2016届高三数学（理）33个黄金考点总动员考点08函数与方程解析版含解析

2016届高三数学33个黄金考点总动员

考点8函数与方程

【考点剖析】

1.最新考试说明：

(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

2.命题方向预测：

(1)考查具体函数的零点个数和零点的取值范围.(2)利用函数零点求解参数的取值范围.(3)考查函

数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想.

3.课本结论总结：

(1)几个等价关系：

方程/Xx)=0有实数根O函数%=『(x)的图象与X轴有交点O函数尸f(x)有零点.

(2)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数尸/(X)在区间［a,3上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数尸

f(x)在区间(a,力内有零点，即存在cd(a,6),使得/<c)=0,这个。也就是方程f(x)=0的根.

(3)二次函数尸a*+6x+c(a>0)的图象与零点的关系：

A>0A=0A<0

1

△±

二次函数bx+

。(a0)的图象

OX\=XiX

与X轴的交点(xl,0),(x2,0)(xl,0)无交点

零点个数两个一个(二重的)零个

(4)给定精确度用二分法求函数/X*)零点近似值的步骤如下:

①确定区间［a,b］,验证F(a)•f(8)<0,给定精确度e；

②求区间(a,6)的中点c；

③计算f(d);

(i)若F(c)=O,则c就是函数的零点；

ii)若f(a)•f(c)〈O,则令，=c(此时零点(a,c))；

(iii)若F(c)•F(6)<0,则令a=c(此时零点AOG(c,6)).

④判断是否达到精确度J即若\a-b\<e,则得到零点近似值a(或6)；否则重复②③④.

4.名师二级结论：

(1)二次函数/'(x)=ax2+6x+c(a>0)的零点分布情况

根的分布(加vn<p为

图象满足的条件

常数)

A>0

xVxKm(两根都小4Lb

---<m

于加)Al)X2a

/(m)>0

'A>0

m<X\<X2(两根都大h

<--->m

于血mV\2a

、/(，")>0

xl<m<x2(一根大于

mJ、f(m)<0

m,一根小于m)\/«2X

A>0

b

xl,x2£(m,n)(两根m<---<n

VV2a

位于m,n之间)/(/n)>0

/(n)>0

m<xl<n<x2<p(两LI/(/«)>o

根分别位于m与n,nV</(〃)<o

\Q/xpX

与P之间)2/(p)>o

(2)有关函数零点的重要结论：

(1)若连续不断的函数/Xx)在定义域上是单调函数，则Ax)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号•.

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变.

(4)函数+"吁押"'+L+"3+"。至多有“个零点.

5.课本经典习题：

(1)新课标A版必修一第88页，例1求函数/(x)=lnx+2x-6的零点的个数。

答案：仅有一个零点

解析：首先注意函数的定义域为(0,+x),再因为1f(冷=3+2>0在(0,+8)恒成立，所以函数

x

x+2x-6在(0,+x)上是噌函数，又因为_f(2)=In2-2<Ine-2=-1<0,且

/(3)=ln3>lne=l>0,由零点存在性定理及函数的单调性可知：函数/(x)=Inx+lx-6的零点有且

仅有一个.

【经典理由】函数零点个数的判断是高考命题的热点。

(2)【课本典型习题改编，P119B组第1题】方程x2-|lnM=0的解所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】由题意知，方程--|lnx|=O的解，中函数=/的交点，在同一坐标系中分别作出

函数1y=|lnx|与丁=/的图像，由图像可知声二•㈤=0叫喊在的区间是电L.

【经典理山】判断方程的根所在的大致范围这也是高考命题的一个热点，在教学中应引起足够的重视.

6.考点交汇展示：

(1)函数的零点与三角函数交汇

7T

例1【解析团队学易高考冲刺金卷36套预测卷】若关于x的方程sin2x+cos2x=Z;在区间0,-上有唯

L2］

一的实数解，则攵的取值范围为.

【答案】［T,1)U{及}

元k7T7T7T57r

【解析】原方程可变形为sin(2x+2)=3，...々W2x+°W±±,易知函数

4<22444

/(x)=sin(2x+?)在［0,§上单调递增，在《,§上单调递减，二方程sin(2x+?)=专时，有

/(O)W专</(令，即［T,1)U{0}.

考点：1.方程解的个数问题；2.可函数的单调性或函数图象的交点.

(2)函数的零点与不等式交汇

X，x<a

例2【2015高考湖南，理15】已知/(x)=《'-，若存在实数b,使函数g(x)=/(x)-b有两个零点,

x,x>a

则a的取值范围是.

【答案】(-00,0)11(1,2).

【解析】

试题分析：分析题意可知，问题等价于方程X5=b(xWa)与方程=6(x>a)的根的个数和为2,

r1

b1<a

若两个方程各有一个根：则可知关于6的不等式组〈人>4有解，从而4>1;

<a

*1

若方程/=b(xSa)无解，方程x：=6(x>a)有2个根：则可知关于方的不等式组片’有解.从而

一、历>a

a<0,综上，实数a的取值范围是(一"O)U(L+x).

考点：1.函数丐方程；2.分类讨论的数学思想.

(3)函数的零点与函数的最值、极值等交汇

例31新课标第II套预测卷】已知命题p：函数/(x)=2ax2-x-l(aW0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q：

函数)，=X2-0在(0,+8)上是减函数.若p且「q为真命题,则实数a的取值范围是().

A.a>1B.a<2C.1<a<2D.aWl或a>2

【答案】C

【解析】命题p：1:,得a>l.命题g：2-a<0,得4>2,.'.—《：a«2.故由尸

且—q为真命题,得l<a42,选C.

考点：1、函数的零点；2、函数的单调性；3、复合命题的真假.

例4【2014年高考原创预测卷(江苏版)】(本小题满分16分)

设函数/。)=丁+"+人的图像关于坐标原点对称，且与x轴相切.

(1)求的值；

(2)是否存在实数机,〃(加">0),使函数g(x)=3-"(x)l在区间［肛〃］上的值域仍是区间［孙川?

解：(1)因为/。)=、3+以+。的图像关于坐标原点对称，所以/(X)+/(-》)=0恒成立，

^•9x3+ax+b-x3-ax+b=01于是b=0.

z

设函数f(x-)=x-ax-b的图像与x轴的切点为(rO)s

则；即；f=°解得r=0。=0.

[/(?)=0|3r-a=0

故a=,=0,/(x)=xt....................6分

(2)g(x)=3-gS：，x：：

[3-r,x>0

假设存在m,n(mn>0>适合题意.

当0"时，因为g(x)=3-x：在区间[泄,可上是单调减函数，

所以泮「，即』—”；

[g(«)=w[/一泄=3

两式相激，得说：-a"-炉=1

因为。</<2所以疗<行-加”律=1,于是0<说<”1.

从而w:-«<1:-1=2<3E

与疝-”=3矛盾，故此时湘浑不存在

当m<就<0时，因为g(x)=3-X：在区间[巩”]上是单调噌函数，

所以;g*于是k”是方程g«=-V即AJ-.x-3=0的两个相异负根.

令〃(工)=/7+35〈0),则由/(用=3工2一1=0得4=一上

3

因为当x4-理时/(X)2o,所以函数人(X)在区间(一,-理]上是单调增函数，

从而函数以外在区间(-%一半]上至多有一个零点.

又因为当-34x<0时，

3

所以函数〃(外在区间(-3,0)上是单调减函数，于是以制>/0)=3>0,,

3

所以函数做X)在区间(-日,0)上没有零点.

故此时见”不存在.

综匕所述，不存在实数加,〃(加九>。),使函数g(x)=3-"(x)l在区间[九川上的值域仍是区间

[fn,n].....................16分

考点：函数与方程思想

【考点分类】

热点1函数零点的求解与判断

1.[2014山东高考理第8题】已知函数/(x)=|x—2|+l,g(x)=丘.若方程/(x)=g(x)有两个不相等的

实根，则实数人的取值范围是()

A.(0,—)B.(―,1)C.(1,2)D.(2,+°°)

【答案】B

【解析】由已知，函数f(x)Nx-2+Lg(x)=%的图象有两个公共点，画图可知当直线介于

下列条件中，使得该三次方程仅有一

个实根的是...(写出所有正确条件的编号)

®a--3,b--3；@a--3,b-2-,@a--3,b>2；@a—Q,b-2；⑤a=l,b=2.

【答案】①③④⑤

【解析】令/。)=/+以+匕，求导得/口)=3—+&,当时,f\x)>0,所以/(x)单调递增,

且至少存在一个数使/(x)<0,至:少存在一个数使/(x)>0,所以/(%)=13+奴+。必有一个零点，即方

程X，+ax+〃=0仅有•根，故④⑤正确；当a<0时，若a=-3,则/'(x)=3x?-3=3(x+l)(x-l),易

知，/(x)在(_8,-1),(1,+8)上单调递增，在［-1,1］上单调递减，所以/(©极大三〃_l)=-l+3+b=8+2,

f(x)极小寸⑴=1—3+b=b—2,要使方程仅有一根，则/(x)极大=/(-1)=—1+3+匕=匕+2<0或者

/(x)极小三/1⑴=1—3+b=b—2>0,解锯6<—2或6>2,故①③正确•所以使得三次方程仅有一个实根

的是①③④⑤.

考点：1函数零点与方程的根之间的关系：2.函数的单调性及其极值.

3.【2014天津高考理第14题】已知函数/(x)=|/+3可，x&R.若方程/(x)-a|x-1|=0恰有4

个互异的实数根，则实数。的取值范围为.

【答案】(0,1)U(9,2).

【解析】方法一：在同一坐标系中国了【X)=卜~—3耳和=a|x—1］的图象(如图)，问题转化为flx；

与x；图冢恰有四个交点.当j=a；x-1)与j=x'一3x(或j=-a|x-1与j=-x,-3x)相切时,

f：x；与g；x!图彖恰有三个交点.把j=a(x-l)代入］,=/-3x,得x'-3x=a；x-/r即

x*—；3—a：x—a=0,由_\=0,得：3-4a=0,解得a=1或a=9.又当a=0时，尸:口与g；x；

仅两个交点，二0<<2<1或4>9.

Y*-4-3x4

方法二：显然a=l,所以a=^——-.令，=x—l,则a=r+2+5.因为

x-1t

f——€(-2C:-4'U［4:—2c)»所以r-±+5W(-x』U〕9,-oc).结合图象可得0<a<1或a>9.

考点:方程的根与函数的零点.

【方法规律】

1.方程的根(从数的角度看)、函数图象与X轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题

的三种不同的表现形式.

2.函数零点的判断：

(1)解方程：当对应方程/(x)=0易解时，可通过先解方程，看方程是否有根落在给定区间上；

(2)利用函数零点的存在性定理进行判断：首先看函数尸Fx在区间［a,6］上的图象是否连续，再看是

否有f(a)•f(6)<0.若有，则函数在区间(a,6)内必有零点.

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

【解题技巧】

1.函数零点的求法：

①(代数法)求方程/(x)=0的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并利用函数的性质

找出零点。

2.确定函数/(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=/(x)在区间卜,句上的图象是否连续，再看是否有

/(«)•/S)<0.若有，则函数y=/(x)在区间(。⑼内必有零点,

(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

3.确定方程“X)=g(x)在区间［a,b］上根的个数的方法

(1)解方程法:当对应方程/(X)=g(X)易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间［a,b］上再判断.

(2)数形结合法:通过画函数y=/(x)与y=g(x)的图象,观察其在区间［a,b］上交点个数来判断.

4.函数零点个数的判断方法

(1)直接求零点：令/(X)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间句上是连续不断的曲线，且/(a)­/3)<0,还

必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就

有几个不同的零点.

函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：

(1)令f(x)=O；

⑵构造,=工(司，y2=f2(x)；

⑶作出,,当图像；

(4)由图像交点个数得出结论.

【易错点睛】

1.函数零点一忽视单调性的存在。例如：若函数Ax)在区间［-2,2］上的图象是连续不断的曲线，且/l(x)

在(一2,2)内有一个零点，则/"(一2)•/'(2)的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

解答：若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点，该零点可分两种情况：(1)该零点是变号零点，则f(一

2)•f(2)〈0；(2)该零点是非变号零点，则/'(-2)•f(2)>0,因此选D.

易错警示：警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况.

方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零

点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零

点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正

确判断.本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当/'(x)在(-2,2)内有一

个零点时，/"(—2)•/"(2)的符号不能确定.

2.要注意对于在区间［a,8］上的连续函数若施是f(x)的零点，却不一定有/1(a)•f(6)〈0,即

f(a)•f(6)<0仅是/Xx)在［a,目上存在零点的充分条件，而不是必要条件.

注意以下两点：

①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一；

②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点.

③由函数y=/(x)在闭区间句上有零点不一定能推出•f(b)<0,如图所示.所以

f(a)•/'仍)<0是卜=/(外在闭区间卜力］上有零点的充分不必要条件.

注意：①如果函数/(X)在区间〃上的图象是连续不断的曲线，并且函数/(X)在区间也,句上是一个

单调函数，那么当/(a)•/3)<0时，函数/(x)在区间(a,份内有唯一的零点，即存在唯的

ce(a,b),使/(c)=0.

②如果函数/(x)在区间可上的图象是连续不断的曲线，并且有/S)•/S)>0,那么，函数/(x)

在区间(。力)内不一定没有零点.

③如果函数/(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，那么当函数/(x)在区间(a,b)内有零点时不

一定有f⑷•f(b)<0,也可能有了⑷•fS)>0.

热点2函数零点与函数的性质的综合应用

2-|x|,x<2,

1.12015高考天津，理8】已知函数/(x)={函数g(x)=b—/(2-x),其中beR,

［(x-2),x>2,

若函数y=/(x)-g(x)恰有4个零点，则。的取值范围是()

(A)((,+8

(B)⑻1,2

【答案】D

2Txx<2,f2-l^-xlx>0

【解析】由/(x)=’,得"2-x)=J,1h~.

(x-2)sx>2,x*sx<0

2-|x|+x*,x<0

所以y=/(x)+f(l-x)=<4-|x|-|2-x|s0<x<2»

2-|2-x|+(x-2)\x>2

x:-x+2,x<0

即y=/(»+f(2_»=，2,0<x<2

x2-5x+8,x>2

y=/(x)-g(x)=/(x)+/(2-x)-h,所以j=f(x)-g(x)恰有4个零点等价于方程

f(x)+/(2-/一方=0有4个不同的解，即函数j=b与函数j=f(x)+/(2-x)的图象的4个公共点,

由图冢可知yv6<2.

考点：求函数解析、函数与方程思、数形结合.

2.12014全国1高考理第11题】已知函数/(X)=G?-3X2+1,若/(x)存在唯一的零点后,且%>0,

则。的取值范围是()

A.(2,+8)B.(l,+oo)C.(—oo,—2)D.(—oo,-l)

【答案】C

【解析】

试题分析：当a=0时，/(x)=-3xz+1,函数/(x)有两个零点和-兰，不满足题意，舍去；当a>0

33

:

时，/(x)=3ax-6x,令f(»=0,得x=0或x==xe(-x：0)时，/(x)>0;XE(0」)时，

aa

/(x)<0;xw(±+x)时，/(x)>0,且f(0)>0,此时在xw(-x：0)必有零点，故不满足题意，舍

a

去；当々<0时，xw(-oc」)时，/(x)<0;xw(±0)时，/(x)>03x£(0：+x)时，/(x)<0,且

aa

/(0)>0,要庾得f(x)存在唯一的零点可，且毛>0,只需〃3>0,即/>4,则a<-2,选C.

ZT

考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性.

3.12014高考湖南卷第10题】已知函数/(幻=/+，一3(了<0)与8(*=/+111。+幻图象上存在关

于y轴对称的点，则。的取值范围是()

B.（-OO,五）

【答案】B

、1,.1

【解析】由题可得存在.qE（-x：O）满足f（毛）=g（-々）一彳=（一—「+也！一天+々I

=e七-In（-々+a）-g=0,令〃（工）=/一1n（一%+4）-］因为函数］，=/和y-Tn（-x+aj在定义

域内都是单调递增的,所以函数，2（x）=/-ln（-x+a）-1在定义域内是单调涅噌的,又因为x趋近于-X

时，函数Mx）<0且〃（X）=0在（-x,0）上有解（即函数翻X）有零点）,

所以〃（01=e'-InI0+al-i>0=lna<ln&=a<“，故选B.

考点：指对数函数方程单调性

4.【2014高考江苏卷第13题】已知/（x）是定义在R上且周期为3的函数，当xe［O,3）时，

/（x）=Y一2x+；,若函数y=/（x）—。在区间［—3,4］上有10个零点（互不相同），则实数。的取值范

围是.

【答案】（0,3）

【解析】作出函数/（x）=》2-2犬+；,工€［0,3）的图象，可见/（0）=g,当X=1时，/（X）极大=3，

7

/（3）=/,方程/。）一。=0在工€［-3,4］上有10个零点，即函数y=/（x）和图象与直线y=a在［-3,4］

上有10个交点，由于函数/（x）的周期为3,因此直线y=a与函数/（x）=/-2》+2，X6［0,3）的应该

考点：函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题.

【方法规律】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

1.直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;

2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

【解题技巧】

1.应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

2.与方程根有关的计算和大小比较问题的解法

数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.

3.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法,

即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数)=/,

)'二g(x),即把方程写成了(R=g(*)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根

据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.

【易错点睛】用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题：

①第一步中要使：(D区间长度尽量小；

⑵/(«),/⑸的值比较容易计算且/(")•/S)<0.

②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的.

对于求方程/(x)=g(x)的根，可以构造函数F(x)=/(x)-g(x),函数/(x)的零点即为方程

f(x)=g(尤)的根.

③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度£，当区间长度小于精确度£时，运算即告结束,

此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解.

【热点预测】

1.【稳派2014年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】若函数y=/(x)(xeR)满足

/(x+1)=—/(X)且XW(-1,1］时，f(x)=l-x2,函数g(x)=Asin5分别在两相邻对称轴x=1与

x=-l处取得最值1与T,则函数〃(x)=/(x)-g(x)在区间［0,2014］内零点的个数为()

A.1006B.1007C.1008D.1010

【答案】C

【解析】

试题分析：/(X+1)=-/(X+1)=/(X)，故/(X)周期为2,g(x)=sin/x,在同一坐标系内作出函数/(x)

qg(x)的图象，利用函数力(x)的周期为4,数形结合即得交点个数为503x2+2=1008,故选C.

2.【改编题】已知。是函数/(x)=2'-k)g|x的零点，若0</<a,则/(为)的值满足()

2

A./(xo)=OB./(xo)>0C./(xo)<0D./(%)的符号不确定

【答案】C

【解析】；/(x)=2*-log!x在10,+oo)上耳增函数,又“三由数/(x)=2*-logjx的零点,即/a।=0,

22

当0<x()<a时，/(x0)<0.

3.设函数f{x}(%6R)满足f(-x)=f(x),F(x)=f(2-x),且当xe［0,1］时,f(x)=x.又函数

13

g(x)=|xcos(7x),则函数A(㈤书⑸-以旧在1—上的零点个数为()

22

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】因为当xe［0,l］时,f(x)=x1所以当xe［l,2］时，(2-x)e［0,1］,f(x)=f(2—*)=(2

当xe［0,；］时,g(x)=ACOS(7x);当xe时,g(x)=—ATOS(7TX),注意到函数f(x)、g(x)都

是偶函数，且f(0)=g(0),f(l)=g(l),gW)=g§)=0,作出函数/U)、g(x)的大致图象,函数力(x)

除了0、1这两个零点之外,分别在区间［-3,0］、［0,；以;，1］、口,|］上各有一个零点,共有6个

零点,故选B.

4.【2014年温州市高三第一次适应性测试】设函数/(幻="3+加2+5,若1和T是函数/(%)的两个零

点，王和々是f(x)的两个极值点，则玉々等于()

A.一1B.IC.—D.—

33

【答案】C

【解析】

试题分析：/(x)=x(ax2+芯+c),若1和T是函数f(x)的两个零点，即1和-1是方程以2+加:+c=0的

两根，＜“得到Z?=0,c=/(x)=ax'-ax,/'(X)=3。『-Q,由已知得X1和々是

1x(-1)=-

a

/(x)=0的两根，所以=二@=一』，故选C.

3a3

5.【成都市新津中学高2014届高三(下)二月月考】已知函数/(x)=一、-2"+"(x(°),且函数

[/(x-l)(x＞0)

y=/(x)—x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()

A.(0,+°°)B.[—1,0)C.[―1,+°°)D.[―2,+°°)

【答案】C

【解析】

试题分析：＞,=—X*—2x+a=—(x+l)*+l+a＞其顶点为,T(—l1+a),点CQl+a)在出数图象上，而

点8(0：a)不在函数图冢上.结合图形可知，当42-1,函数j=f(x)-x恰有3个不同的零点.

6.【2015届四川省成都市高中毕业班摸底测试】已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4—x)=f(x),且当

X~,XG(—1,1]

xG(—1,3]时，f(x)=LK,,力，则函数g(x)=f(x)一门gx|的零点个数是()

1+COSyX,xe(l,3]

A、7B、8C、9D、10

【答案】D

【解析】山f(x)是定义在R上的偶函数，知x=0是它的一条对称轴

又由f(4—x)=f(x),知x=2是它的一条对称轴

于是函数的周期为(2—0)X2=4

画出f(x)的草图如图，其中y=lgx|在(1,+8)递增且经过(10,1)点

0110x

函数g(x)的零点，即为y=f(x)与y=|lgx1的交点

结合图象可知，它们共有10个交点，选D.

7.【上海市静安区2014届高三上学期期末考试】已知函数f8是定义在实数集三上的以2为周期的偶函

数，当0时，/(*)=r.若直线J=x+a与函数，住)的图像在内恰有两个不同的公共点，

则实数上的值是()

A.或-；；B.0；C,。或一：；D.。或-工-

r__r

【答案】D

【解析】

:

试题分析：根据已知可得函数/(x)=(,x-2k)sxe[2k-llk+I);keZ,在直角坐标系中作出它的图冢,

如图，再作直线j=x+a,可见当直线j=x+a与抛物线j=相切时，或者直线j=x+a过原点时，

符合题意，此时a=-L或a=0.

4

8.【河南省郑州市2014届高中毕业年级第•次质量预测试题】定义在R卜.的函数

f(x)=ax3+bx2+cx(a声0)的单调增区间为(―1,1),若方程3a(”x))2+2好'(x)+c=0恰有4个不同的

实根，则实数a的值为()

A.-B.--C.1I).-1

22

【答案】B

【解析】

试题分析：函数/"(x)=W+#+cx(aHO)的单调增区间为(Tl),「.T和I是/(x)=0的根，

f,,2b

、1-1+1=--.

f(x)=3ax'+2bx+c>>'.<:.6=。，c=-3a,f(x)=ax2-3ax,

—1x1=—

.3a

：.3a(f(x))2+2b(f(x))+c=0,.­.3a(/(x)):-3a=0,：.f\x)=l,/./(x)=il,

J"1)=1._1

•・/，・・〃=——.

a,x=l

9.【河北省衡水中学2014届高三上学期第五次调研考试】函数/(x)=।一।若关于x的方程

2/2(x)-(2a+3)/(x)+3a=O有五个不同的实数解，则”的取值范围是()

3333

A.(1,2)B.(l-)U(-,2)C.厂,2)D.(1,\)

2222

【答案】B

【解析】

,3

试题分析：；2/2(x)—(勿+3)/(x)+3a=0,(2/(x)-3)(/(x)-a)=O,二/(x)=M或/(x)=a,

33

,由图像可知：a的取值范围是(1,—)U(—,2).

22

10.【山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试】已知定义在R上的函数/(x)满足：

2

(x+2,xe[0,1),?x+5r、

/(了卜花24]°)南(％+2)=/(》)，g(x)=-、+2，则方程/(x)=g(x)在区间[―5,1]上

的所有实根之和为

A.—5B.—6C.—1D.—8

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意知g(x)=三二^=''=/+1=2+」-,函数“X)的周期为2,则函数f(x),g(x)在

x+2x+2x+2

区间［-5」］上的图象如下图所示:

由图形可知函数/(x),g(x)在区间［-5」］上的交点为4B,C，易知点5的横坐标为-3,若设C的横生标

为"0<1)，则点以的横坐标为-4-f，所以方程/(x)=g(x)在区间［-5,1］上的所有实效根之和为

-3-(—i-o-r=-7.

［4x—4,x<1J

11.【成都七中高2014届高三3月高考模拟考试】设函数/(x)=1,，则函数g(x)=/(x)+-

［X2-4X+3,X>12

的零点个数为个.

【答案】3

【解析】

4x—4X<］

试题分析：将/(尤)=9'一的图象向上平移个单位得g(x)的图象，山图象可知，g(x)有3个

x--4x+3,x>1

12.【广东省梅州市2014届高三3月质检】已知函数/<(*)=七W,其中[切表示不超过实数x的最大整数,

若关于x的方程/1(x)=M4有三个不同的实根，则实数4的取值范围是.

【答案】f-1,—u—，—]

I2」[43)

【解析】

试题分析：关于x的方程/(x)=H+k有三个不同的实数根，转化为j=f(x),j=h+k=k(x+l),

两个函数图像有三个不同的交点，函数j=/(x)的图像如图，函数j=k(x+l)恒过定点为(-1,0卜观察

图像易得：11；

了§।

13.【江苏省连云港市2014届高三第二次调研考试】已知函数/*)=卜2：一/心,、忘0,80)=/(；0+2上，

[-x~+4x+3,x>0,

若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围为.

【答案】'g,_£|u{0,等}

【解析】

试题分析：尸(x)=<「一尸(x)=0的解为=xw(-E-^)U(Z+oc)时,

-2x+4,x>0,

/1(x)<0,当xw(-JIO)U(OJ)时，/,(x)>0,从而/(x)在区间(一七一逝)和(2,+x)上是减函数，

在区间(-JR0)和(0,2)上是激函教，lim/(x)=0,当xf+x时，/(X)T-X.如图是f(x)的图象,

X->-B

f(x)今三=/(7^)=,/(x)长大w=f(2)=7,方程g(x)=f(x)+2太=0的解就是函数

j=f(x)的图冢与直线N=-2左的交点的横坐标，当3<-2左<7或一2k=0或-2K=-匚£二时，有两

个交点，即方程有两个解，或称g(x)有两个零点，-；<左<-：或左=0或2=与1.

14.【2015高考北京，理14】设函数〃无)=,2U''

[4(1一Q)(X-2Q),x^l.

①若a=1,则/(x)的最小值为；

②若“X)恰有2个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】(1)1,(2)-<a<1或a>2.

2

【解析】①a=1时，/(x)=/2J1'、,函数/'(x)在(—8,1)上为增函数，函数值大于1,

l4(x-l)(x-2),x^\.

333

在[1号为减函数，在勺，+8)为增函数，当x=1时，f(x)取得最小值为1;

(2)①若函数g(x)=2Z-a在x<1时与x轴有一个交点，则a>。，并且当*=1时.g(l)=2-a

>0,则0<a<2,函数Ax)=4(x-a)(x-2a)与x轴有一个交点，所以

2a>1且a<l=>-<a<ls

2

②若函数g(x)=2X-a与x轴有无交点，则函数Hx)=4(x-a)(x-2a)与>轴有两个交点，当

a<0时g(x)与x轴有无交点，Kx)=4(x-a)(JT-2a)在x>1与x轴有无交点，不合题意；当

X1)-2-a>。时，a>2,方(x)与x轴有两个交点，x=a和x=2a,由于a>2.两交点横

坐标均满足x>1；综上所述a的取值范围L<a<1或a>2.