【讲与练】高中物理人教版(2019)选择性必修1：2.3 简谐运动的回复力和能量学案

3．简谐运动的回复力和能量学习目标1．初步形成回复力的概念，理解简谐运动的能量。2．利用能量守恒研究弹簧振子，探究弹簧振子系统的机械能守恒。3．养成观察、分析、比较、归纳的良好习惯，激发学生学习物理的积极性。思维脉络知识点1简谐运动的回复力1．简谐运动的动力学定义如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成_正比__，并且总是指向_平衡位置__，质点的运动就是简谐运动。2．回复力项目内容定义振动质点受到的总能使其回到_平衡位置__的力方向总是指向_平衡位置__表达式F＝_－kx__效果总是要把物体拉回到_平衡位置__知识点2简谐运动的能量1．振动系统的状态与能量的关系(1)振子的速度与动能：速度不断_变化__，动能也在不断_变化__。(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断_变化__，因而势能也在不断_变化__。2．简谐振动的能量振动系统的能量一般指振动系统的_机械能__。振动的过程就是_动能__和_势能__互相转化的过程。(1)在最大位移处，_势能__最大，_动能__为零；(2)在平衡位置处，_动能__最大，_势能__最小；(3)在简谐运动中，振动系统的机械能_守恒__(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种_理想化__的模型。3．决定能量大小的因素振动系统的机械能跟_振幅__有关，_振幅__越大，机械能就越大，振动越强。思考辨析『判一判』(1)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)(2)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(×)(3)做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。(√)(4)回复力的方向总是跟位移的方向相反。(√)(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。(√)(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。(√)『选一选』把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(C)A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小解析：振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。『想一想』弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪些力提供？是简谐运动吗？答案：满足；不是；由弹簧弹力和重力的合力提供；是解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已伸长了x0，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg，①当振子偏离平衡位置距离为x时F回＝mg－k(x＋x0)，②由①②得F回＝－kx，所以该振动是简谐运动。探究简谐运动的回复力和加速度情境导入下图为水平弹簧振子的模型，则：(1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点？(2)振子所受的合力产生了什么效果？提示：(1)振子所受的合力总是指向平衡位置。(2)合力的效果总是把振子拉回到平衡位置。要点提炼1.对回复力的理解(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力。(2)简谐运动的回复力：F＝－kx。①k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k等于弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。②“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。③x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长量或压缩量。④回复力的作用总是把物体拉回平衡位置。2．简谐运动的加速度：据牛顿第二定律，a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(k,m)x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。特别提醒(1)回复力F＝－kx和加速度a＝－eq\f(k,m)x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。(2)k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。典例剖析典例1(2023·福建龙岩高二检测)如图甲所示，在升降机的顶部安装了一个能够显示拉力大小的传感器，传感器下方挂上一轻质弹簧，弹簧下端挂一质量为m的小球，若升降机在匀速运行过程中突然停止，并以此时为零时刻，在后面一段时间内传感器显示弹簧弹力F随时间t变化的图像如图乙所示，g为重力加速度，忽略一切阻力，则(D)A．升降机停止前在向上运动B．0～t1时间内小球处于失重状态，t1～t2时间内小球处于超重状态C．t2～t3时间内弹簧弹性势能变化量等于重力势能变化量D．t3～t4时间内小球向下运动，加速度减小解析：从0时刻开始，弹簧弹力增大，可知小球向下运动，可知升降机停止前向下运动，故A错误；0～t1时间内，弹力大于重力，加速度向上，小球处于超重状态，t1～t2时间内，弹力大于重力，加速度向上，小球也处于超重状态，故B错误；t2～t3时间内，小球向上做减速运动，根据系统机械能守恒，可知弹簧弹性势能变化量小于重力势能变化量，故C错误；t3～t4时间内小球向下运动，加速度方向向下，根据牛顿第二定律得：mg－F＝ma1，且由图像可知弹力逐渐增大，所以小球的加速度减小，故D正确。┃┃规律方法__判断一个振动为简谐运动的方法(1)通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足F＝－kx进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a＝－eq\f(k,m)x进行判断。对点训练❶(2023·山东省聊城高二检测)做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是图中的哪一个(B)解析：物体做简谐运动时，加速度和位移的关系为a＝－eq\f(k,m)x，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，根据数学知识可知图像B正确。探究对简谐运动能量的认识情境导入如图所示，在水平弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置在哪里？动能最大的位置有在哪？提示：弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。要点提炼1.决定因素对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。2．能量获得开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。3．能量转化当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，系统能量不变。4．理想化模型a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。b．从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功的能量损耗。特别提醒因为动能和势能是标量，所以：(1)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。典例剖析典例2(多选)(2023·山东六校联考高二段考)如图所示，一个质量为m＝1kg的小球连接在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定在天花板上，该弹簧的劲度系数k＝100N/m，用手把小球向上托起，直到弹簧恢复原长时，由静止释放小球，忽略空气阻力，g取10m/s2，小球会在竖直方向上来回振动。下列说法正确的是(CD)A．小球速度最大时，弹簧处于原长B．小球运动到最低点时，弹簧的弹性势能是1JC．以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为2JD．小球的最大速度是1m/s解析：小球速度最大时，弹簧的弹力等于小球的重力，则弹簧不处于原长位置，故A错误；小球在平衡位置时弹簧的伸长量x＝eq\f(mg,k)＝eq\f(10,100)m＝0.1m，小球运动到最低点，弹性势能等于重力势能的减小量，即E弹＝mg·2x＝1×10×0.2J＝2J，故B错误；以小球运动到的最低点为重力势能零参考面，小球运动到最高点时重力势能为Ep＝mg·2x＝1×10×0.2J＝2J，故C正确；小球在平衡位置速度最大，则由能量关系mgx＝E弹′＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)，其中E弹′＝eq\f(1,4)E弹＝0.5J，解得小球的最大速度vm＝1m/s，故D正确。对点训练❷如图甲所示，金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端。小球在斜面上做简谐运动，到达最高点时，弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向，小球的振动图像如图乙所示。则(C)A．弹簧的最大伸长量为4mB．t＝0.2s时，弹簧的弹性势能最大C．t＝0.2s到t＝0.6s时间内，小球的重力势能逐渐减小D．t＝0到t＝0.4s时间内，回复力的冲量为零解析：小球的振幅等于振子位移的最大值，由题图乙知，振幅为A＝2cm，由于当振子到达最高点时，弹簧处于原长，所以弹簧的最大伸长量为2A＝4cm，故A错误；由题图乙可知t＝0.2s时，弹簧处于原长，弹簧的弹性势能最小，为零，故B错误；t＝0.2s到t＝0.6s时间内，小球沿斜面向下运动，小球的重力势能逐渐减小，故C正确；t＝0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动，t＝0.4s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动，根据动量定理可知回复力的冲量不为零，故D错误。判断振动是否为简谐运动的方法(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或a＝－\f(k,m)x))，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。案例一个质量为m，侧面积为S的正方体木块放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深有mg＝ρgSΔx，当木块再被压入水中x后所受力如图所示，则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS(Δx＋x)。由以上两式，得F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。即木块做简谐运动。答案：是简谐运动1.(2023·江苏省苏州市高二下学期期中)公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以t＝0时刻作为计时起点，其振动图像如图所示，则(C)A．t＝eq\f(1,4)T时，货物对车厢底板的压力最大B．t＝eq\f(1,2)T时，货物对车厢底板的压力最小C．t＝eq\f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最大D．t＝eq\f(3,4)T时，货物对车厢底板的压力最小解析：t＝eq\f(T,4)时，货物加速度方向向下，失重，货物对车厢底板的压力最小，A错误；t＝eq\f(T,2)时，货物加速度为零，货物对车厢底板的压力等于重力大小，B错误；t＝eq\f(3,4)T时，货物加速度方向向上且最大，超重，此时货物对车厢底板的压力最大，C正确、D错误。2.(多选)(2023·山东省昌乐二中高二下学期月考)如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(CD)A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等B．振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功C．振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒解析：振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错误；振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能是压缩状态下的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态下的弹力做正功，所以B错误；振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中系统的机械能守恒，故C、D正确。3．如图所示，将质量为mA＝100g的平台A连接在劲度系数k＝200N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面C上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mB＝mA的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5cm。A的厚度可忽略不计，g取10m/s2。求：(1)当系统做小振幅简谐运动时，A的平衡位置离地面C多高？(2)当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力有多大？(3)为使B在振动中始终与A接触，振幅不能超过多大？为什么？答案：(1)4cm(2)1.5N(3)不能大于1cm解析：(1)振幅很小时，A、B不会分离，将A、B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得：kΔx0＝(mA＋mB)g，解得形变量Δx＝1cm。平衡位置距地面高度：h＝l0－Δx0＝4cm。(2)当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A，最大加速度：am＝eq\f(k(A＋Δx