导数及其应用2024年高考数专项复习

导数及其应用2024年高考数专项复习引入问题1容器装水向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）问题2高台跳水高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.一、平均变化率1．概念：对于函数，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.注：2.几何意义：平均变化率表示过与直线的斜率.练习：求在附近的平均变化率。二、瞬时速度h(t)=-4.9t2+6.5t+10在间的平均速度为.考察附近的情况：结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于常数-13.1.为了表述方便，我们用三、导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在处的导数，记作或，即注：四、导函数1.定义：在开区间内每一点都是可导的，具体是指：任给，总有.从而对开区间内的每一个，都有一个数与之对应，所以在开区间内，就构成一个新函数，此新函数称为函数的导函数，简称导数2.函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。例1．（1）求函数在x=1处的导数.（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解析：例2．求函数在点处的导数.小结：导数的几何意义一、回顾导数的概念二、导数的几何意义点沿着曲线无限接近点Q即Δx=0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线QT称为曲线在点Q处的切线.问题：割线的斜率与切线QT的斜率有什么关系？注：（1）当PQ时,割线PQ的斜率的极限,称为曲线在点Q处的切线的斜率（2）曲线在某点处有没有切线要根据割线是否有极限位置来判断，如果有切线，则唯一存在.（3）曲线的切线与曲线的公共点可以有一个，也可以有多个,甚至可以有无穷多个.（4）求曲线在某点Q处的切线方程的基本步骤:①求出切点Q的坐标;②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率；③利用直线的点斜式方程写出切线方程.例1.曲线的方程为，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程.解析：例2.求曲线经过点的切线方程.小结：求曲线的切线时，要注意区分不同的说法：通常情况下求曲线在某点处的切线时，该点即为切点；求曲线经过某点的切线时，该点不一定是切点。已知切点求切线方程的基本步骤:①求出切点Q的坐标;②求出函数在点处的导数得到曲线在点的切线的斜率；③利用直线的点斜式方程写出切线方程.过某点的切线的基本思路：例3．设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.导数的计算一、回顾导数的概念函数在处的导数的求解步骤；①求函数的增量；②求平均变化率；③取极限，得导数.二、几类常见函数的导数1.常数函数：2．幂函数：3.指数函数：4.对数函数：5.三角函数：即：三、导数的四则运算法则若函数可导，则有：（1）；（2）；（3）证明：（1）设，则，；同理可证（2）设，则由函数可导，则函数连续，因此有：，（3）略例1．求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）；（6）（7）解析：四、复合函数求导法则若函数在处可导，函数在处可导，则复合函数在也可导，且.例2．求下列函数的导数.（1）（2）（3）（4）解析：.已知是关于的多项式函数，（1）若，求；（2）若且，解不等式.解析：五、小结：第2讲导数的应用（一）——函数的单调性知识要点在函数的增区间内，；在函数y=f（x）的减区间内，.一般地，设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果，则f（x）为增函数；如果，则f（x）为减函数.若，则存在区间，使得当时，都有，也就是随x的增大而增大，减小而减小；所以在区间内单增.利用导数判断函数单调性的基本步骤：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数；（3）在定义域内解不等式或；（4）确定f（x）的单调区间。典型例题分析例1、确定函数的单调区间.解析：OyOyxOyxOA．B．C．D．例2、设是函数fOyOyxOyxOA．B．C．D．图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）解析：例3、已知函数，求导函数，并确定f（x）的单调区间．解析：例4、设函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（－1，1）内单调递增，求k的