河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省青铜鸣大联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在四边形中，与交于点，且，，，则（）A. B.四边形是梯形C.四边形是菱形 D.四边形是矩形〖答案〗D〖解析〗由，知四边形的对角线相互平分且相等，所以四边形为矩形.故选：D.2.两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（）A.一个三棱锥 B.一个四棱锥C.一个三棱柱 D.一个四棱柱〖答案〗D〖解析〗对于A，三棱锥中，分别取的中点，再取的中点，连接，则三棱锥可拆割成三棱锥和四棱锥，A可能；对于B，四棱锥，取的中点，则四棱锥可拆割成三棱锥和四棱锥，B可能；对于C，三棱柱中，取的中点，则三棱柱可拆割为三棱锥和四棱锥，C可能；对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，D不可能.故选：D.3.已知复数，为虚数单位，当时，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，解得，则，所以.故选：C.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，恰为一个直角边长为3的等腰直角三角形（如图），，则原图形的面积为（）A. B.18 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知，中，，则，由斜二测画法，将直观图还原为原图，如图所示，则，，所以故选：A.5.已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是（）A.点为的内心 B.点为的外心C. D.为等边三角形〖答案〗B〖解析〗在中，由为的垂心，得，由，得，则，即，又，显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.故选：B.6.已知为虚数单位，若为的共轭复数，则（）A.14 B.116 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，解得，则，所以，所以.故选：B.7.在四边形中，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，则且，又，，所以，则，所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以.故选：B.8.多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足.已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则（）A.6 B.10 C.12 D.20〖答案〗C〖解析〗设该多面体的顶点数为，棱数为，依题意，，消去得，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数为虚数单位，则下列说法错误的是（）A.虚部为 B. C. D.为纯虚数〖答案〗AD〖解析〗复数，故实部为，虚部为，故AD错误；，故B正确；与为方程的两个根，可知，所以，，故C正确.故选：AD.10.在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则（）A.为三角形的外心 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗在三角形中，为的中点，又与相似，可得：，故点为三角形的重心，故A错误；由于点为三角形的重心，延长交于，则为的中点，所以，故B正确；，，故C正确；，故D正确.故选：BCD.11.已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（）A. B.该方程的实数根为1C. D.〖答案〗AB〖解析〗由是方程的根，得，整理得，而，因此，解得，对于A，，A正确；对于BC，方程，变形为，显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误；对于D，，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则______.〖答案〗2〖解析〗由，得，所以，解得.故〖答案〗为：2.13.已知复数满足为虚数单位，在复平面上对应的点为，定点为坐标原点，则的最小值为_____________.〖答案〗〖解析〗依题意，点的轨迹是复平面上以点为圆心，2为半径的圆，，而，，当且仅当方向相反时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.14.某容器是一个圆锥和圆柱的组合体（如图），圆柱的底面直径为4，高为3，容器内放入一个直径为4的球后，该球与圆柱的侧面和底面、圆锥的侧面都相切，则该容器的体积为_____________.〖答案〗〖解析〗由于圆柱的底面直径为4，故，高为，所以圆柱的体积为：，轴截面如图：设球心为，则与全等，由，得，与同为的补角，故，，故，故，故圆锥的高为，所以圆锥的体积为，故所求体积为.故〖答案〗为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为虚数，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为，所以，即，由于为虚数，故，所以，故，所以，所以.（2），由于，所以，故.16.在平面直角坐标系中，，四边形是矩形且.（1）求点的坐标；（2）与点在同一平面直角坐标系中，当点到的距离的平方和最小时，求点的坐标.解：（1）依题意，，由矩形，得，解得或，当时，，不符合题意，而时，，因此，，显然，于是得，所以点，点.（2）设，依题意，，当且仅当时取等号，所以点的坐标为.17.已知为单位向量.（1）若，求的夹角；（2）若，求的值.解：（1）由于，所以，两边平方得，又为单位向量，所以，设的夹角为，则，所以，故的夹角为.（2）因为，所以，由，故，所以，故.18.已知某圆锥的母线长与底面直径相等，表面积为.（1）求此圆锥的体积；（2）若此圆锥内有一圆柱，该圆柱的下底面在圆锥的底面上，求该圆柱侧面积的最大值.解：（1）设圆锥底面圆半径为，依题意，圆锥的母线长，显然，解得，圆锥的高，所以圆锥的体积.（2）设圆锥的内接圆柱的底面圆半径为，高为，则有，即，解得，因此圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，所以该圆柱侧面积的最大值为.19.已知点满足的面积