山东省烟台市莱州珍珠中学高三数学文期末试卷含解析

山东省烟台市莱州珍珠中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为(

)A． B. C． D.参考答案：C

考点：1.双曲线的离心率；2.抛物线的焦点．【方法点睛】本题综合考查双曲线和抛物线的定义和几何性质，属于基础题；处理圆锥曲线问题，要注意应用圆锥曲线的定义，牢牢抓住焦点、顶点、准线（抛物线）以及相关字母间（如：椭圆方程中有成立，双曲线方程中有成立）的关系，处理离心率问题，要出现关于的齐次式，以便求解.2.设f(x)是R上的任意函数，给出下列四个函数：①f(x)f(－x)；②f(x)|f(－x)|；③f(x)－f(－x)；④f(x)＋f(－x)．则其中是偶函数的为()A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：D3.设命题：函数在定义域上为减函数；命题：,当时，，以下说法正确的是（

）A．为真

B．为真

C．真假

D．、均假参考答案：D略4.已知数列满足，是其前n项和，则A.

B.C.

D.参考答案：B略5.已知三条不重合的直线和两个不重合的平面α、β，下列命题中正确命题个数为（

） ①若

②③

④A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：B6.已知全集，A={3,4,5}，，则A.{5,6} B.{3,4} C.{2,3} D.{2,3,4,5}参考答案：B7.已知集合，则

（

）A． B． C． D．参考答案：A略8.椭圆的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.下列函数中，满足f（xy）=f（x）f（y）的单调递增函数是（）A．f（x）=x3 B．f（x）=﹣x﹣1 C．f（x）=log2x D．f（x）=2x参考答案：A【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据抽象函数的关系式分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．B．f（x）f（y）=﹣x﹣1（﹣y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=﹣（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）不成立．C．f（xy）=log2xy=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．D．f（xy）═2xy，f（x）f（y）=2x+2y，f（xy）=f（x）f（y）不成立．故选：A【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件进行验证是解决本题的关键．比较基础．10.已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只需把y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】依题意可知f（x）=sin（ωx+）的周期为π，从而可求得ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y=﹣1的图象的相邻两交点间的距离为π，∴f（x）=sin（ωx+）的周期T=π，又ω＞0，T==π，∴ω=2；∴f（x）=sin（2x+）．令g（x）=cos2x=sin（2x+），则g（x）=sin（2x+）g（x﹣）=sin[2（x﹣）+）]=sin（2x+）=f（x），∴要想得到f（x）=sin（2x+）的图象，只需将y=g（x）=cos2x=sin（2x+）的图象右平移个单位即可．故选B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求得ω的值是关键，考查平移知识与运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为

。参考答案：12.已知椭圆，A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足∠MAB=30°，∠MBA=45°，设椭圆C的离心率为e，则e2=．参考答案：1﹣【分析】由题意画出图形，设出M的坐标，再由已知列式求出M的坐标，代入椭圆方程求解．【解答】解：如图，设M（x0，y0），则，，联立解得，，∵M在椭圆上，∴，整理得：，即，解得（0＜e2＜1）．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．13.已知三棱锥中,,直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为．参考答案：14.已知为虚数单位，则=

.

参考答案：略15.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在中的学生人数是_________．参考答案：50

16.已知，若f（a）=，则a=_________．参考答案：或；17.已知是方程的两个根，且则=______参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF?EC．（1）求证：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．【解答】（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．19.（本小题满分为12分）如图，在三棱锥中，底面,为的中点,.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.参考答案：

所以点到平面的距离为.法二：设点到平面的距离为，据

即，得所以点到平面的距离为.20.（本题满分13分）已知函数，（1）若，证明没有零点；（2）若恒成立，求a的取值范围．参考答案：（I），

由，得，可得在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增故的最小值，所以没有零点

（II）方法一：

（i）若时，令，则，故在上单调递减，在

上单调递增，故在上的最小值为，要使解得恒成立，只需，得

（ii）若，恒成立，在是单调递减，，故不可能恒成立综上所述，

.

略21.设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；（Ⅱ）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系，并给出证明．参考答案：【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）结合二次函数的图象和函数图象的纵向对折变换，可得函数f（x）的图象；（Ⅱ）令f（x）=5，求出方程的根，进而结合（Ⅰ）中图象可得集合A，由集合包含关系的定义，可得A，B之间的关系．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|的图象如下图所示：（Ⅱ）B?A理由如下：令f（x）=5，则x2﹣4x﹣5=5或x2﹣4x﹣5=﹣5，解得：x=2﹣，或x=2+，或x=0，或x=4，结合（Ⅰ）中图象可得集合A={x|f（x）≥5}=（﹣∞，2﹣]∪[0，4]∪[2+，+∞）．∵2﹣＞﹣2，2+＜6，故B?A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.已知函数f（x）=ex﹣1﹣，g（x）=ax2+x﹣（a﹣1）．（1）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，求实数a的值；（2）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据题意，对f（x）求导，可得f′（x）=ex﹣1+，进而可得f′（1）的值，由互相垂直的直线斜率之间的关系可得f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，将f（x）≥g（x）转化为[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，可以设h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，对其求导可得h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1]，（x≥1），再设k（x）=ex﹣1﹣a（x﹣1）﹣1，求出k（x）的导数．分情况讨论h（x）≥0是否成立，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=ex﹣1﹣，则其导数f′（x）=ex﹣1+，则有f′（1）=1+，若曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直，则有f′（1）×（﹣）=﹣1，解可得a=；（2）根据题意，由f（x）≥g（x）可得：f（x）﹣g（x）≥0，即（ex﹣1﹣）﹣[ax2+x﹣（a﹣1）]=[xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣]≥0，设h（x）=xex﹣1﹣ax3﹣x2+（a﹣1）x+﹣，（x≥1），若f（x）≥g（x），必有h（x）≥0，h′（x）=（x+1）ex﹣1﹣ax2﹣x+a﹣1=（x+1）[ex﹣