2022-2023学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.计算(2i)2=()

A.-1B.-2C.-4D.4

2.已知4（3,2）,若前=而，则点C的坐标为（）

A.（-1,：）B.（-1,|）C.（1,|）

3.在如图所示的正方体4BCD-&B1C1D1中，异面直线

&C1与所成角的大小为（）

A.120°

B.90°

C.60°

D.45°

4.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，则下列事件是对立事件的是（）

A.“都是白球”与“至少有一个白球”B.“恰有一个白球”与“都是红球”

C.“都是白球”与“都是红球”D.“至少有一个白球”与“都是红球”

5.已知两条不同的直线a,b和平面a,若ala,则“bla”是“a〃b”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6,乙的命中率为0.5,如果甲、乙两人各射击一次，恰

有一人命中的概率为（）

A.0.3B,0.4C.0.5D.0.6

7.已知函数/（x）=sin（3X+0）（3>0、|@|<兀）的部分图象如图所示，则燃）=（）

A.土B.-CC.0D.匚

222

8.已知数据与，X2,x3与的平均数为3方差为S2,在这组数据中加入一个数以后得到

一组新数据，其平均数为9,方差为S'2,则（）

\.x'>xB.s，2>s2C.?<XD.s，2<s2

9.堑堵、阳马、鳖席这些名词出自中国古代的数学名著仇章算术•商功九如图1,把一块

长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,

得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的

三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖席.则图2中的阳马与图1中的长方体的体积

比是（）

图1

堑堵

图2

1B12

A.6-2-3-

10.设M为平面四边形4BCD所在平面内的一点，MA=a，丽=祐MC=c.而=Z,若

方+下=方+%且日1=小2，则平面四边形48co一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，复数z=1+i对应的点为Z,则|次|=

12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小

学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中

按比例分配样本，总样本量为150,那么在高中生中抽取了人.

13.在42BC中，a=8,b=7,c=3,则48=；tan(A+C)=.

14.把函数=sin(2x+学图象上的所有点向右平行移动》单位长度得到函数g(x)的图

象，则g(x)的一个对称中心坐标为.

15.如图，在△ABC中，设48=4,BC=a,NB的平分线和4c交

于。点，点E在线段BC上，且满足BE：EC=3：2,设荏=自荏+

1<2前*1，卜2eR)，则的+42=；当a=时，DE/

/AB.

16.如图1,四棱锥P-4BC。是一个水平放置的装有一定量水的密闭容器(容器材料厚度不

计)，底面4BC0为平行四边形，现将容器以棱4B为轴向左侧倾斜到图2的位置，这时水面恰

好经过CDEF,其中E,F分别为棱P4PB的中点，在倾斜过程中，给出以下四个结论：

图1图2

①没有水的部分始终呈棱锥形

②有水的部分始终呈棱柱形

③棱4B始终与水面所在平面平行

④水的体积与四棱锥P-4BC。体积之比为5：8

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题(本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题13.0分)

己知函数f(x)=sin2x+2-/-3COS2%.

(I)求函数/Xx)的最小正周期；

(II)求函数f(x)在区间［0,中上的最大值和最小值.

18.(本小题13.0分)

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网

箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量

相互独立.

顺率

旧养殖法

(I)求频率分布直方图中a的值；

(H)用频率估计概率，从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两

个网箱的箱产量都不低于55kg的概率；

(HI)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平

均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？(直接写出结果)

19.(本小题14.0分)

在△ABC中，已知sinA="=也

(I)求证：b=c；

(1口在①砒=，号;(2)csinA=3；③c?=ab这三个条件中选择一个作为己知，使△4BC存

在且唯一确定，求b的值和△ABC的面积.

20.(本小题15.0分)

己知四棱锥P-力BCD的底面为直角梯形，AB//CD,Z.DAB=90°,CD=^AB,平面24。_1_平

面ABCD,M是PB的中点.

(I)求证：CD_L平面P4D；

(H)求证：CM〃平面24。；

(HI)设棱PC与平面4。”交于点N,求幕的值.

21.(本小题15.0分)

aa

设zn,n6N*,已知由自然数组成的集合S={a1(a2<•••<n}(i<a2<•••<an).集合S2,

S；n是S的互不相同的非空子集，定义nxm数表：

X11x12-xlm

X21x22-x2m1,ci,GSj

X=,其中々j=

0,a(至S；

%九

1Xn2...^nm.

设d(右)=+勺2+・・・+Xim(i=12…，兀)，令d(S)是4内),火的)，…d(an)中的最大值.

(101\

(I)若m=3,S=[1,2,3},且X=011,求SrS2,S3及d(S)；

\100/

(11)若5={1,2,几},集合S「S2，.・.，5„中的元素个数均相同，若d(S)=3,求九的最小值;

。11)若m=7,S={1,2，…,7),集合Si，S2,…，S7中的元素个数均为3,且

；<7),求证：d(S)的最小值为3.

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：(2i)2=4i2=—4.

故选：C.

利用复数运算法则直接求解.

本题考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：4(3,2),6(—5,-1),AC=

设C(x,y),贝！］(x-3,y-2)=(-5

解得

则点C的坐标为(一年).

故选：A.

设C(x,y),则由向量坐标运算法则得(久一3,y-2)=(-5-与一1一y),由此能求出点C的坐标.

本题考查向量坐标运算法则、向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解:由图可知，BD〃B、Di，

异面直线&G与8。所成角，即异面直线41cl与当以所成角，

由正方形的性质可知，4传11.当。1，

故异面直线为Ci与BD所成角的大小为90。.

故选:B.

根据已知条件，推得所求角为异面直线&C1与当么所成角，再结合正方形的性质，即可求解.

本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球的所有情况有：一个白球，一个红

球；两个白球；两各红球，

4至少有一个白球包括两个白球和一个白球，一个红球，A不符合题意；

恰有一个白球与都是红球为互斥事件，但不是对立事件；

C：都是白球和都是红球为互斥事件，但不是对立事件；

D：至少有一个白球包括一个白球，一个红球和两个白球，与都是红球对立.

故选：D.

由已知分析各选项中的事件关系即可判断.

本题主要考查了对立事件的判断，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：若“ala,b_La”="a〃b”,是充分条件，

若"a1a,a//b),="b1a”，是必要条件，

所以若ala,则“b，a”是“a〃b”的充要条件.

故选：C.

根据充分必要条件的定义结合线面垂直的判定定理进行判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查线面关系，熟练掌握线面，线线平行、垂直的性质及判定是解题

的关键.

6.【答案】C

【解析】解：由题意得，恰有一人命中的概率为06x(1-0.5)+(1-0.6)x0.5=0.2.

故选：C.

根据相互独立事件的乘法公式计算即可.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

7.【答案】B

【解析】解：T=4x(母—

v33730)2

则/(%)=sin(|x+(p),又6,0)对应于y=s讥％的第一个点，

则有|x*+0=0,.,・乎=一看满足

•1•/"(x)=sin(|x-)则/'(勺=sin(V)=-sin^=

44O44,L

故选：B.

根据图象确定T,3,仍再计算V)即可.

本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题.

8.【答案】D

222

【解析】解：由题意可知，+%2----bXn=nx，(%1—X)+(%2—%)2d----F(%n—%)=HS,

%1+工2+…+孙+%_nx+x_-

所以/=Xf

n+1―n+1-

2222

s'=击[(Xl-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)+(x-%)]=言(ns+0)=

所以s'2Vs2.

故选：D.

根据平均数和方差的计算公式求解.

本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：根据同底面的柱体的体积公式与锥体的体积公式易得:

所求体积之比为全

故选:B.

根据柱体的体积公式与锥体的体积公式，即可得解.

本题考查柱体的体积公式与锥体的体积公式的应用，属基础题.

10.【答案】C

【解析】解：由条件可得：MA+MC='MB+HlD，

.-.MA-MB=MD-~MC，即瓦？=而，

AB//CD&AB=CD,

.••四边形4BC0为平行四边形，

,•a+c=b+d且五•c=b-d>

•••(a+c)2=@+Z)2,

.7T2—*2—»2日n--»2-->2--->2--->2

/.a+c=b+d，即MA+MC=MB+MD，

-->2--»2--->2———>2

MA-MB=MD-MC，

(MA+MB)■(MA-丽)=(MD+MC)■(MD-祝)，

即须+而).BA=(MD+MC)•而,

•••BA=CD，A(MA+MB-MD-MC).而=0,

即画+函.而=0，

••・四边形力BCD为平行四边形，

•••DA-CB,

•••2DA-CD=0，

:.育1,而,即4。为直角，

平行四边形ABCD为矩形.

故选：C.

由平面向量的线性运算和条件得瓦？=而，从而得四边形力BCD为平行四边形，再由日+己=至+之

两边同时平方，利用条件化简后可得育上而，从而选出答案.

本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属于中档题.

11.【答案】y/~2

【解析】解：z=l+i对应的点为Z,

则Z(l,l),

。为坐标原点，

则成=(1,1)，

故|场|=712+12=

故答案为：

根据已知条件，结合复数的几何意义，先求出Z点的坐标，再结合向量模公式，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

12.【答案】30

【解析】解：因为某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.共计3000+6000+

6000=15000人,

又总样本量为150,

则抽样比为揣=击,

则在高中生中抽取了3000x+=30人.

故答案为：30.

根据分层抽样的定义可解.

本题考查分层抽样的定义，属于基础题.

13.【答案I]—C

【解析】解：在AABC中，a=8,b=7,c=3,

"BE(0.1),

•，•B吗

•••tan(/I+C)=tan(7r—B)=—tanB=­V-3.

故答案为：3.

根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的诱导公式，即可求解.

本题主要考查余弦定理，以及三角函数的诱导公式，属于基础题.

14.【答案】(0,0),答案不唯一.

【解析】解：把函数/(x)=sin(2x+◎图象上的所有点向右平行移动任单位长度，

得到函数g(x)=sin(2x-1+1)=sin2x的图象，

令2x=kn,k€Z,求得x=:，kGZ,

可得g(x)的对称中心坐标为聋,0)，kez.

故函数的图象的一个对称中心为(0,0),

故答案为：(,0,0),答案不唯一.

由题意，利用函数y=4s讥(3X+0)的图象变换规律求出g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象

和性质，得出结论.

本题主要考查函数y=45讥（3%+租）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题.

15.【答案】1|

【解析】解：由BE：EC=3：2,可得而r=。品,

故荏=荏+说=荏+|就

=AB+l（AC-AB）

=河+|痔

则自+卜2=1；

由题意，8。为N4BC的角平分线，

则有需=叫=±

BCDCa

当DE//AB时，崂=凯1

”,解得a=|.

第一空，由向量的线性运算直接推出，第二空利用角平分线定理和相似三角形的知识可求得.

本题考查平面向量的线性运算，角平分线定理，属基础题.

16.【答案】①③④

【解析】解：对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没有水的部分始终呈棱锥形，①对;

对于②，由棱柱的定义可知，在倾斜的过程中，

有水的部分的几何体不是棱柱，没有两个底面平行，其余侧面也不是平行四边形②错；

对于③，倾斜前，在图1中，棱4B与水面所在平面平行，

在倾斜的过程中，容器以棱48为轴向左侧倾斜到图2的位置的过程中，

棱AB始终与水面所在平面平行，③对；

p

对于④，连接AC、CE、BE,设三棱锥P-4CD的体积为心

则三棱锥尸一ABC的体积也为V,因为E为P4的中点，贝IJS-DE=SAP°E，

所以%"OE=%-PDE=：乙因为E、F分别为PA、PB的中点，

-I-1

所以E/7/4B且EF=所以SMEF=^S^PAB,

-11

所以％-PEF=7^C-PAB=

113

-V+-y-

所以，没有水的部分的几何体的体积为%_PDE+244-!/,

5

V

所以，有水的部分的几何体的体积为2V=4-

4

因此，水的体积与四棱锥尸一/WC。体积之比为今：21/=5：8,④对.

故答案为：①③④.

由棱锥的定义可判断①；由棱柱的定义可判断②；利用线面平行的定义可判断③；利用锥体的体

积公式可判断④.

本题考查棱柱，棱锥的定义，考查线面的位置关系，考查等体积法，属于中档题.

17.［答案［解：(I)/(x)=sin2x+2V_3cos2x=sin2x++cos2xy)=sin2x+>T_3cos2x+

V~3=2sin(_2x+^>+V~3,

所以函数的最小正周期7=y=7T；

(II)因为所以2%+养生前，

令t=2x+为6岁|扪，即g(t)=2sint+

当teg，刍时，g(t)单调递增,

当teg,|兀］时，g(t)单调递减，

且9(g)=2sin^+A/-3=2-7-3,g(?)—2s讥g+V~~3=2+V3,^(|TT)=2s讥37r+y/~~3=14-

35N4OO

c

所以g(t)e[1+q,2d,

所以〃x)在区间[0,勺上的最大值2「，最小值1+q.

【解析】(I)由三角恒等变换可得函数f(x)的解析式，进而求出它的最小正周期；

(II)由x的范围，可得2x+g的范围，进而求出它的最大值，最小值的大小.

本题考查三角函数的恒等变换的应用及三角函数的性质的应用，属于基础题.

18.【答案】解:(I)已知5(0.004+0.020+0.044+a+0.046+0.010+0.008)=1,

解得a=0.068

(0)不妨设事件4为运用新网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55kg,

事件B为运用旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于55kg,

用频率估计概率，

此时P(4)=5(0.020+0.012+0.012)=0.22,P(B)=5(0.046+0.010+0.008)=0.32,

因为4,B相互独立，

所以P(4B)=P(A)P(B)=0.22x0.32=0.0704；

(HI)该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.

【解析】(I)由题意，结合频率分布直方图所给信息，列出等式即可求出a的值；

(H)设事件A,B分别为运用新，旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，箱产量不低于

55kg,用频率估计概率，得到P(4),P(B)的值，结合两事件相互独立，列出等式求解即可；

(H1)根据新养殖法和旧养殖法分布情况即可判断下一年应采用哪种养殖法更合适.

本题考查频率分布直方图，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力.

19.【答案】证明：(I)由sinA=l5sinB,根据正弦定理可得a=

又因为“=也由余弦定理得：的。=贮¥兰=白，

将”=「8代入该式，得到。2=非，即c=b；

解：(H)选①由ac=，可，且力=c,

所以一~^匕2==1,则c=1,

由“建得4B4，则乙4=与

S—Bc=^bcsinA=1;

选②根据c=b,所以a=屋，乙4=拳

因为csi7h4=3,所以c=2C，即b=2/3,

SAABC=^bcsinA=3V~~3;

选③=abf且b=c,

所以Q=C,则△4BC为等边三角形，

又乙C=*前后矛盾，舍去.

【解析】(I)由正弦定理得到a=/2b，利用余弦定理将其代入即可得证；

。口选①由加二/耳，且6=的代入三角形面积公式即可求解；

选②根据c=b,得到“=48=241=与，由cs讥4=3,代入三角形面积公式即可求解;

选③由c2=ab,且/7=/得AABC为等边三角形，与题意不符，舍去.

本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题.

20.【答案】证明：(1)因为48〃(7。，^DAB=90°,可得CD1AD,

又因为平面PAD，平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,

CDu面ABC。，

所以可证得CD_1_面24。；

(11)取「4的中点、，连接QM,DQ,

因为M，Q为中点，CD=\AB,CD//AB,/

所以QM〃CD,且QM=CD,|/A.J

所以四边形CDQM为平行四边形，DC

所以CM〃4Q,而OQu面PAD,CMC面P40,

所以CM〃面/M。；

(HI)取F点，使得而=而，取4B的中点E,连接CE,ME,

由题意可知CE〃力。，CE-AD,

所以MF=CE,且MF〃CE,

D

所以四边形CFME为平行四边形，可证得ME〃CF,且ME=CF,

因为ME〃PA,且ME=：P4,

所以CF〃P4,且CF=：P4,

连接AC,AF,可知P4CF为梯形，

设4尸与PC的交点N,即面P4CF与PC的交点为N,

在四边形P4CF中，可得罂=粤=2,

CNCF

所以我的值为2.

【解析】(I)由题意面面的垂直及线线的垂直，再由线面垂直的性质定理可证得结论；

(0)取P4的中点Q,由题意可证得QM〃CD,且QM=CD,可证得四边形为平行四边形，进而可

证得CM〃CQ,再由线面平行的条件可证得线面的平行；

(111)取而=而，取4B的中点E,可得MF〃CE,可证得P4CF为梯形，进而可求得爱的值.

本题考查线面平行，线面垂直的证法及平行线分线段成比例的性质的应用，属于中档题.

/I01\.eS-

21.【答案】解：(I)根据X=(011)和々j={o'a：£§，

可得1,3eS「2CSi，2Gs2,1，3cs2，1,26S3,3cs3,

所以Si={1,3},S2={2},S3={1,2},d(5)=2；

(11)设四€5使得打田)=d(S)=3,

则d(a。=xZ1+xi2+•••+xim<m,

所以m>3,

所以S={1,2，…,n}至少有3个元素个数相同的非空子集，

当九=1时，S={1},