湖北省荆州市江陵第一中学高三数学理联考试题含解析

湖北省荆州市江陵第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为(

)A．4π B．8π C．12π D．16π参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．2.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：B，设的外心为O，则O在AE上，设，则即，解得∴四面体ABCD的外接球的半径，解得则故选B

3.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(

)(A)y＝sin(2x＋)

(B)y＝cos(2x＋)(C)y＝sin2x＋cos2x

(D)y＝sinx＋cosx参考答案：AA、B、C的周期都是π，D的周期是2πA选项化简后为y＝cos2x是偶函数，故正确答案为A【考点】三角函数的基本概念和性质，函数的周期性和奇偶性，诱导公式.4.（5分）已知a≠0直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，则ab的最大值等于（）A．0B．2C．4D．参考答案：B【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：当b=2或b=﹣2时，经过检验不满足条件．当b≠±2时，根据两直线方程求出它们的斜率，根据斜率之积等于﹣1求得ab的最大值．解：若b=2，两直线方程为y=﹣x﹣1和x=，此时两直线相交但不垂直．若b=﹣2，两直线方程为x=﹣和y=x﹣，此时两直线相交但不垂直．所以当b≠±2时，两直线方程为y=﹣﹣和y=﹣，此时两直线的斜率分别为﹣、﹣，由﹣（﹣）=﹣1，求得a2+b2=4．因为a2+b2=4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值等2，当且仅当a=b=时取等号．故选B．【点评】：本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.“”是“函数在区间上为增函数”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略6.若，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C7.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实常数的取值范围是(

).

A. B.

C.

D.参考答案：答案：B8.若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx的图象重合，则ω的值可能是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（ωx+ω）的图象，而y=cosωx=sin（+ωx），可得ω=+2kπ，k∈z，结合所给的选项得出结论．【解答】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）的图象．而y=cosωx=cos（﹣ωx）=sin（+ωx），∴ω=+2kπ，k∈z．观察所给的选项，只有ω=满足条件，故选D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．9.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A．3

B．

4

C．5

D．6参考答案：C10.已知集合，Q={1,2}，则下列关系中正确的是（）A.P=Q

B.QP C.PQ D.参考答案：B【分析】根据真子集的定义可判断出结果.【详解】，，且

本题正确选项：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．参考答案：4π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．解答：解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴VP﹣ABC=×R××R2=，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故答案为：点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12.已知函数，对于下列命题：①若，则；②若，则；③，则；④．其中正确的命题的序号是(写出所有正确命题的序号）．参考答案：①②13.在边长为1的正三角形ABC中,设则=_______。___________.参考答案：略14.已知数列满足，则数列的通项公式

．参考答案：15.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，求出当正方体体积最大时对应的球半径，由此能求出结果．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：，∴，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：．故答案为：．【点评】本题考查工件体积与原料体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.函数，的定义域都是，直线（），与，的图象分别交于，两点，若的值是不等于的常数，则称曲线，为“平行曲线”，设（，），且，为区间的“平行曲线”，，在区间上的零点唯一，则的取值范围是

．参考答案：.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数与函数的单调性.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数与函数的单调性，以及学生综合运用知识的能力及运算能力，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围.17.若向量与的夹角为120°，，，则

.参考答案：由向量与的夹角为，，则，则有，故答案是.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线与双曲线有公共焦点，点

是曲线在第一象限的交点，且．Ks5u（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：

．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为．是否为定值？请说明理由．参考答案：解：（1）∵抛物线的焦点为，

∴双曲线的焦点为、，设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，∴，又∵点在双曲线上，由双曲线定义得，，∴，∴双曲线的方程为：．（2）为定值．下面给出说明．设圆的方程为：，∵圆与直线相切，∴圆的半径为，故圆：.显然当直线的斜率不存在时不符合题意，设的方程为，即，设的方程为，即，∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，∴直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长，∴，故为定值略19.（本题满分14分）已知园（1）直线与圆相交于两点，求；（2）如图，设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线，与轴分别交于和.问是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由.参考答案：解：（1）圆心到直线的距离．圆的半径，．………………4分（2），，则，，，．………………8分：，得．：，得．…………12分………………14分略20.本小题满分12分）已知等差数列中，.（I）求数列的通项公式；（II）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，…依此类推，第n项由相应的项的和组成，求数列的前n项和T.

参考答案：略21.已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为．（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）直接利用求轨迹方程的步骤，由题意列出满足动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为的等式，整理后即可得到点P的轨迹；（2）如果存在满足条件的定点N，则该点对于m=0的直线也成立，所以先取m=0，与椭圆联立后解出A、B的坐标，同时求出D、E的坐标，由两点式写出AE、BD所在的直线方程，两直线联立求出N的坐标，然后证明该点对于m取其它值时也满足直线AE、BD是相交于定点N，方法是用共线向量基本定理．【解答】解：（1）由题意得=，即2=丨x﹣4丨，两边平方得：4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16．整理得：．∴动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆．（2）当m变化时，直线AE、BD相交于一定点N（，0）．证明：如图，当m=0时，联立直线x=1与椭圆，得A（1，）、B（1，﹣）、D（4，）、E（4，﹣），过A、B作直线x=4的垂线，得两垂足D（4，）、E（4，﹣），由直线方程的两点式得：直线AE的方程为：2x+2y﹣5=0，直线BD的方程为：2x﹣2y﹣5=0，方程联立解得x=，y=0，直线AE、BD相交于一点（，0）．假设直线AE、BD相交于一定点N（，0）．证明：设A（my1+1，y1），B（my2+1，y2），则D（4，y1），E（4，y2），由，消去x，并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）=144m2+144＞0＞0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由=（my1﹣，y1），=（，y2），则（my1﹣）y2﹣y1=my1y2﹣（y1+y2）=m×（﹣）﹣×（﹣）=0所以，∥，所以A、N、E三点共线，同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N（，0）．22.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数）.