2024年山东烟台高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案）

2024年高考适应性练习数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若随机变量，且，则()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.53．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为()A．1 B．2 C．4 D．84．已知，若是的充分不必要条件，则()A． B． C． D．5．展开式中的系数为()A．-840 B．-420 C．420 D．8406．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为()A． B． C． D．7．在中，交于点，则()A． B． C． D．8．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如．已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为()A． B．1 C． D．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数，则（）A．是奇函数 B．的最小正周期为C．的最小值为 D．在上单调递增10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（）A．若，则B．的最小值为C．若满足的直线恰有一条，则D．若满足的直线恰有三条，则11．如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则A．存在使得B．存在使得平面C．若长度为定值，则时三棱雉体积最大D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，若，则实数的值为______．13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．14．当时，，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列。（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前项和。16．（15分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮。某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图。（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民。（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？青年非青年合计喜欢20不喜欢60合计200（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民。若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率。参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0102.7063.8416.63517．（15分）如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值。18．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围。19．（17分）已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；（2）设点为直线上一点，且，求的最小值。2024年高考适应性练习数学参考答案及评分标准一、选择题DBCA CBCA二、选择题9．AC 10．ACD 11．BCD三、填空题12．1或2 13． 14．四、解答题15．解：（1）由题意知即，因为，所以，所以．（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，则所以．16．解：（1）由频率分布直方图可知，年龄在40岁以下的居民所占比例为，年龄在50岁以下的居民所占比例为，所以分位数位于内，由，所以，样本数据的分位数为45．（2）（i）由题知，列联表为：青年非青年合计喜欢9020110不喜欢603090合计15050200根据列联表中的数据，可得：所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联。（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应地取2人．设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，所以，所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．17．解：（1）连接，取中点，连接．因为为的中点，所以。因为平面，平面，所以平面．又因为平面，平面，所以．所以，在直角中，．同理，因为，所以．因为为中点，所以，因为，所以。又因为平面，平面，所以平面．又因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．在直角中，因为，所以．在直角中，．所以．又，所以．设面的一个法向量，则，即，取，则，所以．设面的一个法向量，则，即，取，则，所以．设二面角为，则，所以二面角的余弦值为．18．解：（1）由题可知，当时，恒成立，此时在上单调递减．当时，，令，则当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增．当，即时，此时在恒成立，单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增．（2）因为，所以，又，所以．由，可得，令，则，当时，为增函数；当时，为减函数。所以，从而．将两边同时取以为底的对数可得整理可得．令，则，且在上单调递增，因为且，所以在上恒成立，所以恒成立，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，又因为，所以．19．解：（1）由题意可知，，所以，所以椭圆方程为，设立线方程为，联立，消可得，，所以，因为过点的切线为，过点的切线为，由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上。（法一）：