湖南省永州市道县第四中学高三数学文上学期摸底试题含解析

湖南省永州市道县第四中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列中，若，则该数列的通项（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.已知椭圆，为左、右焦点，、、、分别是其左、右、上、下顶点，直线交直线于点，若为直角，则此椭圆的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆可得a2=4，b2=1，．分类讨论：当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S==2b2．当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为，则直线CD的方程为y=﹣．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，|CD|．利用四边形ABCD面积S=即可得到关于斜率k的式子，再利用基本不等式即可得出．进而得到四边形面积最大值与最小值之差．【解答】解：由椭圆的可得a2=4，b2=1，=．①当AC或BD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S==2b2=2．②当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为，则直线CD的方程为y=．联立，化为，∴，．∴|AB|===．把k换成可得|CD|=．∴四边形ABCD面积S=|AB||CD|==≥=．当且仅当1+4k2=4+k2，即k2=1时取等号．综上可知：四边形ABCD面积S的最小值是，最大值是2．∴四边形ABCD面积的最大值与最小值之差=2．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．4.已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|y=2x，x≥0}，则A∩B=（）A．? B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1＜x≤2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，B={y|y=2x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜2}．故选：C．5.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D【知识点】解三角形C8解析：因为，得，则，所以当时取得最大值，则选D.【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把转化为关于角A的三角函数问题，再进行解答即可.6.问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）A.90尺 B.93尺 C.95尺 D.97尺参考答案：A由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列，设为，且，则，故选A.7.已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定f（x）为周期为3的函数，数列{an}的通项公式，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），有f（﹣x）=﹣f（﹣x），则f（3﹣x）=﹣f（﹣x）=f（﹣x），即f（3﹣x）=f（﹣x），∴f（x）为周期为3的函数，∵数列{an}是等差数列，若a2=3，a7=13，∴a1=1，d=2，∴an=2n﹣1，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f=﹣3，f（0）=0，∴f（1）=﹣3，∴f（1）+f（3）+f（5）=0，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2015）=f（1）+f（3）+f（5）+…+f+f（3）=﹣3，故选B．8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，即=，又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，∴=，即，∴b=2，∴c==2，则双曲线的离心率为e==．故选：A．【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．9.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前10项和=(

)A．

B．

C．

D．2参考答案：B略10.集合A＝|＝，其中＋＝5，且、∈N所有真子集个数（

）A．3

B．7

C．15

D．31参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若表示两数中的最大值，若，则的最小值为

▲

，若关于对称，则

▲

．参考答案：；．12.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题．13.已知实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值为

．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣2y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，当过点B时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即B（8，5），代入目标函数得z=8﹣2×5=﹣2即z=x﹣2y的最小值为﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①、；②对于的任意子集、，当且时，有；③对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“—集合类”.例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为

.参考答案：1015.执行右边的程序框图，输出的

；

参考答案：7略16.阅读如图所示程序框图，若输出的，则满足条件的整数共有个.参考答案：3217.已知平面向量满足，且与的夹角为120°，，则

的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲）（本小题满分0分）已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．求证：直线PC经过点E．参考答案：【考点】圆周角定理．【专题】立体几何．【分析】连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圆周角定理得到．

利用，∠APB的平分线有且只有一条，只要证明PC与PE重合．【解答】证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点则∠AOE=∠BOE=90°．

…因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以．

…同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线．

…又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．所以直线PC经过点E．…【点评】本题考查了圆周角定理的运用；关键是熟练圆周角定理的内容，正确运用．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=1，求△ABC周长l的最大值．参考答案：（Ⅰ）由正弦定理得，

………………1分

………………2分

………………4分

又在中，

………………5分

.

………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得

，即

………………8分

因为,（当且仅当时等号成立）

………………9分

所以．

则（当且仅当时等号成立）

……………11分

所以．

则当时，周长取得最大值．

……………12分法二:（Ⅱ）由正弦定理得，

…………8分

则

……10分

因为，所以

………………11分

当时，的周长取得最大值．

………………12分20.（本小题满分14分）已知函数。（Ⅰ）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）答：函数在处的切线不能平行于轴．

略21.（本小题满分12分）已知椭圆的上顶点为，右焦点，直线与圆相切。（