重庆綦江县古南中学高三数学理联考试卷含解析

重庆綦江县古南中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是(

)A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）参考答案：D【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．2.已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以，从而求得cos=，根据向量夹角的范围即可得出向量的夹角．解答： 解：∵；；∴；∴；∴向量与的夹角为．故选B．点评：考查非零向量垂直的充要条件，数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．3.若,则直线=1必不经过

(

)A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B4.己知命题，则A.，且为真命题B.，且为假命题C.，且为真命题D.，且为假命题参考答案：D5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1．∴几何体的体积V=+=1+=．故选B．6.正项等比数列{an}中，存在两项使得，且a7=a6+2a5，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．

【专题】等差数列与等比数列．【分析】设正项等比数列的公式为q，已知等式a7=a6+2a5两边除以a5，利用等比数列的性质化简求出q的值，利用等比数列的通项公式表示出am与an，代入已知等式=4a1，求出m+n=6，将所求式子变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：∵正项等比数列{an}中，设公比为q，a7=a6+2a5，∴=+，即q2﹣q﹣2=0，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴am=a12m﹣1，an=a12n﹣1，∵=4a1，∴aman=a122m+n﹣2=16a12，即m+n﹣2=4，∴m+n=6，列举（m，n）=（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）即有+=2，，2，，5．当m=2，n=4，+的最小值为．故选A．【点评】此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握通项公式是解本题的关键．7.设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（

）A.8

B.6

C.4

D.2参考答案：C8.已知等差数列{an}，Sn为其前n项和，若a1=9，a3+a5=0，则S6的值为（）A．6 B．9 C．15 D．0参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=9，a3+a5=0，∴2×9+6d=0，解得d=﹣3．则S6=9×6+×（﹣3）=9．故选：B．9.定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数、满足，则的取值范围是

(

) A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上 B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上 D．点D在CB的延长线上参考答案：D【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，，.则当时，

；试写出

．参考答案：63；12.已知变量的最大值是

．参考答案：213.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为

.参考答案：如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，此时三棱柱的体积为，其中.令，则，令，则，当时，，函数增，当时，，函数减.故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为.14.16．对于不等式组的解(x，y)，当且仅当时，z=x+ay取得最大值，则实数a的取值范围是

_．参考答案：15.当时，函数的所有零点之和为________.参考答案：6【分析】令解得时方程的根，作和即为所求零点之和.【详解】令，当时，解得：或所求零点之和为：本题正确结果：6【点睛】本题考查函数零点的求解问题，属于基础题.16.下列四种说法：

（1）命题：“存在”的否定是“对任意”。

（2）若直线a、b在平面α内的射影互相垂直，则

（3）已知一组数据为20、30、40、50、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系是：众数>中位数>平均数。

（4）已知回归方程则可估计x与y的增长速度之比约为

（5）若A（-2，3），B（3，-2），三点共线，则m的值为2。

其中所有正确说法的序号是

。参考答案：(1)（3）（4）略17.曲线y=cosx+ex在点（0，f（0））处的切线方程为．参考答案：x﹣y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】由f（x）=cosx+ex，知f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，由此利用导数的几何意义能求出f（x）=cosx+ex在x=0处的切线方程．【解答】解：∵f（x）=cosx+ex，∴f（0）=cos0+e0=2，f′（x）=﹣sinx+ex，∴f′（0）=1，∴f（x）=cosx+ex在x=0处的切线方程为：y﹣2=x，即x﹣y+2=0．故答案为：x﹣y+2=0．【点评】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设关于的方程(Ⅰ）若方程有实数解，求实数的取值范围；(Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.参考答案：（Ⅰ）原方程为，，时方程有实数解；(Ⅱ）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①.②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；19.（本题满分12分）

已知函数，设函数．

（1）求证：函数必有零点

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：略20.如图，已知三棱锥P—ABC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．参考答案：证明：（1）由已知得，是ABP的中位线

………4分（2）为正三角形，为的中点，又

又

平面ABC⊥平面APC

……………9分（3）由题意可知，，是三棱锥D-BCM的高，

…………14分21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t=，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由椭圆C过点，代入椭圆方程：，解得：a=2，b=，则椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），则，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=，yF=，由P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；综上可得直线AP的斜率的最大值为．22.（12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、