圆的性质.x课件

2014—2018年全国中考题组考点一圆的有关概念和垂径定理五年中考1.(2016陕西,9,3分)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与

∠BOC互补,则弦BC的长为

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,∴BC=2BD.

∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故选B.2.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,则☉O的周长为

()

A.26πB.13πC.

D.

答案

B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍负),∴半径OA=

,∴☉O的周长为13π.方法规律如图,设圆的半径为r、圆的一条弦的长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则

+d2=r2,h=r-d(或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

1.(2018陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O

相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为

()

A.15°

B.25°

C.35°

D.45°考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系答案

A∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=

∠ACD=50°,根据圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD=50°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,故选A.2.(2017陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5.若点P是☉O上的

一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为

()

A.5

B.

C.5

D.5

答案

D连接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故选D.3.(2017云南,14,4分)如图,B、C是☉A上的两点,AB的垂直平分线与☉A交于E、F两点,与线段

AC交于D点.若∠BFC=20°,则∠DBC=

()

A.30°

B.29°

C.28°

D.20°答案

A∵∠BFC=20°,∴∠BAC=2∠BFC=40°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=

=70°.∵EF是线段AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.故选A.4.(2017福建,8,4分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定

与∠ACD互余的角是

()

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+

∠ACD=90°,故选D.5.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,

= .若∠AOB=58°,则∠BDC=

度.

答案29解析连接OC(图略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又点D在圆上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析连接OC,由

与 相等可得圆心角∠AOB=∠BOC,再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数.6.(2017内蒙古包头,17,3分)如图,点A、B、C为☉O上的三个点,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,

则∠ACB=

°.

答案20解析∵∠BAC=40°,∴∠BOC=80°.∵∠BOC=2∠AOB,∴∠AOB=

∠BOC=40°,∴∠ACB=

∠AOB=20°.1.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC

的大小为

()

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°考点三圆内接三角形、四边形答案

C设∠ADC=x°,则∠AOC=2x°.∵四边形ABCO是平行四边形,∴∠B=∠AOC.∵∠B+

∠D=180°,∴x+2x=180,∴x=60.∴∠ADC=60°,故选C.2.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为

.答案

∶1解析设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为

r,内接正三角形的边心距为

r,故

r∶

r=

∶1.3.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,则AC=

.

答案2

解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因为

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.4.(2016内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线

于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.(1)求证:∠FBC=∠FCB;(2)已知FA·FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.

解析(1)证明:∵四边形AFBC内接于圆,∴∠FBC+∠FAC=180°,又∵∠CAD+∠FAC=180°,∴∠FBC=∠CAD,

(1分)∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,∴∠EAD=∠CAD,又∵∠EAD=∠FAB,∴∠FAB=∠CAD.

(2分)又∵∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB.

(3分)(2)由(1)知∠FBC=∠FCB,∠FCB=∠FAB,∴∠FAB=∠FBC,

(4分)又∵∠BFA=∠BFD,∴△AFB∽△BFD.

(5分)于是有∠FBA=∠FDB,

=

,即BF2=FA·FD=12,∴BF=2

.

(6分)而FA=2,∴FD=6,AD=4,∵AB为圆的直径,∴∠BFA=∠BCA=90°,

(7分)∴tan∠FBA=

=

=

,∴∠FBA=30°,

(8分)又∵∠FBA=∠FDB,∴∠FDB=30°,∴CD=2

.

(9分)5.(2016宁夏,23,8分)已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD的长.

解析(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)连接AE,则AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC与△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)思路分析(1)由ED=EC可得∠CDE=∠C,由圆内接四边形的性质可得∠CDE=∠B,进而求得

AB=AC;(2)连接AE,则AE⊥BC,证明△ABC∽△EDC,进而求得CD的长.6.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,AC是☉O的直径,DE⊥AB,垂足为

E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=

,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.

图1图2解析(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,

又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=

,tan∠ACB=

=

,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.从而BC=

AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.一题多解(1)证明:易证DF∥BC,从而CD=BF,且

=

=1,∴PB=PC.(2)连接OD,设∠BDE=x,则∠EBD=90°-x,易证四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1,∵AB=

,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.考点一圆的有关概念和垂径定理教师专用题组1.(2018山东威海,10,3分)如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为 的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的长为

()

A.

B.5

C.

D.5

答案

D如图,连接OA、OC,OC交AB于点M.根据垂径定理可知OC垂直平分AB,因为∠ABC

=30°,故∠AOC=60°,在Rt△AOM中,sin60°=

=

=

,故AM=

,即AB=5

.故选D.

2.(2017新疆,9,5分)如图,☉O的半径OD垂直于弦AB,垂足为点C.连接AO并延长交☉O于点E,连

接BE,CE,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为

()

A.12

B.15

C.16

D.18答案

A∵☉O的半径OD垂直于弦AB,AB=8,∴AC=BC=

AB=4.设OA=r,则OC=OD-CD=r-2,在Rt△AOC中,由勾股定理得42+(r-2)2=r2,解得r=5,∴AE=10,在Rt△ABE中,BE=

=

=6,∴S△BCE=

BC·BE=

×4×6=12.故选A.方法指导运用垂径定理求相关线段长度的关键是构造直角三角形,进而利用勾股定理求解.

其最常用的方法是“连接圆心和圆中弦的端点”.若弦长为l,圆心到弦的距离为d,半径为r,则

根据勾股定理有

l=

.3.(2015广西南宁,11,3分)如图,AB是☉O的直径,AB=8,点M在☉O上,∠MAB=20°,N是 的中点,P是直径AB上一动点.若MN=1,则△PMN周长的最小值为

()

A.4

B.5

C.6

D.7答案

B△PMN的周长为PM、PN、MN的和,其中MN=1,所以只要PM、PN的和最小即可.如

图,取N关于AB的对称点C,连接MC交AB于P,此时PM、PN的和最小,PM、PN的和就是MC的长

度.连接OM、ON、OC.∵∠MAB=20°,∴∠MOB=40°.∵N为 的中点,∴∠NOB=20°.∵直径AB⊥CN,∴∠COB=20°,∴∠MOC=60°.∵OM=OC,∴△MOC为等边三角形.∵AB=8,∴MC=OM

=4,∴△PMN的周长的最小值为1+4=5.故选B.

4.(2014甘肃兰州,13,4分)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC,BD.下列结论中不一定

正确的是

()

A.AE=BE

B. = 

C.OE=DE

D.∠DBC=90°答案

C∵CD是☉O的直径,且CD⊥AB,∴AE=BE, = ,∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°,但不能得出OE=DE.故选C.评析本题考查了垂径定理,属容易题.5.(2015宁夏,13,3分)如图,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC.若AB=2

,∠BCD=30°,则☉O的半径为

.

答案

解析连接OB,∵∠BCD=30°,∴∠BOD=60°.∵CD是直径,CD⊥AB,∴BE=

AB=

,∴OB=

=

=

.6.(2014陕西,16,3分)如图,☉O的半径是2.直线l与☉O相交于A、B两点,M、N是☉O上的两个动

点,且在直线l的异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是

.

答案4

解析连接OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积的最大

值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB的面积取最大值.连接MN,此时

MN为☉O的直径,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,∴AB=

OA=2

.故四边形MANB面积的最大值为

AB·MN=

×2

×4=4

.7.(2015安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.

解析(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3×tan30°=

.

(3分)如图,连接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴当OP最小时,PQ最大.此时,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3×sin30°=

.∴PQ长的最大值为

=

.

(10分)1.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为

,AB=4,则BC的长是

()

A.2

B.3

C.

D.

考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠

CBD'=45°,根据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根据勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故选B.

方法指导在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解.2.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在☉O中,

= ,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=

()

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°答案

B连接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又

= ,∴∠AOB=∠COB=50°,故选B.3.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的

大小是

()

A.43°

B.35°

C.34°

D.44°答案

B由三角形外角的性质可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B与∠C所对的弧均为 ,∴∠B=∠C=35°.故选B.4.(2016广西南宁,9,3分)如图,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40

°,则∠P的度数为

()

A.140°

B.70°

C.60°

D.40°答案

B∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°,∴∠P=

∠AOB=70°.故选B.5.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的☉P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上

一点,则∠ACB=

()

A.80°

B.90°

C.100°

D.无法确定答案

B根据同弧所对的圆周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故选B.6.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上, = ,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=

°.

答案70解析∵ = ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.(2017重庆A卷,15,4分)如图,BC是☉O的直径,点A在圆上,连接AO,AC,∠AOB=64°,则∠ACB=

°.

答案32解析∵

=

,∠AOB=64°,∴∠ACB=

∠AOB=32°.8.(2016广东,16,4分)如图,点P是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点,且不与四边形顶点重合.

若AD是☉O的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=

.

答案

a解析如图,连接OB、OC,∵AB=BC=CD,∴

= = .又∵AD是☉O的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,∴∠CPB=∠APB=30°,∴AE=

PA=

a,∠APC=60°,Rt△APF中,AF=APsin60°=

a,∴AE+AF=

a.

评析本题主要考查圆的有关性质与锐角三角函数.9.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=

°.

答案62解析∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.10.(2015内蒙古包头,18,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,

sinB=

,则线段AC的长为

.

答案2解析连接CD,在☉O中,因为AD为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.11.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在☉O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则

∠ADC的度数为

.

答案110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.12.(2015江苏南京,15,2分)如图,在☉O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=

°.

答案215解析连接AO,CO,DO,则∠COD=2∠CAD=70°,又因为∠B=

(∠AOD+∠COD),∠E=

(∠AOC+∠COD),所以∠B+∠E=

(∠AOD+∠COD+∠AOC+∠COD)=

×(360°+70°)=215°.13.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.

证明(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°,∴∠D+∠DAE=180°,∴AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.

(5分)(2)过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)14.(2017湖北武汉,21,8分)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.(1)求证:AO平分∠BAC;(2)若BC=6,sin∠BAC=

,求AC和CD的长.

解析(1)证明:连接BO.∵AB=AC,OB=OC,∴A、O在线段BC的中垂线上,∴AO⊥BC.又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC.(2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作DK⊥AO,交AO于点K.

由(1)知AO⊥BC,∵OB=OC,BC=6,∴BH=CH=

BC=3,∠COH=

∠BOC,∵∠BAC=

∠BOC,∴∠COH=∠BAC.在Rt△COH中,∠OHC=90°,sin∠COH=sin∠BAC=

=

.∵CH=3,∴sin∠COH=

=

,∴CO=AO=5,∴OH= = =4,∴AH=AO+OH=5+4=9,tan∠COH=tan∠DOK=

.在Rt△ACH中,∠AHC=90°,AH=9,CH=3,∴tan∠CAH=

=

=

,AC=

=

=3

,由(1)知∠CAH=∠BAH,∴tan∠BAH=tan∠CAH=

.设DK=3a(a>0),在Rt△ADK中,tan∠DAK=

,在Rt△DOK中,tan∠DOK=

,∴OK=4a,DO=5a,AK=9a,∴AO=OK+AK=13a=5,∴a=

,∴DO=5a=

,∴CD=OC+DO=5+

=

.一题多解(1)证明:连接OB.∵AO=AO,BO=CO,AB=AC,∴△AOB≌△AOC,∴∠BAO=∠CAO.即AO平分∠BAC.(2)过点C作CE⊥AB,交AB于点E,∵sin∠BAC=

=

,∴可设AC=5m(m>0),则EC=3m,∴AE=4m,BE=m.在Rt△CBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36,解得m=

(舍负),∴AC=3

.延长AO交BC于点H,则AH⊥BC,且BH=CH=3,过点O作OF⊥AH,交AB于点F,

∵∠BOC=2∠BAC,∠BOC=2∠HOC,∴∠BAC=∠HOC,∴sin∠HOC=sin∠BAC=

,又HC=3,∴OC=5,OH=4,∴AH=OA+OH=9,∴tan∠BAH=

=

=

,∴OF=

OA=

.∵OF∥BC,∴

=

,即

=

,解得DC=

.15.(2015贵州遵义,26,12分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交CA的延

长线于点E,连接AD、DE.(1)求证:D是BC的中点;(2)若DE=3,BD-AD=2,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,求弦AE的长.

解析(1)证明:∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC.

(2分)又∵AB=AC,∴D是BC的中点.

(4分)(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠E,∴∠C=∠E,∴DC=DE,∴BD=DE=3,

(5分)又BD-AD=2,∴AD=1.

(6分)在Rt△ABD中,BD=3,AD=1,∴AB=

=

=

,

(7分)则☉O的半径为

.

(8分)(3)解法一:在△CAB和△CDE中,∠B=∠E,∠C=∠C(公共角),∴△CAB∽△CDE,

(9分)∴

=

,

(10分)∵CA=AB=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

-

=

.

(12分)解法二:连接BE,

∵AB是☉O的直径,∴∠BEC=90°.

(9分)在△ADC和△BEC中,∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,

(10分)∴

=

,∴CE=

=

=

,

(11分)∴AE=CE-AC=

.

(12分)16.(2014天津,21,10分)已知☉O的直径为10,点A,点B,点C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D.(1)如图①,若BC为☉O的直径,AB=6,求AC,BD,CD的长;(2)如图②,若∠CAB=60°,求BD的长.

解析(1)由已知,BC为☉O的直径,得∠CAB=∠BDC=90°.在Rt△CAB中,BC=10,AB=6,∴AC=

=

=8.∵AD平分∠CAB,∴ =

,∴CD=BD.在Rt△BDC中,BC=10,CD2+BD2=BC2,∴BD2=CD2=50,∴BD=CD=5

.(2)如图,连接OB,OD.

∵AD平分∠CAB,且∠CAB=60°,∴∠DAB=

∠CAB=30°.∴∠DOB=2∠DAB=60°.又∵在☉O中,OB=OD,∴△OBD是等边三角形.∵☉O的直径为10,∴OB=5,∴BD=5.17.(2014四川成都,27,10分)如图,在☉O的内接△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l

交☉O于另一点D,垂足为E.设P是 上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.(1)求证:△PAC∽△PDF;(2)若AB=5, = ,求PD的长;(3)在点P运动过程中,设

=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)

解析(1)证明:连接PB.∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径,∴∠APB=90°,∴∠PAB+∠PBA=90°.∵l⊥AB于E,∴∠AFE+∠FAE=90°.∵∠PAB=∠FAE,∴∠PBA=∠AFE.∵∠ABP=∠ACP,∴∠AFE=∠ACP.又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.

(3分)

(2)在Rt△ABC中,AC=2BC,AB=5,由勾股定理得AC=2

,BC=

.∵S△ABC=

AB·CE=

AC·BC,∴CE=2,可得AE=4.

(4分)∵ = ,∴PA=PB,则△ABP为等腰直角三角形.∴∠PAB=45°,AP=

AB=

.∵EF⊥AB,∠PAB=45°.∴EF=AE=4.由垂径定理得DE=CE=2,则DF=DE+EF=6.由(1)知△PAC∽△PDF,∴

=

.故PD=

=

=

.

(7分)(3)解法一:过点G作GH∥BP交AP于点H.则GH⊥AP,∠AGH=∠ABP=∠AFD,

=

=x.∵l⊥AB,∴ =

,∴∠ABC=∠APD.∴

=tan∠APD=tan∠ABC=

=2,即GH=2PH.∴y=tan∠AFD=tan∠AGH=

=

=

x.即y与x之间的函数关系式为y=

x.

(10分)解法二:连接AD,BD,则AD=AC,BD=BC.∵∠APG=∠DBG,∠AGP=∠DGB,∴△APG∽△DBG,则

=

.①同理,由△PBG∽△ADG,得

=

.②由①÷②,得

·

=

,即

=

·

=

·

=

x.∴y=tan∠AFD=tan∠ABP=

=

x.即y与x之间的函数关系式为y=

x.

(10分)1.(2015宁夏,6,3分)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BOD=88°,则∠BCD的度数是

()

A.88°

B.92°

C.106°

D.136°考点三圆内接三角形、四边形答案

D因为∠BOD=88°,所以∠A=44°,因为∠A+∠BCD=180°,所以∠BCD=136°.故选D.2.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122°,C是 上一点,则∠ACB=

°.

答案119解析如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵

∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

3.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为△ABC的外心,若∠BIC=100°,则∠A的度数为

.答案50°或130°解析当I在△ABC的内部时,如图1,∠A=

∠BIC=50°;当I在△ABC的外部时,如图2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

图1图24.(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.

解析(1)尺规作图如图所示.

(4分)

(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠CAE,所以

= ,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为

.

(10分)5.(2018云南,23,12分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的点,AF=AD

+FC.平行四边形ABCD的面积为S,由A、E、F三点确定的圆的周长为l.(1)若△ABE的面积为30,直接写出S的值;(2)求证:AE平分∠DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.

解析(1)60.

(3分)(2)证明:延长AE,与BC的延长线交于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠ADE=∠HCE,∠DAE=∠CHE.

(4分)∵点E为CD的中点,∴ED=EC.∴△ADE≌△HCE.∴AD=HC,AE=HE.∴AD+FC=HC+FC.由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.∴∠FAE=∠CHE.

(6分)又∵∠DAE=∠CHE,∴∠DAE=∠FAE,∴AE平分∠DAF.

(7分)(3)连接EF.∵AE=BE,AE=HE,∴AE=BE=HE.∴∠BAE=∠ABE,∠HBE=∠BHE.由(1)知∠DAE=∠CHE,∴∠BAE+∠DAE=∠ABE+∠HBE,即∠DAB=∠CBA.由四边形ABCD是平行四边形得∠DAB+∠CBA=180°,∴∠CBA=90°,

(9分)∴AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,解得FC=

.∴AF=FC+CH=

+5=

.∵AE=HE,AF=FH,∴FE⊥AH.∴AF是△AEF的外接圆的直径.∴△AEF的外接圆的周长l=

.

(12分)6.(2014黑龙江哈尔滨,25,8分)如图,☉O是△ABC的外接圆,弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=

DE,BC=CE.(1)求∠ACB的度数;(2)过点O作OF⊥AC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.

解析(1)在☉O中,∠A=∠D,

(1分)∵∠AEB=∠DEC,AE=DE,∴△AEB≌△DEC.

(2分)∴EB=EC.

(3分)又∵BC=CE,∴BE=CE=BC,∴△EBC为等边三角形,∴∠ACB=60°.

(4分)(2)∵OF⊥AC,∴AF=CF.

(5分)∵△EBC为等边三角形,∴∠GEF=60°,∴∠EGF=30°,∵EG=2,∴EF=1.

(6分)又∵AE=ED=3,∴CF=AF=4,∴AC=8,CE=5,∴BC=5.

(7分)作BM⊥AC于点M,∵∠BCM=60°,∴∠MBC=30°,∴CM=

,BM=

=

,∴AM=AC-CM=

,∴AB=

=7.

(8分)7.(2014辽宁沈阳,22,10分)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,OD∥BC交☉O于点D,交AC

于点E,连接AD,BD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=10,cos∠ABC=

,求tan∠DBC的值.

解析(1)证明:∵AB为☉O直径,∴∠ACB=90°.又∵OD∥BC,∴∠AEO=∠ACB=90°.∴OD⊥AC.∴

= .∴AD=CD.(2)∵AB=10,∴OA=OD=

AB=5.∵OD∥BC,∴∠AOE=∠ABC.在Rt△AEO中,OE=OAcos∠AOE=OAcos∠ABC=5×

=3.∴DE=OD-OE=5-3=2.由勾股定理得,AE=

=

=4.在Rt△AED中,tan∠DAE=

=

=

.又∵∠DBC=∠DAE,∴tan∠DBC=

.A组2016—2018年模拟·基础题组考点一圆的有关概念和垂径定理三年模拟1.(2018天津红桥一模,8)一条公路弯道处是一段圆弧 ,点O是这条弧所在圆的圆心,点C是 的中点,OC与AB相交于点D.已知AB=120m,CD=20m,那么这段弯道的半径为

()

A.200mB.200

mC.100mD.100

m答案

C连接OA,

∵C是 的中点,OC与AB相交于点D,∴AB⊥OC,AD=

AB=

×120=60m,∴△AOD是直角三角形,设OA=rm,则OD=OC-CD=(r-20)m,在Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=602+(r-20)2,解得r=100,则这段弯道的半径为100m.故选C.2.(2017天津红桥,4)如图,☉O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为点E,若OE=3,则AB的长

是

()

A.4

B.6

C.8

D.10答案

C连接OA,

∵OC⊥AB,OA=5,OE=3,∴AE=

=

=4,∴AB=2AE=8.故选C.3.(2018四川内江资中一模,22)已知△ABC内接于半径为5的☉O,若∠A=60°,则BC的长为

.

答案5

解析连接OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D,

∴BD=CD=

BC,∵∠A=60°,∴∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=

=30°,∵OB=6,∴BD=OB·cos30°=5×

=

,∴BC=2BD=5

.4.(2018上海浦东新区一模,22)如图,在△ABC中,AB=AC=10,sin∠ABC=

,圆O经过点B、C,圆心O在△ABC的内部,且到点A的距离为2,求圆O的半径.

解析过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,

∵AB=AC,∴BD=CD,∴AD过圆心O,∵sin∠ABC=

,即

=

,∴AD=

AB=

×10=6,∴OD=AD-OA=6-2=4,∴BD=

=

=8,在Rt△OBD中,∵OD=4,BD=8,∴OB=

=

=4

,即☉O的半径为4

.1.(2018天津河东结课考试,6)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B

等于

()

A.30°

B.35°

C.40°

D.50°考点二圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系答案

C∵∠APD是△APC的外角,∴∠APD=∠C+∠A.∵∠A=30°,∠APD=70°,∴∠C=∠APD-∠A=40°,又∵∠B和∠C为同弧所对的圆周角,∴∠B=∠C=40°.故选C.2.(2017黑龙江哈尔滨南岗,6)如图,点O为坐标原点,点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),☉D过

A,B,O三点,点C为 上的一点(不与O、A两点重合),连接OC,AC,则cosC的值为

()

A.

B.

C.

D.

答案

D连接AB,∵点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),∴AO=3,BO=4,∴AB=5,∵∠C=∠OBA,∴cosC=cos∠OBA=

=

.故选D.

3.(2016吉林长春,7)如图,AB是☉O的直径,点C在圆周上,连接BC、OC,过点A作AD∥OC交☉O

于点D,若∠B=25°,则∠BAD的度数是

()

A.25°

B.30°

C.40°

D.50°答案

D∵OB=OC,∴∠B=∠C=25°,∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=50°,∵AD∥OC,∴∠BAD=∠AOC=50°,故选D.4.(2018湖北襄阳谷城模拟,22)如图,在△ABC中,AB=8,BC=5,AC=7,点D在△ABC的外接圆☉O

上,BC=BD,CD交AB于点E.(1)求证:△ABC∽△CBE;(2)求BE的长.

解析(1)证明:∵BC=BD,∴∠BCE=∠BDC.∵∠BDC=∠BAC,∴∠BCE=∠BAC.∵∠CBE=∠ABC,∴△ABC∽△CBE.(2)由(1)知,△ABC∽△CBE,∴

=

,即

=

,∴BE=

.1.(2018天津红桥一模,11)如图,A、B、C、D四个点均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的

度数为

()

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°考点三圆内接三角形、四边形答案

D连接AD,

∵OA=OD,∠AOD=50°,∴∠ADO=

=65°,∵AO∥DC,∴∠ODC=∠AOD=50°,∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°,∴∠B=180°-∠ADC=65°.故选D.2.(2017吉林长春,12)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点E在AB的延长线上,BF是∠CBE

的平分线,∠ADC=110°,则∠FBE=

.

答案55°解析∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠ADC=110°,∴∠CBE=∠ADC=110°,∵BF是∠CBE的平分线,∴∠FBE=

∠CBE=55°,故答案为55°.3.(2018天津和平质检,21)在△ABC中,∠A=68°,以AB为直径的☉O与AC,BC的交点分别为D,E.(1)如图①,求∠CED的大小;(2)如图②,当DE=BE时,求∠C的大小.

解析(1)∵四边形ABED是圆内接四边形,∴四边形ABED的任意一个外角等于它的内对角,∴∠CED=∠A.∵∠A=68°,∴∠CED=68°.(2)连接AE,

∵DE=BE,∴ = ,∴∠DAE=∠EAB=

∠CAB=

×68°=34°.∵AB为直径,∴∠AEB=90°.∴∠AEC=90°.∴∠C=90°-∠DAE=90°-34°=56°.1.(2018黑龙江哈尔滨南岗一模,9)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,点C为 的中点,若∠DAB=50°,则∠ABC的大小是

()

A.55°

B.60°

C.65°

D.70°一、选择题(每小题3分,共18分)B组2016—2018年模拟·提升题组(时间:30分钟分值:45分)答案

C连接OC,OD,

∵点C为 的中点,∴∠BOC=

∠BOD,又∠BAD=

∠BOD,∴∠BOC=∠DAB=50°,∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB=

=65°,故选C.2.(2018贵州黔南州一模,11)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为

()

A.30°

B.35°

C.45°

D.70°答案

B∵OA⊥BC,∴由垂径定理得,

= ,∵∠AOB=70°,∴∠ADC=

∠AOB=35°.故选B.3.(2018四川内江资中一模,12)在半径等于5cm的圆内有长为5

cm的弦,则此弦所对的圆周角为

()A.120°

B.30°或120°

C.60°

D.60°或120°答案

D连接OA,OB,在优弧AB上任取一点E,连接AE,BE,在劣弧AB上任取一点F,连接AF,

BF,过O作OD⊥AB,则D为AB的中点,

∵AB=5

cm,∴AD=BD=

AB=

cm,又OA=OB=5cm,OD⊥AB,∴OD平分∠AOB,即∠AOD=∠BOD=

∠AOB,∴在直角三角形AOD中,sin∠AOD=

=

,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°,又圆心角∠AOB(小于180°的∠AOB)与圆周角∠AEB所对的弧都为劣弧AB,∴∠AEB=

∠AOB=60°,∵四边形AEBF为圆O的内接四边形,∴∠AFB+∠AEB=180°,∴∠AFB=180°-∠AEB=120°,则此弦所对的圆周角为60°或120°.故选D.4.(2017陕西西安三十九中,9)如图,AB为☉O的直径,弦DC垂直AB于点E,∠DCB=30°,EB=3,则

弦AC的长为

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

D连接OC,

∵弦DC垂直AB于点E,∠DCB=30°,∴∠ABC=60°,∵OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∵EB=3,∴CB=OB=6,∴AB=12,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ACB中,AC=AB×sin60°=12×

=6

.故选D.5.(2016天津河西,11)已知A,B,C是☉O上的三个点,四边形OABC是平行四边形,那么下列结论

中错误的是

()

A.∠AOC=120°B.四边形OABC一定是菱形C.若连接AC,则AC=

OAD.若连接AC、BO,则AC与BO互相垂直平分答案

C连接O