河北省邯郸市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.2.若向量满足，且，则向量的夹角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°〖答案〗B〖解析〗设的夹角为，.故选：B.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（）A. B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗在直角梯形中，，，则，直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，，所以该平面图形的高为.故选：C.4.已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（）A. B.或 C. D.或〖答案〗D〖解析〗已知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，高为，由已知得，解得或，由于圆锥的侧面积为：，所以，或.故选：D.5.在中，内角，，的对边分别是，，，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，由正弦定理及，得，而，则，又，于是，而，所以．故选：A.6.已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若，且，则 B若，且，则C.若，，则 D.若，，且，，则〖答案〗A〖解析〗对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确；对于B，若则或，故B错误；对于C，若，，则或异面或相交，故C错误；对于D，若，且，则，或，故D错误.故选：A.7.已知为复数，则“实部大于0”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗设，，则，所以z的实部大于0是的充要条件．故选：C.8.在中，角，，所对的边分别是，，，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，由及余弦定理，得，即，则，又，则有，即，又，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以的面积取最大值时，．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，其中，是虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则的虚部为C.若为纯虚数，则 D.若，则〖答案〗AC〖解析〗当时，，对于A，，A正确；对于B，z的虚部为，B错误；，对于C，z为纯虚数，则，满足，C正确；对于D，，则，解得或，D错误.故选：AC.10.已知，，为非零向量，下列说法正确的是（）A.向量在向量上的投影向量可表示为B.若，，则C.若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线D.若，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确；对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确；对于C，令，，，有，而共线，C错误；对于D，令，，，有，而，D错误.故选：AB.11.四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（）A.直线与直线为异面直线B.四棱锥的体积为2C.在中，当时，D.四棱锥的外接球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为平面，平面，点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，A正确；对于B，因为，，平面，，所以平面，又，，四边形为正方形，所以四棱锥的高，底面面积为，所以四棱锥的体积，B错误；对于C，因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，又，所以，又，，，所以，所以，所以，所以点到平面的距离为，所以，C正确；对于D，因为平面，平面，所以，因为，，平面，，所以平面，又平面，所以，故为直角三角形，同理可证为直角三角形，取的中点，则，所以四棱锥的外接球的外接球的球心为，所以四棱锥的外接球的半径为，所以四棱锥的外接球得表面积，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为______.〖答案〗〖解析〗设铁球的半径为r，则圆柱的高为2r，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．故〖答案〗为：.13.已知，，为复数，且，则______.〖答案〗1〖解析〗令，显然，则，，，，由，得，，所以．故〖答案〗为：1.14.在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则______.〖答案〗〖解析〗在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，，记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然，于是点M，X，Y，N顺次共线并且，显然，，而，则，因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h，由面积公式可知．故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知，复数，.（1）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；（2）设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.解：（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限，则，解得，所以m的取值范围为.（2）依题意，，，由，得，解得或，而时，为原点，不符合题意，因此，，，，所以．16.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量与垂直.（1）求；（2）若，求的周长的取值范围.解：（1）因为向量与垂直，所以，由于，即，因为，所以.（2）由（1）知：，则三角形的周长为，因为，所以，所以，则周长的范围是.17.如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.解：（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，而，，则，四边形为平行四边形，因此，而平面，平面，所以平面.（2）由，得是的中点，而为中点，则，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.18.如图，圆柱的底面半径为1，侧面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点在下底面的投影点平分圆弧.（1）若圆柱上下底面的圆周均在球的表面上，求球的表面积；（2）求四面体的体积.解：（1）设圆柱的高为h，由圆柱的侧面积为，底面圆半径，得，解得，设球O的半径为R，由对称性知，球心为线段的中点，则，所以球O的表面积为.（2）连接，，则四面体的体积等于四面体和的体积之和，由为圆柱下底面圆的直径，得平面截圆柱所得的截面是圆柱的轴截面，又为圆柱上底面圆的直径，且点在下底面的投影点平分圆弧，因此点A，B到平面的距离相等，均为1，则四面体的体积，所以四面体的体积为．19.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.（1