夕丫Y 1+2即/' 0 0、(J)BP1 1 02—0o 0 /从而(J ，于(PjPTA「2=B,1 — 1 1 2 —/I 1 0、则P=P7'2= 0 0 2—0 一 1 0 1 一0 1 10 0 1 0 1 0.(23)(I)【证明】 方法一(反证法)设P不可逆，则a,Aa线性相关，即a,Aa成比例,于是a=kAa或Aa la,因为a不是A的特征向量，所以Aa=la不成立;a=kA为非零向量所以kH0于是a=[矛盾,k线性无关，即P可逆.方法