浙江省宁波市余姚第四中学高三数学理上学期摸底试题含解析

浙江省宁波市余姚第四中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若不等式的解集为(－1,3)，则实数a等于（）A.8 B.2 C.-4 D.-2参考答案：D【分析】根据绝对值不等式的解法化简，结合其解集的情况求得的值.【详解】由得.当时，无解.当时，，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.2.如图，已知在ΔABC中,BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，则，的度数为(A)135°

(B)120°(C)150。

（D)105°参考答案：D略3.以(0,b)为圆心，a为半径的圆与双曲线的渐近线相离，则C的离心率的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由条件可得，，∴，即，∴故选：B

4.已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于(

)

A．4

B．6

C．8

D．10参考答案：C5.已知复数(其中i为虚数单位)，则其共轭复数的虚部是（

）A．i

B． 1 C．－i

D．－1参考答案：D6.设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是(

)A．

B．

C．

D．[－3,3]参考答案：A令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于，所以，从而上述不等式等价于。7.已知集合，则A∩B=（）A.(2,3) B.(0,3) C.(1,2) D.(0,1)参考答案：A【分析】先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.【详解】解：，，=，故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.8.设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=﹣1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）?y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）ex的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0?c=a．法一：所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0?b＞0?f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1?b＞2a?f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．法二：所以函数f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立．故选：D．【点评】本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．9.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，且f(x+1)是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（

）A.(－∞,－4]∪[2,+∞) B.[－4,2] C.(－∞,－3]∪[1,+∞) D.[－3,1]参考答案：D【分析】f(x+1)为偶函数可知f(x)关于x=1对称，结合函数单调性解关于m的不等式即可得m的取值范围。【详解】由题得f(-x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，且在单调递减，则有成立，即，又因，则，，解得，故选D。【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性，分析函数对称性是解题关键。10.已知实数满足，且目标函数的最大值为6，最小值为1，其中的值为（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则等于

参考答案：12.在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得关于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，则：AB=3，BC=3m，则利用余弦定理可得：．∴．故答案为：．13.已知抛物线的焦点为F,E为y轴正半轴上的一点．且（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点，其中，使过点M的切线，则切线l在y轴上的截距为_______．参考答案：-1【分析】先对函数求导，求出抛物线在点处的切线斜率，再根据，得到点坐标，由过点的切线，求出点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线方程可化为，所以，因此抛物线在点处的切线斜率为；又为抛物线的焦点，所以；因为为轴正半轴上一点，且，所以，所以，因为过点的切线，所以，解得，因为在抛物线上，所以，因此；所以切线方程为或，即，因此切线在轴上的截距为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.14.若α是锐角，且的值是

。参考答案：∵是锐角，,,所以，。15.的展开式中有理项系数之和为

．参考答案：3216.已知函数，则不等式的解集是

．参考答案：[－1,+∞)因为奇函数在上增函数，所以，（注：写成不等式形式不给分。）.17.设二项式（x﹣）6（a≠0）的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=44，则a=．参考答案：﹣【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于02，求出r的值，即可求得x2的系数为A的值；再令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项B，再根据B=44，求得a的值．【解答】解：二项式（x﹣）6（a≠0）的展开式中的通项公式为Tr+1=?（﹣a）r?x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为A=15a2．令6﹣2r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣20a3=44，求得a=﹣，故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在中，，以为直径的圆交于，过点作圆的切线交于，交圆于点．（Ⅰ）证明：是的中点；（Ⅱ）证明：．参考答案：略19.定义函数fk（x）=为f（x）的k阶函数．（1）求f（x）的一阶函数f1（x）的单调区间；（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数f1′（x），令f1′（x）=0，讨论当当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，f1（x）的单增区间，单减区间．（2）由方程f2（x）=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．构造函数g（x）=（x＞0），求出对数g′（x），利用函数的极值点，单调性，讨论出当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．【解答】解：（1）f1（x）=（x＞0），f1′（x）==（x＞0），令f1′（x）=0，当a≠0时，x=e．∴当a=0时，f1（x）无单调区间；当a＞0时，f1（x）的单增区间为（0，e），单减区间为（e，+∞）；当a＜0时，f1（x）的单增区间为（e，+∞），单减区间为（0，e）．（2）由=1，当a=0时，方程无解；当a≠0时，=．令g（x）=（x＞0），则g′（x）==．由g′（x）=0得x=，从而g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．g（x）max=g（）=．当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→0．当0＜＜，即a＞2e时，方程有两个不同解．当＞，即0＜a＜2e时，方程有0个解．当=或＜0即a=2e或a＜0时，方程有唯一解．综上，当a＞2e时，方程有两个不同解；当0＜a＜2e时，方程有0个解；当a=2e或a＜0时，方程有唯一解．【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及函数的极值，函数的零点个数的讨论，考查分类讨论以及转化思想的应用．20.已知点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，且函数的图像经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在中，角的对边分别为，且，求的取值范围．参考答案：(I)由题意知,，又且，

（II）即由，得,取值范围为略21.（本小题满分12分）已知向量函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）在锐角三角形ABC中，的对边分别是，且满足求的取值范围.参考答案：（1）………3分函数的最小正周期为T

………4分函数的单调递减区间为，。………6分（2）由得………8分因为B为锐角，故有,得………10分所以………11分所以的取值范围是.………12分22.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下图资料：日期1月10日

2月10日

3月10日

4月10日

5月10日

6月10日

昼夜温差（℃）1011131286就诊人数（个）222529261612该兴趣小组的研究方案是先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据检验。（1）求选取的两组数据恰好相邻的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请据2~5月份的数据，