专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题 解析版-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.二、典型题型题型一：定义法求轨迹方程1．（2023上·高二课时练习）分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程：(1)点到点、的距离之和为10；(2)点到点、的距离之和为12；(3)点到点、的距离之和为8．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果；（2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）可知动点的轨迹是线段.【详解】（1）因为，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，这里，，即，，所以，所以动点的轨迹方程为.（2）因为，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，这里，，即，，所以，所以动点的轨迹方程为.（3）因为，所以动点的轨迹是线段，其方程为.2．（2022上·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：(1)与圆和圆都内切；(2)与圆内切，且与圆外切；(3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程；（2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程；（3）设根据斜率公式得到方程，整理可得.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（2）圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则圆与圆外离，设圆的半径为，由题意可得，所以，所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，设圆心的轨迹方程为，由题意可得，则，，因此圆心的轨迹方程为.

（3）设，则，，根据题意有，化简得∴顶点的轨迹方程为.

3．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，求的方程.【答案】【分析】设，根据题意列出方程，化简即可.【详解】设，则，所以，化简得，故的方程为.题型二：直接法1．（2024·全国·高三专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;【答案】【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程.【详解】设点的坐标为，因为，所以，化简得.故动点的轨迹方程为.2．（2024·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．(1)求点的轨迹方程；(2)说明点的轨迹是何种几何图形．【答案】(1)(2)点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点【分析】（1）根据题意结合斜率公式运算求解，注意；（2）根据（1）中结果，结合椭圆方程分析说明.【详解】（1）由题意可知：直线与直线的斜率分别为，则，整理得，所以点的轨迹方程为.（2）由（1）可知：点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且不包括与x轴的交点.3．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；【答案】(1)答案见解析.【分析】（1）由斜率之积表示出轨迹方程，再对m分类讨论确定曲线的类型即可.【详解】（1）设动点，依题意有，整理，得，∴动点M的轨迹方程为：,时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，时，轨迹是圆，时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点不在曲线上．题型三：代入法（相关点法）1．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程．【答案】【分析】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解.【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以，设点，则，所以，所以，因为，所以，又因为点在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.2．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.(1)求圆的标准方程；(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程.（2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程.【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为，∴圆的标准方程为.（2）设，.由，可得，则，又点在圆上，所以，即，化简得，∴点的轨迹方程为.3．（2024·全国·高三专题练习）已知点，点P是圆上的动点，M为线段PA的中点，当点P在圆上运动时，求动点M的轨迹方程，并分析此轨迹与圆的位置关系.【答案】，两圆相外离【分析】利用中点坐标公式及点在圆上，结合两点间的距离公式及圆与圆的位置关系即可求解.【详解】设，，则由中点坐标公式得，.因为在圆上，所以，即.所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.两圆的圆心距，而两圆半径之和为6，即，所以这两圆相外离.题型四：点差法1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出A，B的坐标代入椭圆方程，利用点差法和中点坐标公式求出直线的斜率，再由已知建立斜率的等式关系，进而可以求解.【详解】解：设，，代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，又的中点坐标为，所以，，则，又直线的斜率为，所以，而，所以，，所以椭圆的方程为：，故选：A.2．（2023上·湖北·高二湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的斜率为，设，，再利用点差法求出直线的斜率为，利用斜率相等可得的值，从而得到椭圆方程.【详解】因为，，所以直线的斜率为，设，，则①，②，①-②得：，即，因为是的中点，所以，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，所以，所以椭圆的方程为，故选：D.三、专项训练一、单选题1．（【名校面对面】2022-2023学年高二大联考（12月）数学试题）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案.【详解】设，，由，得，所以，又因为点在圆上，所以，即.故选：C.2．（2024上·广东梅州·高二统考期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解.【详解】设线段中点的坐标为，且点，又由，可得，解得，又由，可得，即，故选：A3．（2024上·四川达州·高二统考期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，设椭圆方程为，焦距为，则，解得，故动点P的轨迹方程为.故选：B4．（2024上·贵州黔南·高二统考期末）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程，得到答案.【详解】由动点满足方程，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，则，所以动点P的轨迹方程为.故选：A.5．（2024上·湖北·高二校联考期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】A【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，设动圆圆心，半径，则根据题意有,根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.故选：A6．（2023上·全国·高二专题练习）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用双曲线定义确定曲线为双曲线，再利用题给条件即可求得曲线的标准方程.【详解】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.7．（2023上·四川凉山·高二校联考期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程.【详解】因为，，所以，动点满足，由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为，则有，，，所以动点的轨迹方程为.故选：D.8．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市翔宇中学校考阶段练习）与圆：和圆：都外切的圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由题意得到两定圆的圆心和半径，设圆的半径为，再由圆与圆、圆都外切得到，根据双曲线的定义，即可确定动点轨迹，从而求出轨迹方程.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，再由圆与圆、圆都外切，设圆的半径为，则，，所以，因此，由双曲线的定义可得圆心的轨迹为双曲线的右支，且该双曲线的焦距为，实轴长为，所以，故，所以所求圆的圆心的轨迹方程.故选：D.二、多选题9．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（

）A．动点的轨迹方程为 B．C．的最小值为 D．的最大角为【答案】ACD【分析】由动点的轨迹求出方程验证选项A；由圆上的点到直线的最小距离验证选项B；由三点共线求距离之和的最小值验证选项C；由直线与圆的位置关系求的最大值验证选项D.【详解】设，依题意有，化