江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记

(WORD)-2013江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)2013江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)第I卷160分部分一、填空题答卷提醒:重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A、1,4题，基础送分题，做到不失一题～A1.集合性质与运算1、性质:?任何一个集合是它本身的子集，记为AA;?空集是任何集合的子集，记为A;?空集是任何非空集合的真子集;如果AB，同时BA，那么A=B(如果AB，BC，那么AC(【注意】:?Z={整数}(?)Z={全体整数}(×)?已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集((×)?空集的补集是全集(?若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS(CAB)=D(注:CAB=)(2、若,={a1,a2,a3an}，则,的子集有2n个，真子集有2n,1个，非空真子集有2n,2个.3、A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC);(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)4、DeMorgan公式:CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.【提醒】:数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。A2.命题的否定与否命题*1.命题pq的否定与它的否命题的区别:命题pq的否定是pq,否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”,“p且q”的否定是“p或q”.*2.常考模式:全称命题p:,xM,p(x);全称命题p的否定p:,xM,p(x).特称命题p:,xM,p(x);特称命题p的否定p:,xM,p(x).A3.复数运算*1.运算律:?zmznzm,n;?(zm)nzmn;?(z1z2)mz1mz2m(m,nN).【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质:?|z1z2||z1||z2|;?|*3.重要结论:?|z1,z2|,|z1,z2|2(|z1|,|z2|?z1z22222222z1|z1|nn|;?zz.z2|z2|);1,i1,i,i，i;1,i1,i,i,i4n1.122i.1zz;?,1i,2i;?4n,1?i性质:T=4;i3i,i4n,2,1,i4n,32【拓展】:1,,1,,,,1,01或,A4.幂函数的的性质及图像变化规律:(1)所有的幂函数在(0,,)都有定义，并且图像都过点(1,1);(2)a0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,,)上是增函数(特别地，当a1时，幂函数的图像下凸;当0a1时，幂函数的图像上凸;(3)a0时，幂函数的图像在区间(0,,)上是减函数(在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴(【说明】:对于幂函数我们只要求掌握a1,2,3,1,1的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，23并且x,1时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5.统计1.抽样方法:(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点:每个个体被抽到的概率都相等(n).N2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握:一“表”(频率分布表);两“图”(频率分布直方图和茎叶图).?频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频数?频率=.样本容量频率?小长方形面积=组距×=频率.组距?所有小长方形面积的和=各组频率和=1.【提醒】:直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.?茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计;11n样本平均数:x(x1,x2,,xn)xinni14.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据x1,x2,x3,,xn?样本方差11n1n21n2222S[(x1,),(x2,),,(xn,)](xi,)(xi),(xi)2;ni1ni1ni1n2?样本标准差(2)两组数据x1,x2,x3,,xn与y1,y2,y3,,yn,其中yaxi,b,i1,2,3,,n.则,b,它们的方差为SyaSx,标准差为y|a|x?若x1,x2,,xn的平均数为x，方差为s，则ax1,b,ax2,b,,axn,b的平均数为ax,b，方差为as.222样本数据做如此变换:xiaxi,b，则xax,b，(S)aS.222222''B、(5,9，中档题，易丢分，防漏/多解)B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域:(1)当A0时，若Ax,By,C0表示直线l的右边，若Ax,By,C0则表示直线l的左边.(2)当B0时，若Ax,By,C0表示直线l的上方，若Ax,By,C0则表示直线l的下方.2、设曲线C:(A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2)0(A1A2B1B20)，则(A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2)0或0所表示的平面区域:两直线A1x,B1y,C10和A2x,B2y,C20所成的对顶角区域(上下或左右两部分).3、点P0(x0,y0)与曲线f(x,y)的位置关系:若曲线f(x,y)为封闭曲线(圆、椭圆、曲线|x,a|,|y,b|m等)，则f(x0,y0)0，称点在曲线外部;若f(x,y)为开放曲线(抛物线、双曲线等)，则f(x0,y0)0，称点亦在曲线“外部”.4、已知直线l:Ax,By,C0，目标函数zAx,By.?当B0时，将直线l向上平移，则z的值越来越大;直线l向下平移，则z的值越来越小;?当B0时，将直线l向上平移，则z的值越来越小;直线l向下平移，则z的值越来越大;5、明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义:(1)zax,by，若b0，直线在y轴上的截距越大，z越大，若b0，直线在y轴上的截距越大，z越小.(2)y,mx,n表示过两点,x,y,,,n,m,的直线的斜率，特别22yx表示过原点和,n,m,的直线的斜率.(3)t,x,m,,,y,n,表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.表示,x,y,到点,0,0,的距离.(5)F(cos,sin);(4)y(6)d22(7)aab,b;;【点拨】:通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x+y=1上的点(cos,sin)及余弦定理进行转化达到解题目的。B2.三角变换:三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换(三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础(三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决(三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升)、系数(常值“1”)和运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.角的变换主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.变换化简技巧:角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地:(1)角的“配”与“凑”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下:2,，2;2,,，,2,,,;222222,,,,(,),(,),,22[(,),]2[(,),](,),(,)(,),(,);,,,,,;2,(,),，2,(,),;1545,30,7545,30;,,,等.42数学应试笔记第2页,4,(2)“降幂”与“升幂”(次的变化)利用二倍角公式cos2cos2,sin22cos2,11,2sin2和二倍角公式的等价变形sin2，cos2，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.(3)切割化弦(名的变化)利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.(4)常值变换.此外，对常值“1”可作如下代2换:1sin2x,cos2xsec2x,tan2xtanxcotx2sin30tansincos0等.常值42(5)引入辅助角一般的，asin,bcosbcostan.a)sin(,)，期中特别的，sinA,cosAA,);4sinxx2sin(x,)，3x,cosx2sin(x,)等.6(6)特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例:Asin20,cos50,sin20cos50，Bcos20,sin50,cos20sin50可以通过A,B2,sin70,A,B,(7)整体代换举例:sinx,cosxm2sinxcosxm,1sin(,)m，sin(,)n，可求出sincos,cossin整体值，作为代换之用.B3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点((1)角的变换因为在ABC中，A,B,C(三内角和定理)，所以任意两角和:与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形:?三内角都是锐角;?三内角的余弦值为正值;?任两角和都是钝角;?任意两边的平方和大于第三边的平方.即，sinAsin(B,C);cosA,cos(B,C);tanA,tan(B,C)(222221,sin70两式和，作进一步化简.2sinA2cosB,C2;cosA2sinB,C2;tanA2cotB,C2.(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理(11面积公式:SshaabsinCrp.22ABBCCA其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半(tantan,tantan,tantan1222222(3)对任意ABC，;在非直角ABC中，tanA,tanB,tanCtanAtanBtanC((4)在ABC中，熟记并会证明:*1.A,B,C成等差数列的充分必要条件是B60(*2.ABC是正三角形的充分必要条件是A,B,C成等差数列且a,b,c,成等比数列(*3.三边a,b,c成等差数列2ba,c2sinAsinB,sinCtan*4.三边a,b,c,成等比数列b2acsin2AsinBsinC,B?(5)锐角ABC中,A,B2AC1tan;B?.22333.sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA，a2,b2c2;sinA,sinB,sinCcosA,cosB,cosC.【思考】:钝角ABC中的类比结论(6)两内角与其正弦值:在ABC中，abABsinAsinBcos2Bcos2A，,222(7)若A,B,C，则x,y,z?2yzcosA,2xzcosB,2xycosC.B4.三角恒等与不等式组一sin33sin,4sin3,cos34cos3,3cossin2,sin2sin,,,sin,,,cos2,cos2tan33tan,tan31,3tan2tantan(3,)tan(3,)组二tanA,tanB,tanCtanAtanBtanCABCsinA,sinB,sinC4coscoscos222ABCcosA,cosB,cosC1,4sinsinsin222sin2A,sin2B,sin2C2,2cosAcosBcosC,,组三常见三角不等式(1)若x(0,2)，则sinxxtanx;)，则1sinx,cosx(2)若x(0,2(3)|sinx|,|cosx|?1;(4)f(x)sinx在(0,)上是减函数;xB5.概率的计算公式:?古典概型:P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数mcard(A)?等可能事件的概率计算公式:p(A);ncard(I);?互斥事件的概率计算公式:P(A+B),P(A)+P(B);?对立事件的概率计算公式是:P(A)=1,P(A);?独立事件同时发生的概率计算公式是:P(A•B),P(A)•P(B);?独立事件重复试验的概率计算公式是:kkPn(k)CnP(1,P)n,k(是二项展开式[(1,P)+P]n的第(k+1)项).?几何概型:若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g}，则A的概率定义为P(A)g的测度的测度构成事件A的区域长度(面积或体积等)试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)注意:探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理:把所求的事件数学应试笔记第4页转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件.事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.【说明】:条件概率:称P(B|A)P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。P(A)注意:?0P(B|A)1;?P(B?C|A)=P(B|A)+P(C|A)。B6.排列、组合(1)解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是:位置分析法元素分析法用加法原理(分类)?直接法:插入法(不相邻问题)用乘法原理(分步)捆绑法(相邻问题)?间接法:即排除不符合要求的情形?一般先从特殊元素和特殊位置入手.(2)解排列组合问题的方法有:?特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置)。?间接法(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉))。为一个大元素，然?相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列)。?不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间)。?多排问题单排法。?多元问题分类法。?有序问题组合法。?选取问题先选后排法。?至多至少问题间接法。?相同元素分组可采用隔板法。?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.(3)分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n!.B7.最值定理?x,y0,由x,y?xyP(定值)，则当xy时和x,y有最小值;?x,y0,由x,y?x,yS(定值)，则当xy是积xy有最大值【推广】:已知x,yR，则有(x,y)(x,y),2xy.(1)若积xy是定值，则当|x,y|最大时，|x,y|最大;当|x,y|最小时，|x,y|最小.(2)若和|x,y|是定值，则当|x,y|最大时，|xy|最小;当|x,y|最小时，|xy|最大.?已知a,x,b,yR，若ax,by1，则有:1x,111byax(ax,by)(,)a,b,,?a,b,yxyxy,,12s.42222xyxyB8.求函数值域的常用方法:?配方法:转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解;【点拨】:二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间[m,n]上的最值;二是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.?逆求法:通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如?a,x,b,yR，若a,b1则有:x,y,x,y,(ay,bx)a,b,yax,bcx,d,x(m,n)的函数值域;?换元法:化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域;?三角有界法:直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域;?不等式法:利用基本不等式a,ba,bR,)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如yx,k(k0)，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技x巧;?单调性法:根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解;?数形结合法:函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域;?分离常数法:对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域(a1x2,b1x,c1?判别式法:对于形如y(a1,a2不同时为0)的函数常采用此法(a2x2,b2x,c2【说明】:对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式:b型，可直接用不等式性质;k,x2bx2.y2型，先化简，再用均值不等式;x,mx,nx2,mx,n3.y2型，通常用判别式法;x,mx,nx2,mx,n4.y型，可用判别式法或均值不等式法;mx,n1.y?导数法:一般适用于高次多项式函数求值域.,,B9.函数值域的题型(一)常规函数求值域:画图像，定区间，截段.常规函数有:一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二)非常规函数求值域:想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤:(1)换元变形;(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围;(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域:四种题型ccx,dy(1)y(a0):则且yR.aax,bcx,d(x2):利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.(2)yax,b2x2,3x,2(3)y:6x2,x,11(2x,1)(x,2)x,21(x)，则y且y1且yR.y(2x,1)(3x,1)3x,1232x,1(4)求y2的值域，当xR时，用判别式法求值域。x,x,12x,1y2yx2,(y,2)x,y,10，(y,2)2,4y(y,1)0值域.x,x,1数学应试笔记第6页(四)不可变形的杂函数求值域:利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.判断单调性的方法:选择填空题首选复合函数法，其次求导数;大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.(五)原函数反函数对应求值域:原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.(六)已知值域求系数:利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”:?凑系数(乘、除变量系数).例1.当0x4时，求函的数yx(8,2x)最大值.51，求函数f(x)4x,2,的最大值.44x,5x2,7x,10?调整分子:例3.求函数f(x)(x,1)的值域;x,1a2,b2a,ba,b2?变用公式:基本不等式ab,(有几个常用变形:)ab，222a,ba2,b2a,b2，().前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视;例4.求函数22215yx)的最大值;22162?连用公式:例5.已知ab0，求ya,的最小值;b(a,b)1lny?对数变换:例6.已知x,y1，且xye，求t(2x)的最大值;2?凑项(加、减常数项):例2.已知x?三角变换:例7.已知0y?x2，且tanx3tany，求tx,y的最大值;?常数代换(逆用条件):例8.已知a0,b0，且a,2b1，求tB11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞:?平方和为定值11,的最小值.ab,y,，其中0?2.15?f(x,y)x,y,,)在[0,],[,2)上是增函数，在44415[,]上是减函数;44113571357?g(x,y)xyasin2在[0,],[,],[,2)上是增函数，在[,],[,]上是减244444444若x,ya(a为定值，a0)，可设x22函数;11x,y,.令tsin,cos,)，其中xyxy42t[,,1),(,.1由)t(211,2]cos，得2sin，从而1,2sintc,os2在[,1)(,1,1)上是减函数.m(x,y)t,)t?m(x,y)?和为定值若x,yb(b为定值，b0)，则yb,x.?g(x,y)xy,x,bx在(,,]上是增函数，在[,,)上是减函数;2b2b2bb11x,yb.当b0时，在(,,0),(0,]上是减函数，在[,b),(b,,)上,2xyxy,x,bx22bb是增函数;当b0时，在(,,b),(b,]上是减函数，在[,0),(0,,)上是增函数.22bb?n(x,y)x2,y22x2,2bx,b2在(,,]上是减函数，在[,,)上是增函数;22?m(x,y)?积为定值若xyc(c为定值，c0)，则y?f(x,y)x,yx,c.xc.当c0时，在[上是减函数，在(,,,)上是增x函数;当c0时，在(,,0),(0,,)上是增函数;11x,y1c0上,是]减函数，在?m(x,y),(x,).当c0时，在[,0)xyxycx(,,,)上是增函数;当c0时，在(,,0),(0,,)上是减函数;c2c2?n(x,y)x,yx,2(x,),2c在(,,上是减函数，在(,)上是xx222增函数.?倒数和为定值c1112111，则y.成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中z，,d,,)xydxdyxddd1111则,z,,z,得x,y..xdyd1,dz1,dz2d1111?f(x)x,y.当时，在上是减函数，在(,,,),(,,0][0,),(,,)上是增函d0221,dzdddd1111数;当d0时，在(,,),(,0]上是增函数，在[0,,),(,,,)上减函数;dddd1111d2.?g(x,y)xy.当时，在上是减函数，在(,,,),(,,0][0,),(,,)上是增函d0221,dzdddd1111数;当d0时，在(,,),(,0]上是减函数，在[0,,),(,,,)上是增函数;dddd2d2(d2z2,1)2222.?n(x,y)x,y.令tdz,1，其中t?1且t2，从而222(dz,1)若2d2t2d2在[1,2)上是增函数，在(2,,)上是减函数.n(x,y)24(t,2)t,,4tB12.理解几组概念*1.广义判别式设f(x)是关于实数x的一个解析式，a,b,c都是与x有关或无关的实数且a0，则b,4ac?0是方程af(x),bf(x),c0有实根的必要条件，称“”为广义判别式.*2.解决数学问题的两类方法:一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决;二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法.*3.二元函数设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量Z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z称为变量x与y的二元函数.记作:Zf(x,y).其中x与y称数学应试笔记第8页22为自变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域.把自变量x、y及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在xoy平面内作出函数Zf(x,y)的定义域D;再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xoy平面的有向线段MP，使其值为与(x,y)对应的函数值Z;当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数Zf(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy平面上的投影.*4.格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点(又称整数点).在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念.*5.间断点我们通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点，且其左、右极限都存在，我们把x0称为函数f(x)的第一类间断点;不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.*6.拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.如果yf(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定yf(x)的拐点.(1)求f(x);(2)令f(x)0，解出此方程在区间(a,b)内实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f(x)在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点.*7.驻点曲线f(x)在它的极值点x0处的切线都平行于x轴，即f(x0)0.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点);但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点.*8.凹凸性1则称是f(x)上)?[f(x1),f(x2)]，22x,x1的凸函数.定义在D上的函数如果满足:对任意的x1,x2D都有f(12)?[f(x1),f(x2)]，则称f(x)是D上22定义在D上的函数f(x)，如果满足:对任意x1,x2D的都有f(x1,x2的凹函数.【注】:一次函数的图像(直线)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等号成立).若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的;若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.B13.了解几个定理*1.拉格朗日中值定理:如果函数yf(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使f(b),f(a)(b,a)f(c)成立.这个定理的特殊情形，即:f(b)f(a)的情形.描述如下:若(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且(a)(b)，那么在(a,b)内至少有一点c，使(c)0成立.*2.零点定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b),0(那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a,,b)使f()0(*3.介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同函数值，f(a)A,f(b)B，那么对于A,B之间任意的一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()C(a,,b)(*4.夹逼定理:设当0,|x,x0|,时，有g(x)?f(x)?h(x)，且limg(x)limh(x)A，则必有limf(x)A.xx0xx0xx0【注】:|x,x0|:表示以x0为的极限，则|x,x0|就无限趋近于零((为最小整数)C、10,12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式PP2(或2设P112的分点，是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP11，则xyx1,x2OP,OP211,1)OPOPtOP1,(1,t)OP2(ty1,y21,1,1,y1,y2y2推广1:当1时，得线段P1P2的中点公式:xx1,x22PBOA推广2则PMPA,PB(对应终点向量)(1,x1,x2,x3x3三角形重心坐标公式:?ABC的顶点A,x1,y1,,B,x2,y2,,C,x3,y3,，重心坐标G,x,y,:yy1,y2,y33注意:在?ABC中，若0为重心，则,,，这是充要条件(【公式理解】:*1.λ是关键(,1)12P1P2PPP1P2(内分)λ>0(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)若P与P1重合，λ=0P与P2重合，λ不存在P离P2P1无穷远，λ=,1*2.中点公式是定比分点公式1的特例;*3.始点终点很重要，如若P分P1P2的定比λ=*4.x1,x2,x,知三求一;*5.利用有界性可求一些分式函数取值范围;*6.,1OA,2OB则1,21是三点P、A、B共线的充要条件.C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:(1)借助模型函数探究抽象函数:?正比例函数型:f(x)cxf(xy)f(x)f(y),f(1)c.?指数函数型:f(x)af(x,y)f(x)f(y),f(x,y)xx1，则P分P2P1的定比λ=2;2f(x)f(y),f(1)a0.?对数函数型:f(x)logaxf(xy)f(x),f(y),f()f(x),f(y),f(a)1(a0,a1).y?幂函数型:f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1),f()xf(x)f(y)y.?三角函数型:f(x)cosx,g(x)sinx,f(x,y)f(x)f(y),g(x)g(y),f(0)1,limf(x)tanx,f(x,y)f(x),f(y)1,f(x)f(y)sinx1.x0x.数学应试笔记第10页(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:(3)利用一些方法(如赋值法(令x,0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或y,x等)、递推法、反证法等)进行逻辑探究。C3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1:对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有的图像关于直线xa,b2对称.【注】:f(a,mx)f(b,mx)(m0)亦然.【特例】，当ab时，f(a,x)f(a,x)f(x)的图像关于直线xa对称.【注】:f(x)f(2a,x)亦然.性质2:对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有f(a,x)f(b,x)f(x)的,0)对称.2【特例】:当ab时，f(a,x),f(a,x)f(x)的图像关于点(a,0)对称.图像关于点(a,b【注】:f(x),f(2a,x)亦然.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3:设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有f(a,mx)f(b,mx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于直线xa,b2对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4:设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有f(a,mx),f(b,mx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于点(a,b2,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【注】:f”放在“”的两边，则“f”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.(2)两个函数图像之间的对称性1.函数yf(x)与y,f(x)的图像关于直线y0对称.2.函数yf(x)与yf(,x)的图像关于直线x0对称.3.函数yf(x)与y,f(,x)的图像关于原点(0,0)对称.4.函数yf(x)与它的反函数yf(x)的图像关于直线yx对称.5.函数yf(a,mx)与yf(b,mx)的图像(a,b,mR,m0)关于直线x特别地，函数yf(a,x)与yf(b,x)的图像关于直线xC4.几个函数方程的周期(约定a0)b,a2b,a2m,1对称.对称.2aa1,f(x)(2)若f(x),f(x,a)0，或f(x,a)，或f(x,),f(x,)，或f,x,a,f,x,a,，1,f(x)22(1)若f(x)f(x,a)，或f(x,)f(x,)，则f(x)的周期Ta;a2a或f,x,a,或1f,x,(f(x)0)，或f,a,x,,f,a,x,f,a,x,f,a,x,，或，f,x,为奇函数f,x,为偶函数1f,a,x,f,a,x,，或,2f,x,为偶函数1f(x,a)f(x,a),(f(x)0,1)，则f(x)的周期T2a;(3)若f(x)1,(4)若(f(x)0)，则f(x)的周期T3a;f,a,x,,f,a,x,f,a,x,f,a,x,，或，或f,x,a,,f,x,a,，或f,x,为偶函数f,x,为奇函数f(x1),f(x2)1,f(x)1,f(x)，或f(x,a)，或f(x1,x2)且f(x,a),1,f(x1)f(x2)1,f(x)1,f(x)f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1,x2|2a)，则f(x)的周期T4a;(5)若f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a)f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a)，则f(x)的周期T5a;(6)若f(x,a)f(x),f(x,a)，则f(x)的周期T6a.【说明】函数yf,x,满足对定义域内任一实数x(其中a为常数),都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系定理1:若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线xa和xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且2a,b是它的一个周期.推论1:若函数f(x)满足f(a,x)f(a,x)及f(b,x)f(b,x)(ab)，则f(x)是以2a,b为周期的周期函数.定理2:若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且4a,b是它的一个周期.推论2:若函数f(x)满足f(a,x),f(a,x)及f(b,x),f(b,x)(ab)，则f(x)是以4a,b为周期的周期函数.定理3:若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,y0)和(b,y0)(ab)对称，则f(x)是周期函数，且2a,b是它的一个周期.推论3:若函数f(x)满足f(a,x),f(a,x)2y0及f(b,x),f(b,x)2y0(ab)，则f(x)是以2a,b为周期的周期函数.C6.数学应试笔记第12页1、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线xa和x2a对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a,x)f(a,x)，f(2a,x)f(2a,x)，则函数f(x)是以T2a为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R上的函数f(x),若同时关于直线xa和点(2a,0)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a,x)f(a,x)，f(2a,x),f(2a,x)，则函数f(x)是以T4a为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和直线x2a对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a,x),f(a,x)，f(2a,x)f(2a,x)，则函数f(x)是以T4a为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R上的函数f(x),若同时关于点(a,0)和点(2a,0)对称,即对于任意的实数x,函数f(x)同时满足f(a,x),f(a,x)，f(2a,x),f(2a,x)，则函数f(x)是以T2a为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数f(x)关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(a,x)f(a,x)，则f(x)是以T2a为周期的周期函数.6、若偶函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(a,x),f(a,x)，则f(x)是以T4a为周期的周期函数.7、若奇函数f(x)关于直线xa对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(a,x)f(a,x)，则f(x)是以T4a为周期的周期函数.8、若奇函数f(x)关于点(a,0)对称，即对于任意的实数x,函数f(x)满足f(a,x),f(a,x)，则f(x)是以T2a为周期的周期函数.【拓展】:1、若函数yf(x,a)为偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称.2、若函数yf(x,a)为奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(a,0)对称.3、定义在R上的函数f(x)满足f(a,x)f(a,x)，且方程f(x)0恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.为常数)，则函数yf(x)的图像关于4、定义在R上的函数yf(x)满足f(a,x),f(b,x)c(a,b,c点(a,bc,)对称.22?如果奇函数yf(x)在区间,0,,,上是递增的,那么函数yf(x)在区间,,,0,上也是递增的;?如果偶函数yf(x)在区间,0,,,上是递增的,那么函数yf(x)在区间,,,0,上是递减的;C8.关于奇偶性与单调性的关系.【思考】:结论推导C9.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长方体(a,b,c)中:?体对角线长为a,b,c，外接球直径2R?棱长总和为4(a,b,c);?全(表)面积为2(ab,bc,ca)，体积Vabc;?体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,则有222cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.?体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,则有cos+cos+cos222=2，sin2+sin2+sin2=1.2.在正三棱锥中:?侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心;?侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心;?斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.3.在正四面体中:设棱长为a，则正四面体中的一些数量关系:?全面积S2;?体积V12133;?对棱间的距离d42;12?相邻面所成二面角arccos;?外接球半径R?正四面体内任一点到各面距离之和为定值h4.在立方体中:设正方体的棱长为a，则3;?内切球半径r;.23?体对角线长为a，?全面积为6a，?体积Va，半径为r1,外接球半径为r2,与十二条棱均相切的球半径为r3,?内切球则2r1a,2r2,2r2,且r1:r2:r31【点拨】形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.C5.在球体中:B球是一种常见的简单几何体(球的位置由球心确定，球的大小仅小(球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点(球面是到球心的距离等于定长(半径)的点的集合(球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面(球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长(球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r掌握球面上两点A、B间的距离求法:?计算线段AB的长;?计算球心角AOB的弧度数;?用弧长公式计算劣弧AB的长.【注】:“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.【补充】:一、四面体(1(对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质:?四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心;?四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心;?四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3:1;?12个面角之和为720?，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180?(2(直角四面体:有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形((在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、2222内切球半径及侧面上的高)，则有空间勾股定理:S?ABC+S?BCD+S?ABD=S?ACD(3(等腰四面体:对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形(根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体((在等腰四面体ABCD中，记BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h)，则有222222222?等腰四面体的体积可表示为V1b,c,ac,a,ba,b,c;3222?等腰四面体的外接球半径可表示为R24a2,b2,c2;B数学应试笔记第14页AOD?h=4r(二、空间正余弦定理(空间正弦定理:sin?ABD/sin?A-BC-D=sin?ABC/sin?A-BD-C=sin?CBD/sin?C-BA-D空间余弦定理:cos?ABD=cos?ABCcos?CBD+sin?ABCsin?CBDcos?A-BC-D6.直角四面体的性质:在直角四面体O,ABC中,OA,OB,OC两两垂直,令OAa,OBb,OCc,则?底面三角形ABC为锐角三角形;?直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心;?SBOCSBHCSABC;?SAOB,SBOC,SCOASABC;?1OH222221a,1b,1c;.?外接球半径R=R7.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长((2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正角线长((3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为外接球的半径为bsin),asin)棱切球的直方体的体对N的轨迹是椭圆a,12a(4C10.圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义;如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义;此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.PF1,PF22aF1F2方程为椭圆,椭圆方程的第一定义:PF1,PF22aF1F2无轨迹,PF1,PF22aF1F2F1,F2为端点的线段PF1,PF22aF1F2方程为双曲线双曲线的第一定义:PF1,PF22aF1F2无轨迹PF1,PF22aF1F2F1,F2的一个端点的一条射线圆锥曲线第二定义(统一定义):平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹(简言之就是“e点点距(数的统一)”，椭圆，双，抛物线相对关系(形的统一)如右图.点线距曲线当0e1时，轨迹为椭圆;当e1时，轨迹为抛物线;当e1时，轨迹为双曲线;c当e0时，轨迹为圆(e，当c0,ab时)(a圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中e，椭圆中、双曲线中.圆锥曲线的焦半径公式如下图:,(a特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.dC11.函数图像变换(主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等).1.平移变换向量平移法则:yf,x,按a=(h,k)平移得yf,x,h,,k，即F,x,y,0按a=(h,k)平移得F,x,h,y,k,0，当m0时，向右平移，m0时，向左平移.当n0时，向上平移，n0时向下平移.对于“从yf,x,到yf,x,h,,k”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“a=(h,k)”是“左负右正，上正下负”.【小结】:“按向量平移”的几个结论?点P(x,y)按向量a(h,k)平移后得到点P(x,h,y,k).?函数yf(x)的图像C按向量a(h,k)平移后得到图像C，则C的函数解析式为'''yf(x,h),k.?图像C按向量a(h,k)平移后得到图像C，若C的解析式yf(x)，则C的函数解析式为''yf(x,h),k.?曲线C:f(x,y)0按向量a(h,k)平移后得到图像C，则C的方程为f(x,h,y,k)0.?向量m(x,y)按向量a(h,k)平移后得到的向量仍然为m(x,y).2.翻折变换(1)由yf,x,得到y|f(x)|，就是把yf,x,的图像在x轴下方的部分作关于x轴对称的图像，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变.(2)由yf,x,得到yf(|x|)，就是把yf,x,的图像在y轴右边的部分作关于y轴对称的图像，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变.3.伸缩变换x/x,0,(1)设点P,x,y,是平面直角坐标系内的任意一点，在变换:/的作用下，点P,x,y,对yy,0,/x/x,0,y1/应于点P,x,y,，函数f,x,在变换:/下得到fxyy,0,x(2)将yf,x,的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到ymfax/axx//ymf即yf,,x,/aymy''///4.对称变换数学应试笔记第16页(1)函数yf(,x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到;y轴yf,x,yf(,x)(2)函数y,f(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到;x轴yf,x,y,f,x,(3)函数y,f(,x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到;原点yf,x,y,f(,x)(4)函数xf(y)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到.直线yxyf,x,xf,y,(5)函数yf(2a,x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线xa对称即可得到;yf(2a,x).yf,x,直线xa【注意】:函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1)观察变换前后位置变化:.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(2)观察变换前后量变化:直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置;深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函(3)理解等轴双曲线y(c0,adbc)与反比例函数y数、指数函数、三角函数、“函数yx,,k0,”及函数yx,,k0,等)相互转化.,k0,图像的本质联系.(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.(1),x1,11x;,x1,x.2n1(2)(1,x)1,x(R);1,x.1,xx(3)e1,x;ln(1,x)x.(4)sinxx(x为弧度);tanxx(x为弧度);arctanxx(x为弧度).C14.大小比较常用方法:?作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;?作商(常用于分数指数幂的代数式);?分析法;?平方法;?分子(或分母)有理化;?利用函数的单调性;?寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法;?图像法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.C15.不定项填空题易误知识点拾遗:(1)情况存在的“个数”问题?空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面,,个.(7个);?过直线外一点有,,个平面与该直线平行(无数个);?一直线与一平面斜交，则平面内有,,条直线与该直线平行.(0);?3条两两相交的直线可以确定,,个平面(1个或3个);?经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有,,条(0或1);?3个平面可以把空间分,,个部分.(4或6或7或8);?两两相交的4条直线最多可以确定,,个平面(6个);?两异面直线成60?，经过空间外一点与它们都成30?(45?，60?，80?)的直线有,,条.(1;2;3;4);(2)平面与空间的“区分”问题1.错误的命题?垂直于同一条直线的两直线平行;?平行于同一直线的两平面平行;?平行于同一平面的两直线平行;?过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直;?两个不同平面内的两条直线叫做异面直线;?一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直,,2.正确的命题?平行于同一条直线的两条直线平行;?垂直于同一条直线的两个平面平行;?两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行;?两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面,,(3)易误提点:?ab0是a,b为钝角的必要非充分条件.?截距不一定大于零，可为负数，可为零;?0常常会是等式不成立的原因，0模为0，方向和任意向量平行，却不垂直;?在导数不存在的点，函数也可能取得极值;导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”;?直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.C16(关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:多面体多边形;面边体积面积;二面角平面角面积线段长;,,.D、13,14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽D1.熟知几个重要函数1.f(x)ax,bx(1)a0,b0时，f(x)为“双钩函数”:?定义域:(,,0)(0,,);值域为(,,?奇偶性:奇函数(有对称中心);?单调性:在区间(,,,);,)上单调递增;在区间[上单调递减.?极值:x时取到极大值，x.bx?记住f(x)ax,(a0,b0)的图像的草图.数学应试笔记第18页?不等式性质:x0时，f(x)ax,?xb;x0时，f(x)ax,bx?,(2)a0,b0时，f(x)在区间上为增函数.(,，0)(,0，,)【思考】:图像大致如何分布.(3)常用地，当ab1时，f(x)x,【探究】:?函数f(x)1的特殊性质略.x1ax,bx的图像变化趋势怎样,?f,x,ax2,b2,f,x,axn,bn,nN,,的有关性质.xx2.y(c0,adbc)cx,dy化简为，y,cx,dx,add?定义域:(,,,)(,,);值域为y的一切实数;ccc?奇偶性:不作讨论;bdd?单调性:当0时，在区间(,,,],[,,)上单调递增;cccbdd当0时，在区间(,,,],[,,)上单调递减.ccc?对称中心是点(,d,a);?两渐近线:直线x,d和直线ya;【注意】:两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x的系数确定.?平移变换:y(c0,adbc)可由反比例函数y(k0)图像经过平移得到;cx,dx?反函数为yb,dx;【说明】:分式函数y(c0,adbc)与反比例函数yc(c0)，同源于x2y2双曲线2,21.ab3.三次函数图像与性质初步*1.定义:形如yax,bx,cx,d(a0)的函数叫做三次函数.定义域为R,值域为R.*2.解析式:?一般式:f(x)ax,bx,cx,d(a0);?零点式:f(x)a(x,x1)(x,x2)(x,x3)(a0)*3.单调性:【探究】:要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往数问题时，我们需要考虑的因素:?开口方向;?对称轴;坐标轴交点;?判别式;?两根符号.在研究三角函数问题“五点”作图法.323232在研究二次函?端点值;?与时，又采用过那三次函数f(x)ax,bx,cx,d(a0)的图像及性质，要从那里入手呢,再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.yax3,bx2,cx,d(a0)所以，f(x)3ax,2bx,c，导函数对称轴x,2b3a.【注意】:拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点),12ac(2(一)若4b,12ac02bc令f(x)0，由根与系数关系知:x1,x2,，x1x23a3a4b2,b,b2,3ac,b,b2,3ac,x2两极值点:x13a3a(1)当a0，b0，c0，约定d0，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像:(2)当a0，b0，c0值点绝对值;第20页(3)当a0，b0，c0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略(4)当a0，b0，c0时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值.图略(二)若4b,12ac0由x1,x22点横坐标仍为,b3a，所以图像如右图所示.2f(x)在(三)若0即b,3ac0时，f'(x)0在R上恒成立，即(,,,)为增函数.*4.极值:函数在某点取得极值的充要条件是什么,等价表述，和单调性的联系2(1)若b,3ac?0，则f(x)在R上无极值;(2)若b,3ac0，则f(x)在R上有两个极值;且f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数f(x)ax,bx,cx,d(a0)的图像与x轴有几个交点,和函数的哪些性质相联系,(联系函数的极值，进行等价转化)一个交点:极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”;两个交点:极大值等于零，或者极小值等于零;三个交点:极大值大于零，极小值小于零.D2.几个重要图像1.yax,b(ab0)322,b3.yx,a,x,b(ab0)4.yx,a,x,b(ab0)B,25.x,a,y,bm6.x,a,y,bmD3.函数yF(x)f(x),g(x)的零点处理:(1)yF(x)的零点(不是点而是数)F(x)0的根yF(x)与x轴的交点的横坐标yf(x),yg(x)的交点问题.(2)注意讨论周期函数(特别是三角函数)在某区间内零点个数问题.(3)零点存在定理:yf(x)单调且端点值异号,x0(x1,x2)使f(x0)0.【说明】:1.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根，与f(k1)f(k2)0不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程ax,bx,c0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内，等价于f(k1)f(k2)0，2k,k2k,k2bb，或f(k2)0且11,k2.2a222a2.f,x,在a,b上连续，且f,a,f,b,0，则f,x,在a,b上至少有一个零点(奇数个零点)，可能或f(k1)0且k1,有无数个零点.f,a,f,b,0，f,x,在a,b上可能无零点也可能有无数个零点.3.两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对,x,0,.D4.比例的几个性质acadbc;bdacbdacab?反比定理:;?更比定理:;bdacbdcdaca,bc,daca,bc,d?合比定理;;?分比定理:;bdbdbdbdaca,bc,daca,bc,d?合分比定理:;?分合比定理:;bda,bc,dbda,bc,daaa,a2,a3,,ana1aa.?等比定理:若123n，b1,b2,b3,,bn0，则1b1b2b3bnb1,b2,b3,,bnb1?比例基本性质:D5.(1)三角形中的“三线定理”(斯德瓦定理)数学应试笔记第22页AC2BD,AB2BC在?ABC中，D是BC上任意一点，则AD,BDDC(BC1?若AD是BC上的中线，ma2b2,2c2,a2;2?A的平分线，tapp,a，其中p为半周长;b,c2?若AD是2?若AD是BC上的高，happ,ap,bp,c，其中p为半周长(a2(2)三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点):1?O为ABC的重心PO(PA,PB,PC)3BOA,OB,OC0?O为ABC的垂心OABCOBCAOCAB0OAOBOBOCOCOAMFHC222222OA,BCOB,CAOC,AB;ABBACAACBCCB,)OC(,)?O为ABC的内心OA(,)OB(|AB||AC||BA||BC||CA||CB|(|AB|,|BC,|CA|)PO|BC|PA,|CA|PB,|AB|PC0?O为ABC的外心(OA,OB)AB(OB,OC)BC(OC,OA)CA022OAOBOC;?O为ABC中A的旁心|BC|OA|AC|OB,|AB|OC;D6.含绝对值不等式(1)复数集内的三角形不等式:OAABOBBA,OBBCOCCB,OCCAOAAC2z1,z2?z1z2?z1,z2其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向(反向)时取等号.(2)向量不等式:||a|,|b||?|ab|?|a|,|b|b同向或有0|a,b||a|,|b|?||a|,|b|||a,b|;【注意】:a、a、b反向或有0|a,b||a|,|b|?||a|,|b|||a,b|;a、b不共线||a|,|b|||ab||a|,|b|.(这些和实数集中类似)(3)代数不等式:a,b同号或有0|a,b||a|,|b|?|a|,|b||a,b|;a,b异号或有0|a,b||a|,|b|?|a|,|b||a,b|.D7.重要不等式221、和积不等式:a,bRa,b?2ab(当且仅当ab时取到“”)(a,b2a2,b2a,b2a2,b2)?)ab)【变形】:?ab?((当a=b时，(2222a,ba,b2【注意】:(a,bR,)，ab?()(a,bR)22222?3(a,b,c)?(a,b,c)2?3(ab,bc,ca)(当且仅当abc时取“=”号)(2、均值不等式:两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均?算术平均?几何平均?调和平均”【拓展】:?幂平均不等式:1222a12,a2,...,an?(a1,a2,...,an)(a,b,cR,abc时取等)n?“算术平均?几何平均(a1、a2,an为正数)”:a1,a2,,an(a1=a2=,=an时取等)n3、含立方的几个重要不等式(a、b、c为正数):?a3,b3?a2b,ab2?a,b,c,3abc(a,b,c)(a,b,c,ab,ac,bc);a3,b3,c3?3abc(a,b,c0等式即可成立，abc或a,b,c0时取等)a,b,ca,b,c3a3,b3,c3abc?()?3334、柯西不等式:?(代数形式)设a,b,c,d均为实数，则333222(a2,b2)(c2,d2)?(ac,bd)2，其中等号当且仅当adbc时成立.?(向量形式)设，为平面上的两个向量，则||||?||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.?(三角形式)设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则:【思考】:三角形不等式中等号成立的条件是什么,?(推广形式)设ai,biR(i1,2,,n),则22222(a1b1,a2b2,,anbn)2?(a21,a2,,an)(b1,b2,,bn)等号成立当且仅当aa1a2n时成立((约定ai0时，bi0)b1b2bn5、绝对值不等式:a1,a2,a3?a1,a2,a3a,ba,ba,b(ab0时,取等)双向不等式:a,b?ab?a,b(左边当ab?0(?0)时取得等号，右边当ab?0(?0)时取得等号.)6、放缩不等式:?ab0，am0，则【说明】:b,mbb,m.a,maa,mbb,m(ab0,m0，糖水的浓度问题).aa,mbb,ma,na1.aa,mb,nb【拓展】:ab0，m0，n0，则?a,b,cR，,bdbb,dd，则;acaa,cc?nN,数学应试笔记第24页