云南省昆明市吴家营乡中学高三数学理月考试题含解析

云南省昆明市吴家营乡中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，，且，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.“”是“曲线与曲线的焦距相同”的A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】充分必要条件。A2【答案解析】A

解析：当时，曲线与曲线的焦距都是，当k=0时，曲线与曲线的焦距相同，故选A.【思路点拨】进行双向判断即可.3.将边长为a的正方体ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D5.下列命题中：①“”的否定；②“若，则”的否命题；③命题“若，则”的逆否命题；其中真命题的个数是（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

参考答案：C考点：逻辑联结词与命题.6.复数=（

）A．2

B．-2

C．2-2

D．2+2参考答案：A略7.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】导数的应用；构造函数法.B12【答案解析】D

解析：设，则，因为对任意的满足，所以在上恒成立，所以是上的增函数，所以，即.故选D.【思路点拨】根据已知条件，构造函数，利用导数确定函数在上的单调性，从而得到正确选项.8.下列有关命题的说法正确的个数是（

）（1）命题“存在实数x，使得”的否定是：“对任意实数，均有”.（2）己知、为平面上两个不共线的向量，p：|+2|=|—2|；

q:⊥，则p是q的充要条件.

[来源:]（3）命题“”的逆否命题是真命题.（4）若“”是假命题，则“”一定是真命题.A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：C略9.已知实数x，y满足，则的最小值是（

）A．－6

B．－4

C．

D．0参考答案：B作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中A（），B（6，0），C（0，4），作出直线y=x,平移直线l，当其经过点C时，z有最小值，为-4.故答案为：B.

10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是（

）。A．

B．

C．

D．参考答案：A知识点：由三视图求几何体的表面积.解析：解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的．球的半径，

这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积．,故选A．思路点拨：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去球体的，据此可得出这个几何体的表面积．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点是所在平面内动点，满足,（），．若，则的面积最大值是

．参考答案：912.对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则的前n项和是

。参考答案：曲线，曲线导数为，所以切线效率为，切点为，所以切线方程为，令得，，即，所以，所以，是以2为首项，为公比的等比数列，所以。13.已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．参考答案：6+9【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d?|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．14.在直角坐标系xOy中，已知直线与椭圆C：相切，且椭圆C的右焦点关于直线的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为

．参考答案：115.已知数列{an}是等比数列，且a1 .a3=4,a4=8,a3的值为____.参考答案：或16.两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率为．参考答案：略17.某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为．参考答案：20π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，高为3，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×4×5=20π，故答案为：20π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某数学兴趣小组有男女生各名.以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分).已知男生数据的中位数为，女生数据的平均数为.（1）求，的值；（2）现从成绩高于分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率.参考答案：(1)男生成绩为，，,,其中位数为，故.…………3分女生成绩为，，,,平均数为,解之得…………6分(2)设成绩高于的男生分别为、，记,设成绩高于的女生分别为、、，记,,从高于分同学中取两人的所有取法：,,,,,,,共种，………………8分其中恰好为一男一女的取法：,,,,,共种，………………10分因为故抽取的两名同学恰好为一男一女的概率为.……………12分19.已知函数f(x)=ex－x2－ax－1．

（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；

（Ⅱ）设函数g(x)=xf(x)－ex+x3+x，若g(x)至多有一个极值点，求a的取值集合．参考答案：(1)由，……………（1分）得，令，.……………（3分）得，当时，，当时，．故当时，．．………………（6分）（2），．……………（7分）当时，由且，故是唯一的极小值点；……………（9分）令得.当时，，恒成立，无极值点．故．………………（12分）20.（本小题满分12分）已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为.（1）求的解析式；（2）若为锐角，且，求的值.参考答案：（1）图象上相邻的两个最高点间的距离为，，即，…………1分又为偶函数，则又因为，所以，…………3分.…………5分（2）由，…………6分因为为锐角，所以，…………8分所以 …………12分21.（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m?Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）当函数f（x）=x+是Ω函数时，若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时，[m]＜0，